馬聲明老師常微分方程課件ODE-Sec5.1-3

1、第五章 高階微分方程5.1幾個例子自治（駐定）微分方程的降價，即不包含自變量的方程：f(y,dydx, ,dnydxn)= 0.令z =dydx,則有：d2ydx2=dzdx= zdzdy,d3ydx3=ddx(zdzdy)= z2d2zdy2+ z(zdzdy)2,dnydxn= (z,dzdy, ,dn1zdyn1).例如， 對微分方程d2xdt2= f(x)1進行降價， 得到一階方程：vdvdx= f(x),即得到：dxdt= 2f(x) c1,即為：dx2f(x) c1= t + c2.可以討論在(x,v)-相平面上畫出其軌線分布圖， 稱為相圖。例如， 可以分別討論以上f(x) = x

2、的情況，并參考課本p124圖5-3的相圖。例1.1.單擺方程.令擺線與垂線的夾角為x,則有二階微分方程：m(ld2xdt2)= mg sinx,或者寫成：d2xdt2+ a2sinx = 0.2以dxdt乘以以上方程兩邊，得到：dxdt= 2a2cosx c1.由此得到是橢圓積分的首次積分：dx2a2cosx c1= t + c2.為此，考慮線性化的簡化方程：d2xdt2+ a2x = 0.對于以上非線性方程，通過在14周期處：x(t4)= a,x(t4)= 0確定以上積分常數(shù)c1:dxdt= 2a2cosx cosa.據(jù)此得出：t =22aa10ducosau cosa,并且滿足：lima0

3、t(a) =2a,limat(a) = .3參加課本p128圖5-5的相圖。例1.2.懸鏈線方程.求懸鏈線的形狀：y = f(x).任取懸鏈線上的一小段pq,設(shè)其長度為s,其中坐標p(x,y(x)和q(x + x,y(x + x).張力和重力滿足靜力學方程：h(x) = h(x + x) := h0;v (x + x) v (x) = s;v (x) = h(x)y(x) = h0y(x).由此得到二階微分方程：y= a1 + (y)2,其中a = /h0是常數(shù)，邊值條件是：y(x1) = y1,y(x2) = y2.以上邊值問題的通解是 （令z = y） ：y =1acosha(x + c1

4、) + c2.4以下確定常數(shù)a:由邊值條件得到：y2 y1=1acosha(x2+ c1) cosha(x1+ c1).此外，懸鏈線長度l =x2x11 + (y)2dx =1ax2x1y(x)dx=1asinha(x2+ c1) sinha(x1+ c1).最后令l2 (y2 y1)2 0為常數(shù)k0,即可確定常數(shù)a.例1.3.二體問題.地球繞太陽運動的數(shù)學建模問題。設(shè)地球的坐標向量為r(t) = (x(t),y(t),z(t).根據(jù)牛頓萬有引力定律：f(t) = gmsmer(t)2r(t)r(t).再根據(jù)牛頓第二運動定律：mer(t) = gmsmer(t)2r(t)r(t),5其分量形式

5、是： x= gmsx(x2+ y2+ z2)3, y= gmsy(x2+ y2+ z2)3, z= gmsz(x2+ y2+ z2)3,其邊界條件是：r(t0) = (x0,y0,z0), r(t0) = (u0,v0,w0).由此推出地球的運動軌道永遠在一個平面上：c1x + c2y + c3z = 0.據(jù)此方程降價為一個四階方程： x +x(x2+ y2)3= 0, y +y(x2+ y2)3= 0,其中常數(shù) = gms.由此得到兩個首次積分：y x x y = c3, x2+ y22x2+ y2= c4.6其極坐標形式是：r2ddt= c3,(drdt)2+(rddt)22r= c4.從

6、中消去ddt,得到：(drdt)2= c4+(c3)2(c3rc3)2,即：drdt= c4+(c3)2(c3rc3)2.再消去dt,有：drd= r2c3c4+(c3)2(c3rc3)2.由此得出：arccosc3rc3c4+(c3)2= c5,從而：r =p1 + ecos( 0),7其中常數(shù)：e =c3c4+(c3)2 0,p =c23,0= c5.作業(yè)：p135， 習題5-1.1-4.5.2 n-維線性空間中的微分方程n-階微分方程式：dnydxn= f(x,y,dydx, ,dn1ydxn1)等價于下列n-階標準微分方程組：dy1dx= y2,dyn1dx= yn,dyndx= f(

7、x,y1,y2, ,yn),8其中：y1= y, y2=dydx, ., yn=dn1ydxn1.未知函數(shù)的個數(shù)等于微分方程本身階數(shù)的標準形式：dy1dx= f1(x,y1,y2,.,yn),dy2dx= f2(x,y1,y2,.,yn),dyndx= fn(x,y1,y2,.,yn),其中fj(1 j n)是變元(x,y1,y2,.,yn)在某個區(qū)域d內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。以上標準形式可以記為向量形式：dydx= f(x,y),y(x0) = y0.(1)其中函數(shù)f(x,y)在區(qū)域|xx0| a, |yy0| b上滿足lipschitz條件如下：|f(x,y) f(x,z)| l|y z|.9定理1

8、.4. picard定理和peono定理對于以上高維初值問題(1)仍然成立。高維線性微分方程組：dydx= a(x)y + e(x).作業(yè)：p141， 習題5-2.1-3.5.3解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性線性單擺方程：d2xdt2+ a2x = 0滿足初值條件：x(t0) = x0,x(t0) = v0的解為：x = x0cosa(t t0) +v0asina(t t0),10它對初值t0,x0,v0和參數(shù)a都是連續(xù)可微的，這對物理測量中的誤差有意義。一般n階微分方程的初值問題dydx= f(x,y,),y(x0) = y0的解y = (x;x0,y0,)關(guān)于初值(x0,y0)和參數(shù)的連續(xù)依賴

9、性問題。為此作變換：t = x x0,u = y y0,則以上初值問題變成：dudt= f(t + x0,u + y0,),u(0) = 0.由此原來的初值x0,y0以參數(shù)的形式出現(xiàn)。所以只需討論以下初值問題：(e) :dydx= f(x,y,),y(0) = 0的解y = (x,)對參量的依賴性。11定理1.5.設(shè)n-維映射f(x,y,)在區(qū)域g :|x| a,|y| b,| 0| c上是連續(xù)的并且|f(x,y,)|有上界m，而且f(x,y,)對y滿足lipschitz條件：|f(x,y1,) f(x,y2,)| l|y1 y2|.則初值問題(e)的解y = (x,)在區(qū)域d :|x| h,

10、| 0| c上是連續(xù)的，其中h = min(a,bm).推論1.6.設(shè)n-維映射f(x,y)在以下區(qū)域r :|x x0| a,|y y0| b上連續(xù)， 而且對y滿足lipschitz條件， 則微分方程初值問題：dydx= f(x,y),y(x0) = (2)的解y = (x,)在區(qū)域：q :|x x0| h2,| y0| b212上是連續(xù)的，其中h = min(a,bm),并且在區(qū)域r上|f(x,y)| m.根據(jù)以上推論， 可以用以下變換：t :x = x,y = (x,)的逆變換， 對微分方程(2)在(x0,y0)點鄰域內(nèi)的積分曲線族作局部的“拉直”（請參見p145,圖5-7） 。定理1.7.設(shè)n-維映射f(x,y)在(x,y)空間內(nèi)的開區(qū)域g上連續(xù)， 而且對y滿足局部lipschitz條件。假設(shè)y = (x)是微分方程dydx= f(x,y)的一個解，令其存在區(qū)間為j.那么對于任意有界閉區(qū)間a,b,存在常數(shù) 0,使得對于任意初值(x0,y0)滿足x0 a,b,|y0 (x0)| ,13cauchy問題(e) :dydx= f(x,y),y(x0) = y0的解y = (x;x0,y0)也至少在區(qū)間x a,b上存在，并且它在閉區(qū)域d:x a,b,x0 a,b,|y0(x0)| 上是連續(xù)的。proof.構(gòu)造picard序列：k+1(x;x0,y0) = y0+xx0f(x,k