初中數(shù)學經(jīng)典課件：因式分解(人教版)

1、復習回顧復習回顧_1 xx_11xx_732xxxx 212xxx1462問題：問題：630可以被哪些整數(shù)整除？可以被哪些整數(shù)整除？630 = 23257新課引入新課引入試試看試試看(將下列多項式寫成幾個整式的乘積將下列多項式寫成幾個整式的乘積)_2 xx_12x1xx11xx回憶前面整式的乘法回憶前面整式的乘法1112xxx上面我們把一個上面我們把一個多項式多項式化成了幾個化成了幾個整整式式的的積積的形式，像這樣的式子變形叫做把的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項這個多項式式 ，也叫做把這個多項，也叫做把這個多項式式 。分解因式分解因式因式分解因式分解12x11xx因式分解因式分解整式乘法

2、整式乘法因式分解與整式乘法是因式分解與整式乘法是逆變形逆變形 依依照定義，判斷下列變形是不是照定義，判斷下列變形是不是因式分解因式分解（把（把多項式多項式化成幾個化成幾個整式整式的的積積）4222xxx2334326xyyxyx2242232349xxxxxxyxyxyx222235m ( a + b + c ) = ma + mb + mc下面兩個式子中哪個是因式分解？下面兩個式子中哪個是因式分解？ 在式在式子子ma + mb + mc中，中，m是這個多項是這個多項式中每一個項都含有的因式，叫式中每一個項都含有的因式，叫做做 。公因式公因式ma + mb + mc = m ( a + b +

3、 c )ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 在下在下面這個式子的因式分解過程中，面這個式子的因式分解過程中，先先找到找到這個多項式的這個多項式的公因式公因式，再將，再將原式除原式除以公因式以公因式，得到一個新多項式，將這個多，得到一個新多項式，將這個多項式與公因式相乘即可。項式與公因式相乘即可。這種方法叫做這種方法叫做提公因式法提公因式法。提公因式法一般步驟：提公因式法一般步驟： 1、找到該多項式的公因式，、找到該多項式的公因式， 2、將原式除以公因式，得到一個新多項式，、將原式除以公因式，得到一個新多項式， 3、把、把它與公因式相乘。它與公因式相乘。 如何準確地找到

4、多項如何準確地找到多項式的公因式呢？式的公因式呢？ 1、系數(shù)、系數(shù) 所有項的系數(shù)的所有項的系數(shù)的最大公因數(shù)最大公因數(shù) 2、字母、字母 應提取每一項都有的字母，應提取每一項都有的字母， 且字母的且字母的指數(shù)取最低指數(shù)取最低的的 3、系數(shù)與字母相乘、系數(shù)與字母相乘cabba22159解：用提取公因式法因式分例題精講pqqppq3197952223234812ststts最大公因數(shù)為最大公因數(shù)為3= 3a的最低指數(shù)為的最低指數(shù)為1ab的最低指數(shù)為的最低指數(shù)為1b(3a5bc)= 4st2(3s22t+1)pq(5q+7p+3)=91第第 3課時課時第第 2課時課時復習回顧復習回顧平方差公式：平方差公

5、式：完全平方公式：完全平方公式：22bababa2222bababa2222bababa2222bababa_22xx_52a_77mm42x25102aa49142mm新課引入新課引入12平方差公式平方差公式逆用逆用22 52逆用逆用bababa22bababa22 兩個數(shù)的平方差等于這兩個兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積。數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積。 嘗試練嘗試練習習( (對下列各式因式分解對下列各式因式分解) )： a2 9 = _ 49 n2 = _ 5s2 20t2 = _ 100 x2 9y2 =_(a+3)(a3)(7+n)(7n)5(s+2t)(s2t)(10 x

6、+3y)(10 x3y)y2 4x2 (x2)2 12 (x21) ( 4x2 y2 )(x+1)(x1)因式分解一定要分解徹底因式分解一定要分解徹底 !x2 (x3)2xx(1+x)(1x)x2(1+x2)(1x2)(1+x)(1x) 在我們現(xiàn)學過的因式分解方法中，在我們現(xiàn)學過的因式分解方法中，先考慮先考慮提取公因式提取公因式，再考慮用，再考慮用公式法公式法。6x(x+3y)(x3y)YXYXYX復習回顧復習回顧2222bababa2222bababa2222bababa_44xx_72b_99mm1682 xx49142bb81182mm新課引入新課引入29991= (999+1)2 =

7、106完全平方公式完全平方公式逆用逆用 就像平方差公式一樣，就像平方差公式一樣，完全平方完全平方公式公式也可以也可以逆用逆用，從而進行一些簡便，從而進行一些簡便計算與因式分解。計算與因式分解。即：即：2222bababa2222bababa 兩個數(shù)的平方和加上（或減去）兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的這兩個數(shù)的積的兩兩倍，等于這兩個倍，等于這兩個數(shù)的和（或差）的平方。數(shù)的和（或差）的平方。 牛刀小試牛刀小試( (對下列各式因式分解對下列各式因式分解) )： a2+6a+9 = _ n210n+25 = _ 4t28t+4 = _ 4x212xy+9y2 = _(a+3)2(n5)24

8、(t1)2(2x3y)2完全平方式的特點：完全平方式的特點： 1、必須是、必須是三項式三項式（或可以看成三項的）（或可以看成三項的） 2、有兩個、有兩個同號同號的平方項的平方項 3、有一個乘積項（等于平方項底數(shù)的、有一個乘積項（等于平方項底數(shù)的2倍倍） 簡記口訣：簡記口訣： 首平方，尾平方，首尾兩倍在中央。首平方，尾平方，首尾兩倍在中央。222baba= (4x+3)2= (4x24xy+y2) = (2xy)2= 4 (x22xy+y2)= 4 (xy)2= (a21)2= (a+1)2 (a1)2= (a+1) (a1)2= (p+q6)2XXX知識結(jié)構(gòu)知識結(jié)構(gòu)因式分解因式分解常用方法常用

9、方法提公因式法提公因式法公式法公式法十字相乘法十字相乘法分組分解法分組分解法拆項添項法拆項添項法配方法配方法待定系數(shù)法待定系數(shù)法求根法求根法一、提公因式法一、提公因式法 只需只需找到找到多項式中的多項式中的公因式公因式，然后用然后用原多項式除以公因式原多項式除以公因式，把所，把所得的商與公因式相乘即可。往往與得的商與公因式相乘即可。往往與其他方法結(jié)合起來用。其他方法結(jié)合起來用。提公因式法提公因式法隨堂練習：隨堂練習：二、公式法二、公式法 只需發(fā)現(xiàn)多項式的只需發(fā)現(xiàn)多項式的特點特點，再，再將符合其形式的公式套進去即可將符合其形式的公式套進去即可完成因式分解，有時需和別的方完成因式分解，有時需和別的

10、方法法結(jié)合結(jié)合或多種公式或多種公式結(jié)合結(jié)合。 接下來是一些常用的乘法公接下來是一些常用的乘法公式，可以逆用進行因式分解。式，可以逆用進行因式分解。常用公式常用公式1、(a+b)(ab)=a2b2（平方差公式）平方差公式）2、(ab)2=a22ab+b2（完全平方公式）（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)及及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+

11、pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推導公式推導 222222222222222212222122222221zyzxyxzyzyzxzxyxyxyzxzxyzyxyzxzxyzyx222公式法公式法隨堂練習：隨堂練習：二、公式法二、公式法 只需發(fā)現(xiàn)多項式的只需發(fā)現(xiàn)多項式的特點特點，再，再將符合其形式的公式套進去即可將符合其形式的公式套進去即可完成因式分解，有時需和別的方完成因式分解，有時需和別的方法法結(jié)合結(jié)合或多種公式或多種公式結(jié)合結(jié)合。三、十字相乘法三、十字相乘法(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq例例1：因式分解：因式分解x2+4x+31313+1+3p、q型因式分解

12、型因式分解例例2：因式分解：因式分解x27x+10(2)(5)(2) + (5)25十字相乘法十字相乘法隨堂練習：隨堂練習：三、十字相乘法三、十字相乘法試因式分解試因式分解6x2+7x+2。十字相乘法十字相乘法（適用于二次三項式）（適用于二次三項式）ac(ad+bc)bd二次項系數(shù)二次項系數(shù)常數(shù)項常數(shù)項= 173 x2 + 11 x + 106 x2 + 7 x + 223124 + 3 = 721 3213522 + 15= 1113255 + 62 35= 65 x2 6 xy 8 y2試因式分解試因式分解5x26xy8y2。十字相乘法十字相乘法15244 10254簡記口訣：簡記口訣：首

13、尾分解，首尾分解，交叉相乘，交叉相乘，求和湊中。求和湊中。十字相乘法十字相乘法隨堂練習：隨堂練習：四、分組分解法四、分組分解法 要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項的位置，添、去括號等過交換項的位置，添、去括號等一些一些變換變換達到因式分解的目的。達到因式分解的目的。例例1：因式分解：因式分解 abac+bdcd 。(ab ac) (bd cd)(b c)(b c)(a + d) 還有別還有別的解法的解法嗎？嗎？四、分組分解法四、分組分解法 要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項的位置，添、去括號等過交換項的位置，添、去括號等一些一些變換變換達到因式分解的

14、目的。達到因式分解的目的。例例1：因式分解：因式分解 abac+bdcd 。(ab + bd) (ac + cd)(a + d)(a + d) (b c)例例2：因式分解：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。(x2+x+1) (x+1)(x2x+1)立方和公式立方和公式分組分解法分組分解法隨堂練習：隨堂練習：回顧例題：回顧例題：因式分解因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。+2x2x2(x2+1)2 (x2+x+1)(x2x+1)五五*、拆項添項法、拆項添項法怎么結(jié)果怎么結(jié)果與剛才不與剛才不一樣呢？一樣呢？因為它還因為它還可以繼續(xù)可以繼續(xù)因式分解因式分解 拆項添項法對數(shù)學能力有著

15、更拆項添項法對數(shù)學能力有著更高的要求，需要觀察到多項式中應高的要求，需要觀察到多項式中應拆哪一項使得接下來可以繼續(xù)因式拆哪一項使得接下來可以繼續(xù)因式分解，要對結(jié)果有一定的分解，要對結(jié)果有一定的預見性預見性，嘗試較多，做題較繁瑣。嘗試較多，做題較繁瑣。 最好能根據(jù)現(xiàn)有多項式內(nèi)的項最好能根據(jù)現(xiàn)有多項式內(nèi)的項猜測猜測可能需要使用的公式，有時要可能需要使用的公式，有時要根據(jù)形式根據(jù)形式猜測猜測可能的系數(shù)。可能的系數(shù)。五五*、拆項添項法、拆項添項法+ 4x2 4x2都是平方項都是平方項猜測使用完全平方公式猜測使用完全平方公式完全平方公式完全平方公式平方差公式平方差公式拆項添項法拆項添項法隨堂練習：隨堂練

16、習：配方法配方法配成完全平方式配成完全平方式因式分解因式分解 a2b2+4a+2b+3 。(b1)2配方法配方法 ( (拆項添項法拆項添項法) )分組分解法分組分解法完全平方公式完全平方公式平方差公式平方差公式二、新課二、新課1. 我們把我們把)0(2acbxax叫做叫做x的二次三項式。的二次三項式。這個式子的這個式子的x的最高次項是的最高次項是2，并有一次項和常數(shù)項，并有一次項和常數(shù)項，共有三項。共有三項。2. 請同學說出請同學說出x的二次三項式的二次三項式)0(2acbxax和和x的一元二次方程的一元二次方程)0(02acbxax形式上有什么不同？形式上有什么不同？答案：二次三項式是代數(shù)式

17、，沒有等號，方程有等號。答案：二次三項式是代數(shù)式，沒有等號，方程有等號。3. 用配方法把用配方法把222xx分解因式。分解因式。分析：對分析：對xx22再添一次項系數(shù)的一半的平方再添一次項系數(shù)的一半的平方（注意：因為因式分解是恒等變形，所以必須同時（注意：因為因式分解是恒等變形，所以必須同時 減去一次項系數(shù)一半的平方）減去一次項系數(shù)一半的平方）解：解：) 31)(31() 3() 1(3) 1(21122222222xxxxxxxx這是配方的關鍵4. 分解因式分解因式6822xx分析：把二次項系數(shù)化為分析：把二次項系數(shù)化為1，便于配方，但不能各項，便于配方，但不能各項 除以除以2 ，而是各項提

18、取公因數(shù)，而是各項提取公因數(shù)2我們知道在解一元二次方程時，配方法的步驟是固定我們知道在解一元二次方程時，配方法的步驟是固定模式的，即模式的，即“千篇一律千篇一律”，它的一般模式就是解一元二，它的一般模式就是解一元二次方程的求根公式法。由此推想，用配方法因式分解次方程的求根公式法。由此推想，用配方法因式分解必定與方程的根有關系，這個關系是什么必定與方程的根有關系，這個關系是什么7272 2)7() 2(2 7) 2(2 34) 44(2) 34( 2682222222xxxxxxxxxx解：解：從以上例從以上例2的因式分解來研究。的因式分解來研究。與二次三項式與二次三項式6822xx對應的一元二

19、次方程是對應的一元二次方程是 6822xx=0 這個方程的兩根是這個方程的兩根是7222)6(24)8(82x72,7221xx由此可以看出例由此可以看出例2的因式分解的結(jié)果與兩根的關系是什么？的因式分解的結(jié)果與兩根的關系是什么？)(2)72()72( 2682212xxxxxxxx這個關系是：二次三項式系數(shù)乘以這個關系是：二次三項式系數(shù)乘以x 減去一個根的差，減去一個根的差，再乘以再乘以x減去另一個根所得的差。減去另一個根所得的差。以上的結(jié)論怎樣證明？以上的結(jié)論怎樣證明？證明：設一元二次方程證明：設一元二次方程aacbbxaacbbxxxacbxax24,24)0(02221212則，的兩根

20、是)(),(,2221212121acxabxacbxaxxxacxxabacxxabxx就是)()(2121212xxxxaxxxxxxa結(jié)論：在分解二次三項式結(jié)論：在分解二次三項式例如，已知一元二次方程例如，已知一元二次方程2, 10462212xxxx的兩根是就可以把二次三項式分解因式，得就可以把二次三項式分解因式，得)2)(1(24622xxxx然后寫成的兩根公式求出方程的因式分解時，可先用2122,0)0(xxcbxaxacbxax)(212xxxxacbxax三、例題講解三、例題講解例例1 把把8652 xx分解因式分解因式1014610196652)8(5466086522xxx的根是解：方程2,5421xx即：)2)(54(58652xxxx)2)(45(xx此步的目的是去掉括號內(nèi)的分母例例2分解因式把22582yxyx22)5(24)8(805822222yyyxyxyxx的根是的方程解：關于yyy2644628)264)(264(258222yxyxyxyx本題是關于本題是關于x的二次三項式，所以應把的二次三項式，所以應把y看作常數(shù)看作常數(shù)注意：注意：1.因式分解是恒等變形，所以公式因式分解是恒等變形，所以公式)(212xxxxacbxax中的因式中的