2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(四川卷)理

1、2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(四川卷)數(shù)學(xué)(理工類)本試題卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題).第卷1至2頁,第卷3至4頁,共4頁.考生作答時(shí),須將答案答在答題卡上.在本試題卷、草稿紙上答題無效.滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.考試結(jié)束后,將本試題卷和答題卡一并交回.第卷(選擇題共50分)注意事項(xiàng):必須使用2b鉛筆在答題卡上將所選答案對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑.一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)是符合題目要求的.1.(2013四川,理1)設(shè)集合a=x|x+2=0,集合b=x|x2-4=0,則ab=(). a.-2b.2c.-2,2d.答案:a

2、解析:由題意可得,a=-2,b=-2,2,ab=-2.故選a.2.(2013四川,理2)如圖,在復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)a表示復(fù)數(shù)z,則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是().a.ab.bc.cd.d答案:b解析:復(fù)數(shù)z表示的點(diǎn)與其共軛復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱.3.(2013四川,理3)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是().答案:d解析:由三視圖可知該幾何體為一個(gè)上部為圓臺(tái)、下部為圓柱的組合體,故選d.4.(2013四川,理4)設(shè)xz,集合a是奇數(shù)集,集合b是偶數(shù)集.若命題p:xa,2xb,則().a.􀱑p:xa,2xbb.􀱑p:xa,2xbc.Л

3、729;p:xa,2xbd.􀱑p:xa,2xb答案:d5.(2013四川,理5)函數(shù)f(x)=2sin(x+)>0,-2<<2的部分圖象如圖所示,則,的值分別是().a.2,-3b.2,-6c.4,-6d.4,3答案:a解析:由圖象可得,3t4=512-3=34,t=,則=2=2,再將點(diǎn)512,2代入f(x)=2sin(2x+)中得,sin56+=1,令56+=2k+2,kz,解得,=2k-3,kz,又-2,2,則取k=0,=-3.故選a.6.(2013四川,理6)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2-y23=1的漸近線的距離是().a.12b.32c.1d.

4、3答案:b解析:由題意可得,拋物線的焦點(diǎn)為(1,0),雙曲線的漸近線方程為y=±3x,即±3x-y=0,由點(diǎn)到直線的距離公式可得拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離d=|±3-0|2=32.7.(2013四川,理7)函數(shù)y=x33x-1的圖象大致是().答案:c解析:由函數(shù)解析式可得,該函數(shù)定義域?yàn)?-,0)(0,+),故排除a;取x=-1,y=-113-1=32>0,故再排除b;當(dāng)x+時(shí),3x-1遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于x3的值且都為正,故x33x-10且大于0,故排除d,選c.8.(2013四川,理8)從1,3,5,7,9這五個(gè)數(shù)中,每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a,b,共

5、可得到lg a-lg b的不同值的個(gè)數(shù)是().a.9b.10c.18d.20答案:c解析:記基本事件為(a,b),則基本事件空間=(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,1),(3,5),(3,7),(3,9),(5,1),(5,3),(5,7),(5,9),(7,1),(7,3),(7,5),(7,9),(9,1),(9,3),(9,5),(9,7)共有20個(gè)基本事件,而lg a-lg b=lgab,其中基本事件(1,3),(3,9)和(3,1),(9,3)使lgab的值相等,則不同值的個(gè)數(shù)為20-2=18(個(gè)),故選c.9.(2013四川,理9)節(jié)日前夕,小李在家門前的樹上掛

6、了兩串彩燈.這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立,且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮.那么這兩串彩燈同時(shí)通電后,它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過2秒的概率是().a.14b.12c.34d.78答案:c解析:設(shè)兩串彩燈第一次閃亮的時(shí)刻分別為x,y,則由題意可得,0x4,0y4;而所求事件“兩串彩燈同時(shí)通電后,第一次閃亮相差不超過2秒”=(x,y)|x-y|2,由圖示得,該事件概率p=s陰影s正方形=16-416=34.10.(2013四川,理10)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-a(ar,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若曲線y=sin x上存在點(diǎn)(x0,y0)使得f(f(y0)=y

7、0,則a的取值范圍是().a.1,eb.e-1-1,1c.1,e+1d.e-1-1,e+1答案:a解析:由題意可得,y0=sin x0-1,1,而由f(x)=ex+x-a可知y00,1,當(dāng)a=0時(shí),f(x)=ex+x為增函數(shù),y00,1時(shí),f(y0)1,e+1.f(f(y0)e+1>1.不存在y00,1使f(f(y0)=y0成立,故b,d錯(cuò);當(dāng)a=e+1時(shí),f(x)=ex+x-e-1,當(dāng)y00,1時(shí),只有y0=1時(shí)f(x)才有意義,而f(1)=0,f(f(1)=f(0),顯然無意義,故c錯(cuò).故選a.第卷(非選擇題共100分)注意事項(xiàng):必須使用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目所指示的

8、答題區(qū)域內(nèi)作答.作圖題可先用鉛筆繪出,確認(rèn)后再用0.5毫米黑色墨跡簽字筆描清楚,答在試題卷上無效.二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.11.(2013四川,理11)二項(xiàng)式(x+y)5的展開式中,含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)是.(用數(shù)字作答) 答案:10解析:由二項(xiàng)式展開系數(shù)可得,x2y3的系數(shù)為c53=c52=10.12.(2013四川,理12)在平行四邊形abcd中,對(duì)角線ac與bd交于點(diǎn)o,ab+ad=ao,則=. 答案:2解析:如圖所示,在平行四邊形abcd中,ab+ad=ac=2ao,=2.13.(2013四川,理13)設(shè)sin 2=-sin ,2,則tan

9、2的值是. 答案:3解析:sin 2=-sin ,2sin cos =-sin .又2,cos =-12.sin =1-cos2=32.sin 2=-32,cos 2=2cos2-1=-12.tan 2=sin2cos2=3.14.(2013四川,理14)已知f(x)是定義域?yàn)閞的偶函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是. 答案:(-7,3)解析:當(dāng)x0時(shí),令x2-4x<5,解得,0x<5.又因?yàn)閒(x)為定義域?yàn)閞的偶函數(shù),則不等式f(x+2)<5等價(jià)于-5<x+2<5,即-7<x<3;故

10、解集為(-7,3).15.(2013四川,理15)設(shè)p1,p2,pn為平面內(nèi)的n個(gè)點(diǎn),在平面內(nèi)的所有點(diǎn)中,若點(diǎn)p到點(diǎn)p1,p2,pn的距離之和最小,則稱點(diǎn)p為點(diǎn)p1,p2,pn的一個(gè)“中位點(diǎn)”,例如,線段ab上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)a,b的中位點(diǎn),現(xiàn)有下列命題:若三個(gè)點(diǎn)a,b,c共線,c在線段ab上,則c是a,b,c的中位點(diǎn);直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn);若四個(gè)點(diǎn)a,b,c,d共線,則它們的中位點(diǎn)存在且唯一;梯形對(duì)角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn).其中的真命題是.(寫出所有真命題的序號(hào)) 答案:解析:由“中位點(diǎn)”可知,若c在線段ab上,則線段ab上任一點(diǎn)都為“中

11、位點(diǎn)”,c也不例外,故正確;對(duì)于假設(shè)在等腰rtabc中,acb=90°,如圖所示,點(diǎn)p為斜邊ab中點(diǎn),設(shè)腰長為2,則|pa|+|pb|+|pc|=32|ab|=32,而若c為“中位點(diǎn)”,則|cb|+|ca|=4<32,故錯(cuò);對(duì)于,若b,c三等分ad,若設(shè)|ab|=|bc|=|cd|=1,則|ba|+|bc|+|bd|=4=|ca|+|cb|+|cd|,故錯(cuò);對(duì)于,在梯形abcd中,對(duì)角線ac與bd的交點(diǎn)為o,在梯形abcd內(nèi)任取不同于點(diǎn)o的一點(diǎn)m,則在mac中,|ma|+|mc|>|ac|=|oa|+|oc|,同理在mbd中,|mb|+|md|>|bd|=|ob|+

12、|od|,則得,|ma|+|mb|+|mc|+|md|>|oa|+|ob|+|oc|+|od|,故o為梯形內(nèi)唯一中位點(diǎn)是正確的.三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.16.(2013四川,理16)(本小題滿分12分)在等差數(shù)列an中,a1+a3=8,且a4為a2和a9的等比中項(xiàng),求數(shù)列an的首項(xiàng)、公差及前n項(xiàng)和.解:設(shè)該數(shù)列公差為d,前n項(xiàng)和為sn.由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d).所以,a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0,或a1=1,d=3,即數(shù)列an的首項(xiàng)為4,公差為0,或首項(xiàng)為1

13、,公差為3.所以,數(shù)列的前n項(xiàng)和sn=4n或sn=3n2-n2.17.(2013四川,理17)(本小題滿分12分)在abc中,角a,b,c的對(duì)邊分別為a,b,c,且2cos2a-b2cos b-sin(a-b)sin b+cos(a+c)=-35,(1)求cos a的值;(2)若a=42,b=5,求向量ba在bc方向上的投影.解:(1)由2cos2a-b2cos b-sin(a-b)sin b+cos(a+c)=-35,得cos(a-b)+1cos b-sin(a-b)sin b-cos b=-35,即cos(a-b)cos b-sin(a-b)sin b=-35.則cos(a-b+b)=-3

14、5,即cos a=-35.(2)由cos a=-35,0<a<,得sin a=45,由正弦定理,有asina=bsinb,所以,sin b=bsinaa=22.由題知a>b,則a>b,故b=4.根據(jù)余弦定理,有(42)2=52+c2-2×5c×-35,解得c=1或c=-7(舍去).故向量ba在bc方向上的投影為|ba|cos b=22.18.(2013四川,理18)(本小題滿分12分)某算法的程序框圖如圖所示,其中輸入的變量x在1,2,3,24這24個(gè)整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生.(1)分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時(shí)輸出y的值為i的概率pi(i=1,2,3

15、);(2)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對(duì)程序框圖的理解,各自編寫程序重復(fù)運(yùn)行n次后,統(tǒng)計(jì)記錄了輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻數(shù),以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù).甲的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分)運(yùn)行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)30146102 1001 027376697乙的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分)運(yùn)行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)30121172 1001 051696353當(dāng)n=2 100時(shí),根據(jù)表中的數(shù)據(jù),分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率(用分?jǐn)?shù)表示),并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編程序符合算法要求的

16、可能性較大;(3)將按程序框圖正確編寫的程序運(yùn)行3次,求輸出y的值為2的次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.解:(1)變量x是在1,2,3,24這24個(gè)整數(shù)中隨機(jī)產(chǎn)生的一個(gè)數(shù),共有24種可能.當(dāng)x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí),輸出y的值為1,故p1=12;當(dāng)x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí),輸出y的值為2,故p2=13;當(dāng)x從6,12,18,24這4個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí),輸出y的值為3,故p3=16.所以,輸出y的值為1的概率為12,輸出y的值為2的概率為13,輸出y的值為3的概率為16.(2)當(dāng)n=2 100時(shí),甲、乙所編程序各自輸

17、出y的值為i(i=1,2,3)的頻率如下:輸出y的值為1的頻率輸出y的值為2的頻率輸出y的值為3的頻率甲1 0272 1003762 1006972 100乙1 0512 1006962 1003532 100比較頻率趨勢(shì)與概率,可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大.(3)隨機(jī)變量可能的取值為0,1,2,3.p(=0)=c30×130×233=827,p(=1)=c31×131×232=49,p(=2)=c32×132×231=29,p(=3)=c33×133×230=127,故的分布列為0123p82749

18、29127所以,e=0×827+1×49+2×29+3×127=1.即的數(shù)學(xué)期望為1.19.(2013四川,理19)(本小題滿分12分)如圖,在三棱柱abc-a1b1c1中,側(cè)棱aa1底面abc,ab=ac=2aa1,bac=120°,d,d1分別是線段bc,b1c1的中點(diǎn),p是線段ad的中點(diǎn).(1)在平面abc內(nèi),試作出過點(diǎn)p與平面a1bc平行的直線l,說明理由,并證明直線l平面add1a1;(2)設(shè)(1)中的直線l交ab于點(diǎn)m,交ac于點(diǎn)n,求二面角a-a1m-n的余弦值.解:(1)如圖,在平面abc內(nèi),過點(diǎn)p作直線lbc,因?yàn)閘在平面a1

19、bc外,bc在平面a1bc內(nèi),由直線與平面平行的判定定理可知,l平面a1bc.由已知,ab=ac,d是bc的中點(diǎn),所以,bcad,則直線lad.因?yàn)閍a1平面abc,所以aa1直線l.又因?yàn)閍d,aa1在平面add1a1內(nèi),且ad與aa1相交,所以直線l平面add1a1.(2)解法一:連接a1p,過a作aea1p于e,過e作efa1m于f,連接af.由(1)知,mn平面aea1,所以平面aea1平面a1mn.所以ae平面a1mn,則a1mae.所以a1m平面aef,則a1maf.故afe為二面角a-a1m-n的平面角(設(shè)為).設(shè)aa1=1,則由ab=ac=2aa1,bac=120°,

20、有bad=60°,ab=2,ad=1.又p為ad的中點(diǎn),所以m為ab中點(diǎn),且ap=12,am=1,所以,在rtaa1p中,a1p=52;在rta1am中,a1m=2.從而ae=aa1·apa1p=15,af=aa1·ama1m=12.所以sin =aeaf=25.所以cos =1-sin2=1-252=155.故二面角a-a1m-n的余弦值為155.解法二:設(shè)a1a=1.如圖,過a1作a1e平行于b1c1,以a1為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以a1e,a1d1,a1a的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系oxyz(點(diǎn)o與點(diǎn)a1重合).則a1(0,0,0),a(0,

21、0,1).因?yàn)閜為ad的中點(diǎn),所以m,n分別為ab,ac的中點(diǎn).故m32,12,1,n-32,12,1.所以a1m=32,12,1,a1a=(0,0,1),nm=(3,0,0).設(shè)平面aa1m的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z1),則n1a1m,n1a1a,即n1·a1m=0,n1·a1a=0,故有(x1,y1,z1)·32,12,1=0,(x1,y1,z1)·(0,0,1)=0,從而32x1+12y1+z1=0,z1=0.取x1=1,則y1=-3,所以n1=(1,-3,0).設(shè)平面a1mn的一個(gè)法向量為n2=(x2,y2,z2),則n2a1m,n2n

22、m,即n2·a1m=0,n2·nm=0,故有(x2,y2,z2)·32,12,1=0,(x2,y2,z2)·(3,0,0)=0,從而32x2+12y2+z2=0,3x2=0.取y2=2,則z2=-1,所以n2=(0,2,-1).設(shè)二面角a-a1m-n的平面角為,又為銳角,則cos =n1·n2|n1|·|n2|=(1,-3,0)·(0,2,-1)2·5=155.故二面角a-a1m-n的余弦值為155.20.(2013四川,理20)(本小題滿分13分)已知橢圓c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)

23、焦點(diǎn)分別為f1(-1,0),f2(1,0),且橢圓c經(jīng)過點(diǎn)p43,13.(1)求橢圓c的離心率;(2)設(shè)過點(diǎn)a(0,2)的直線l與橢圓c交于m,n兩點(diǎn),點(diǎn)q是線段mn上的點(diǎn),且2|aq|2=1|am|2+1|an|2,求點(diǎn)q的軌跡方程.解:(1)由橢圓定義知,2a=|pf1|+|pf2|=43+12+132+43-12+132=22,所以a=2.又由已知,c=1.所以橢圓c的離心率e=ca=12=22.(2)由(1)知,橢圓c的方程為x22+y2=1.設(shè)點(diǎn)q的坐標(biāo)為(x,y).(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),直線l與橢圓c交于(0,1),(0,-1)兩點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)q的坐標(biāo)為0,2-355.(2)當(dāng)直

24、線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+2.因?yàn)閙,n在直線l上,可設(shè)點(diǎn)m,n的坐標(biāo)分別為(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),則|am|2=(1+k2)x12,|an|2=(1+k2)x22.又|aq|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.由2|aq|2=1|am|2+1|an|2,得2(1+k2)x2=1(1+k2)x12+1(1+k2)x22,即2x2=1x12+1x22=(x1+x2)2-2x1x2x12x22.將y=kx+2代入x22+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0.由=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0,得k2>

25、32.由可知,x1+x2=-8k2k2+1,x1x2=62k2+1,代入中并化簡,得x2=1810k2-3.因?yàn)辄c(diǎn)q在直線y=kx+2上,所以k=y-2x,代入中并化簡,得10(y-2)2-3x2=18.由及k2>32,可知0<x2<32,即x-62,00,62.又0,2-355滿足10(y-2)2-3x2=18,故x-62,62.由題意,q(x,y)在橢圓c內(nèi),所以-1y1.又由10(y-2)2=18+3x2有(y-2)295,94且-1y1,則y12,2-355.所以,點(diǎn)q的軌跡方程為10(y-2)2-3x2=18,其中x-62,62,y12,2-355.21.(2013四川,理21)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=x2+2x+a,x<0,lnx,x>0,其中a是實(shí)數(shù).設(shè)a(x1,f(x1),b(x2,f(x2)為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),且x1<x2.(1)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)a,b處的切線互相垂直,且x2<0,求x2-x1的最小值;(3)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)a,b處的切線重合,求a的取值范圍.解:(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-,-1),單調(diào)遞增區(qū)間為-1,0),(0,+).(2)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,點(diǎn)a處的切線斜