2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(江蘇卷)

1、江蘇數(shù)學(xué)試題參考公式:樣本數(shù)據(jù)x1,x2,xn的方差s2=1ni=1n(xi-x)2,其中x=1ni=1nxi.棱錐的體積公式:v=13sh,其中s是錐體的底面積,h為高.棱柱的體積公式:v=sh,其中s是柱體的底面積,h為高.一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共計(jì)70分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1.(2013江蘇,1)函數(shù)y=3sin2x+4的最小正周期為. 答案:解析:函數(shù)y=3sin2x+4的最小正周期t=22=.2.(2013江蘇,2)設(shè)z=(2-i)2(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的模為. 答案:5解析:|z|=|(2-i)2|=|4-4i+i2|=|

2、3-4i|=32+(-4)2=5.3.(2013江蘇,3)雙曲線x216-y29=1的兩條漸近線的方程為. 答案:y=±34x解析:由題意可知所求雙曲線的漸近線方程為y=±34x.4.(2013江蘇,4)集合-1,0,1共有個(gè)子集. 答案:8解析:由于集合-1,0,1有3個(gè)元素,故其子集個(gè)數(shù)為23=8.5.(2013江蘇,5)下圖是一個(gè)算法的流程圖,則輸出的n的值是. 答案:3解析:第一次循環(huán)后:a8,n2;第二次循環(huán)后:a26,n3;由于26>20,跳出循環(huán),輸出n=3.6.(2013江蘇,6)抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次訓(xùn)練成績(jī)

3、(單位:環(huán)),結(jié)果如下:運(yùn)動(dòng)員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績(jī)較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為. 答案:2解析:由題中數(shù)據(jù)可得x甲=90,x乙=90.于是s甲2=15(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2=4,s乙2=15(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2=2,由s甲2>s乙2,可知乙運(yùn)動(dòng)員成績(jī)穩(wěn)定.故應(yīng)填2.7.(2013江蘇,7)現(xiàn)有某類病毒記作xmyn,其中正整數(shù)m,n(m7,n9)可以任意選取,則m,n都取到

4、奇數(shù)的概率為. 答案:2063解析:由題意知m的可能取值為1,2,3,7;n的可能取值為1,2,3,9.由于是任取m,n:若m=1時(shí),n可取1,2,3,9,共9種情況;同理m取2,3,7時(shí),n也各有9種情況,故m,n的取值情況共有7×9=63種.若m,n都取奇數(shù),則m的取值為1,3,5,7,n的取值為1,3,5,7,9,因此滿足條件的情形有4×5=20種.故所求概率為2063.8.(2013江蘇,8)如圖,在三棱柱a1b1c1-abc中,d,e,f分別是ab,ac,aa1的中點(diǎn),設(shè)三棱錐f-ade的體積為v1,三棱柱a1b1c1-abc的體積為v2,則v1v2=.

5、 答案:124解析:由題意可知點(diǎn)f到面abc的距離與點(diǎn)a1到面abc的距離之比為12,sadesabc=14.因此v1v2=13af·saed2af·sabc=124.9.(2013江蘇,9)拋物線y=x2在x=1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)閐(包含三角形內(nèi)部和邊界).若點(diǎn)p(x,y)是區(qū)域d內(nèi)的任意一點(diǎn),則x+2y的取值范圍是. 答案:-2,12解析:由題意可知拋物線y=x2在x=1處的切線方程為y=2x-1.該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域如圖中陰影部分所示:當(dāng)直線x+2y=0平移到過點(diǎn)a12,0時(shí),x+2y取得最大值12.當(dāng)直線x+2y=0平移到過

6、點(diǎn)b(0,-1)時(shí),x+2y取得最小值-2.因此所求的x+2y的取值范圍為-2,12.10.(2013江蘇,10)設(shè)d,e分別是abc的邊ab,bc上的點(diǎn),ad=12ab,be=23bc.若de=1ab+2ac(1,2為實(shí)數(shù)),則1+2的值為. 答案:12解析:由題意作圖如圖.在abc中,de=db+be=12ab+23bc=12ab+23(ac-ab)=-16ab+23ac=1ab+2ac,1=-16,2=23.故1+2=12.11.(2013江蘇,11)已知f(x)是定義在r上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-4x,則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為.

7、0;答案:(-5,0)(5,+)解析:函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且x>0時(shí),f(x)=x2-4x,則f(x)=x2-4x,x>0,0,x=0,-x2-4x,x<0,原不等式等價(jià)于x>0,x2-4x>x,或x<0,-x2-4x>x.由此可解得x>5或-5<x<0.故應(yīng)填(-5,0)(5,+).12.(2013江蘇,12)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(a>0,b>0),右焦點(diǎn)為f,右準(zhǔn)線為l,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為b.設(shè)原點(diǎn)到直線bf的距離為d1,f到l的距離為d2.若d2=6d1,則橢圓c的離心率

8、為. 答案:33解析:設(shè)橢圓c的半焦距為c,由題意可設(shè)直線bf的方程為xc+yb=1,即bx+cy-bc=0.于是可知d1=bcb2+c2=bca,d2=a2c-c=a2-c2c=b2c.d2=6d1,b2c=6bca,即ab=6c2.a2(a2-c2)=6c4.6e4+e2-1=0.e2=13.e=33.13.(2013江蘇,13)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,設(shè)定點(diǎn)a(a,a),p是函數(shù)y=1x(x>0)圖象上一動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)p,a之間的最短距離為22,則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為. 答案:-1,10解析:設(shè)p點(diǎn)的坐標(biāo)為x,1x,則|pa|2=(x-a)2+1x-a2=x

9、2+1x2-2ax+1x+2a2.令t=x+1x2,則|pa|2=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2(t2).結(jié)合題意可知(1)當(dāng)a2,t=2時(shí),|pa|2取得最小值.此時(shí)(2-a)2+a2-2=8,解得a=-1,a=3(舍去).(2)當(dāng)a>2,t=a時(shí),|pa|2取得最小值.此時(shí)a2-2=8,解得a=10,a=-10(舍去).故滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為10,-1.14.(2013江蘇,14)在正項(xiàng)等比數(shù)列an中,a5=12,a6+a7=3.則滿足a1+a2+an>a1a2an的最大正整數(shù)n的值為. 答案:12解析:設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q,則由a5=

10、12,a6+a7=a5(q+q2)=3可得q=2,于是an=2n-6,則a1+a2+an=132(1-2n)1-2=2n-5-132.a5=12,q=2,a6=1,a1a11=a2a10=a62=1.a1a2a11=1.當(dāng)n取12時(shí),a1+a2+a12=27-132>a1a2a11a12=a12=26成立;當(dāng)n取13時(shí),a1+a2+a13=28-132<a1a2a11a12a13=a12a13=26·27=213.當(dāng)n>13時(shí),隨著n增大a1+a2+an將恒小于a1a2an.因此所求n的最大值為12.二、解答題:本大題共6小題,共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,

11、解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(2013江蘇,15)(本小題滿分14分)已知a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),0<<<.(1)若|a-b|=2,求證:ab;(2)設(shè)c=(0,1),若a-b=c,求,的值.(1)證明:由題意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2.又因?yàn)閍2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2a·b=2,即a·b=0.故ab.(2)解:因?yàn)閍+b=(cos +cos ,sin +sin )=(0,1),所以cos+cos=0,sin+sin=1,由此得cos =co

12、s(-).由0<<,得0<-<,又0<<,故=-.代入sin +sin =1,得sin =sin =12,而>,所以=56,=6.16.(2013江蘇,16)(本小題滿分14分)如圖,在三棱錐s-abc中,平面sab平面sbc,abbc,as=ab.過a作afsb,垂足為f,點(diǎn)e,g分別是棱sa,sc的中點(diǎn).求證:(1)平面efg平面abc;(2)bcsa.證明:(1)因?yàn)閍s=ab,afsb,垂足為f,所以f是sb的中點(diǎn).又因?yàn)閑是sa的中點(diǎn),所以efab.因?yàn)閑f平面abc,ab平面abc,所以ef平面abc.同理eg平面abc.又efeg=e,所

13、以平面efg平面abc.(2)因?yàn)槠矫鎠ab平面sbc,且交線為sb,又af平面sab,afsb,所以af平面sbc.因?yàn)閎c平面sbc,所以afbc.又因?yàn)閍bbc,afab=a,af,ab平面sab,所以bc平面sab.因?yàn)閟a平面sab,所以bcsa.17.(2013江蘇,17)(本小題滿分14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,點(diǎn)a(0,3),直線l:y=2x-4.設(shè)圓c的半徑為1,圓心在l上.(1)若圓心c也在直線y=x-1上,過點(diǎn)a作圓c的切線,求切線的方程;(2)若圓c上存在點(diǎn)m,使ma=2mo,求圓心c的橫坐標(biāo)a的取值范圍.解:(1)由題設(shè),圓心c是直線y=2x-4和y=x-1

14、的交點(diǎn),解得點(diǎn)c(3,2),于是切線的斜率必存在.設(shè)過a(0,3)的圓c的切線方程為y=kx+3,由題意,|3k+1|k2+1=1,解得k=0或-34,故所求切線方程為y=3或3x+4y-12=0.(2)因?yàn)閳A心在直線y=2x-4上,所以圓c的方程為(x-a)2+y-2(a-2)2=1.設(shè)點(diǎn)m(x,y),因?yàn)閙a=2mo,所以x2+(y-3)2=2x2+y2,化簡(jiǎn)得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以點(diǎn)m在以d(0,-1)為圓心,2為半徑的圓上.由題意,點(diǎn)m(x,y)在圓c上,所以圓c與圓d有公共點(diǎn),則|2-1|cd2+1,即1a2+(2a-3)23.由5a2-12a+80

15、,得ar;由5a2-12a0,得0a125.所以點(diǎn)c的橫坐標(biāo)a的取值范圍為0,125.18.(2013江蘇,18)(本小題滿分16分)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)a處下山至c處有兩種路徑.一種是從a沿直線步行到c,另一種是先從a沿索道乘纜車到b,然后從b沿直線步行到c.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從a處下山,甲沿ac勻速步行,速度為50 m/min,在甲出發(fā)2 min后,乙從a乘纜車到b,在b處停留1 min后,再從b勻速步行到c.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130 m/min,山路ac長(zhǎng)為1 260 m,經(jīng)測(cè)量,cos a=1213,cos c=35.(1)求索道ab的長(zhǎng);(2)問乙出發(fā)多少分鐘后,乙

16、在纜車上與甲的距離最短?(3)為使兩位游客在c處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?解:(1)在abc中,因?yàn)閏os a=1213,cos c=35,所以sin a=513,sin c=45.從而sin b=sin-(a+c)=sin(a+c)=sin acos c+cos asin c=513×35+1213×45=6365.由正弦定理absinc=acsinb,得ab=acsinb×sin c=1 2606365×45=1 040(m).所以索道ab的長(zhǎng)為1 040 m.(2)假設(shè)乙出發(fā)t min后,甲、乙兩游客距離為d,此時(shí)

17、,甲行走了(100+50t) m,乙距離a處130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×1213=200(37t2-70t+50),因0t1 040130,即0t8,故當(dāng)t=3537(min)時(shí),甲、乙兩游客距離最短.(3)由正弦定理bcsina=acsinb,得bc=acsinb×sin a=1 2606365×513=500(m).乙從b出發(fā)時(shí),甲已走了50×(2+8+1)=550(m),還需走710 m才能到達(dá)c.設(shè)乙步行的速度為v m/min,由題意得-3500v

18、-710503,解得1 25043v62514,所以為使兩位游客在c處互相等待的時(shí)間不超過3 min,乙步行的速度應(yīng)控制在1 25043,62514(單位:m/min)范圍內(nèi).19.(2013江蘇,19)(本小題滿分16分)設(shè)an是首項(xiàng)為a,公差為d的等差數(shù)列(d0),sn是其前n項(xiàng)和.記bn=nsnn2+c,nn*,其中c為實(shí)數(shù).(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比數(shù)列,證明:snk=n2sk(k,nn*);(2)若bn是等差數(shù)列,證明:c=0.證明:由題設(shè),sn=na+n(n-1)2d.(1)由c=0,得bn=snn=a+n-12d.又因?yàn)閎1,b2,b4成等比數(shù)列,所以b22=b1b

19、4,即a+d22=aa+32d,化簡(jiǎn)得d2-2ad=0.因?yàn)閐0,所以d=2a.因此,對(duì)于所有的mn*,有sm=m2a.從而對(duì)于所有的k,nn*,有snk=(nk)2a=n2k2a=n2sk.(2)設(shè)數(shù)列bn的公差是d1,則bn=b1+(n-1)d1,即nsnn2+c=b1+(n-1)d1,nn*,代入sn的表達(dá)式,整理得,對(duì)于所有的nn*,有d1-12dn3+b1-d1-a+12dn2+cd1n=c(d1-b1).令a=d1-12d,b=b1-d1-a+12d,d=c(d1-b1),則對(duì)于所有的nn*,有an3+bn2+cd1n=d.(*)在(*)式中分別取n=1,2,3,4,得a+b+cd

20、1=8a+4b+2cd1=27a+9b+3cd1=64a+16b+4cd1,從而有7a+3b+cd1=0,19a+5b+cd1=0,21a+5b+cd1=0,由,得a=0,cd1=-5b,代入方程,得b=0,從而cd1=0.即d1-12d=0,b1-d1-a+12d=0,cd1=0.若d1=0,則由d1-12d=0,得d=0,與題設(shè)矛盾,所以d10.又因?yàn)閏d1=0,所以c=0.20.(2013江蘇,20)(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-ax,g(x)=ex-ax,其中a為實(shí)數(shù).(1)若f(x)在(1,+)上是單調(diào)減函數(shù),且g(x)在(1,+)上有最小值,求a的取值范圍;(2)若

21、g(x)在(-1,+)上是單調(diào)增函數(shù),試求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.解:(1)令f'(x)=1x-a=1-axx<0,考慮到f(x)的定義域?yàn)?0,+),故a>0,進(jìn)而解得x>a-1,即f(x)在(a-1,+)上是單調(diào)減函數(shù).同理,f(x)在(0,a-1)上是單調(diào)增函數(shù).由于f(x)在(1,+)上是單調(diào)減函數(shù),故(1,+)(a-1,+),從而a-11,即a1.令g'(x)=ex-a=0,得x=ln a.當(dāng)x<ln a時(shí),g'(x)<0;當(dāng)x>ln a時(shí),g'(x)>0.又g(x)在(1,+)上有最小值,所以ln

22、 a>1,即a>e.綜上,有a(e,+).(2)當(dāng)a0時(shí),g(x)必為單調(diào)增函數(shù);當(dāng)a>0時(shí),令g'(x)=ex-a>0,解得a<ex,即x>ln a.因?yàn)間(x)在(-1,+)上是單調(diào)增函數(shù),類似(1)有l(wèi)n a-1,即0<ae-1.結(jié)合上述兩種情況,有ae-1.當(dāng)a=0時(shí),由f(1)=0以及f'(x)=1x>0,得f(x)存在唯一的零點(diǎn);當(dāng)a<0時(shí),由于f(ea)=a-aea=a(1-ea)<0,f(1)=-a>0,且函數(shù)f(x)在ea,1上的圖象不間斷,所以f(x)在(ea,1)上存在零點(diǎn).另外,當(dāng)x>

23、;0時(shí),f'(x)=1x-a>0,故f(x)在(0,+)上是單調(diào)增函數(shù),所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)0<ae-1時(shí),令f'(x)=1x-a=0,解得x=a-1.當(dāng)0<x<a-1時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x>a-1時(shí),f'(x)<0,所以,x=a-1是f(x)的最大值點(diǎn),且最大值為f(a-1)=-ln a-1.當(dāng)-ln a-1=0,即a=e-1時(shí),f(x)有一個(gè)零點(diǎn)x=e.當(dāng)-ln a-1>0,即0<a<e-1時(shí),f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).實(shí)際上,對(duì)于0<a<e-1,由于f(e-1)=-1-ae-1&l

24、t;0,f(a-1)>0,且函數(shù)f(x)在e-1,a-1上的圖象不間斷,所以f(x)在(e-1,a-1)上存在零點(diǎn).另外,當(dāng)x(0,a-1)時(shí),f'(x)=1x-a>0,故f(x)在(0,a-1)上是單調(diào)增函數(shù),所以f(x)在(0,a-1)上只有一個(gè)零點(diǎn).下面考慮f(x)在(a-1,+)上的情況.先證f(ea-1)=a(a-2-ea-1)<0.為此,我們要證明:當(dāng)x>e時(shí),ex>x2.設(shè)h(x)=ex-x2,則h'(x)=ex-2x,再設(shè)l(x)=h'(x)=ex-2x,則l'(x)=ex-2.當(dāng)x>1時(shí),l'(x)=

25、ex-2>e-2>0,所以l(x)=h'(x)在(1,+)上是單調(diào)增函數(shù).故當(dāng)x>2時(shí),h'(x)=ex-2x>h'(2)=e2-4>0,從而h(x)在(2,+)上是單調(diào)增函數(shù),進(jìn)而當(dāng)x>e時(shí),h(x)=ex-x2>h(e)=ee-e2>0.即當(dāng)x>e時(shí),ex>x2.當(dāng)0<a<e-1,即a-1>e時(shí),f(ea-1)=a-1-aea-1=a(a-2-ea-1)<0,又f(a-1)>0,且函數(shù)f(x)在a-1,ea-1上的圖象不間斷,所以f(x)在(a-1,ea-1)上存在零點(diǎn).又當(dāng)x

26、>a-1時(shí),f'(x)=1x-a<0,故f(x)在(a-1,+)上是單調(diào)減函數(shù),所以f(x)在(a-1,+)上只有一個(gè)零點(diǎn).綜合,當(dāng)a0或a=e-1時(shí),f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1,當(dāng) 0<a<e-1時(shí),f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.數(shù)學(xué)(附加題)【選做題】本題包括a、b、c、d四小題,請(qǐng)選定其中兩小題,并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做,則按作答的前兩小題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.21.(2013江蘇,21)a.選修4-1:幾何證明選講(本小題滿分10分)如圖,ab和bc分別與圓o相切于點(diǎn)d,c,ac經(jīng)過圓心o,且bc=2oc.求證:ac=2ad.證明

27、:連結(jié)od.因?yàn)閍b和bc分別與圓o相切于點(diǎn)d,c,所以ado=acb=90°.又因?yàn)閍=a,所以rtadortacb.所以bcod=acad.又bc=2oc=2od,故ac=2ad.b.選修4-2:矩陣與變換(本小題滿分10分)已知矩陣a=-1002,b=1206,求矩陣a-1b.解:設(shè)矩陣a的逆矩陣為abcd,則-1002abcd=1001,即-a-b2c 2d=1001,故a=-1,b=0,c=0,d=12,從而a的逆矩陣為a-1=-10012,所以a-1b=-100121206=-1-203.c.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本小題滿分10分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線l

28、的參數(shù)方程為x=t+1,y=2t(t為參數(shù)),曲線c的參數(shù)方程為x=2tan2,y=2tan(為參數(shù)).試求直線l和曲線c的普通方程,并求出它們的公共點(diǎn)的坐標(biāo).解:因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為x=t+1,y=2t(t為參數(shù)),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直線l的普通方程為2x-y-2=0.同理得到曲線c的普通方程為y2=2x.聯(lián)立方程組y=2(x-1),y2=2x,解得公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2),12,-1.d.選修4-5:不等式選講(本小題滿分10分)已知ab>0,求證:2a3-b32ab2-a2b.證明:2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)

29、=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).因?yàn)閍b>0,所以a-b0,a+b>0,2a+b>0,從而(a-b)(a+b)(2a+b)0,即2a3-b32ab2-a2b.【必做題】第22題、第23題,每題10分,共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22.(2013江蘇,22)(本小題滿分10分)如圖,在直三棱柱a1b1c1-abc中,abac,ab=ac=2,a1a=4,點(diǎn)d是bc的中點(diǎn).(1)求異面直線a1b與c1d所成角的余弦值;(2)求平面adc1與平面aba1所成二面角的正弦值.解:(1)以a為坐標(biāo)原點(diǎn),

30、建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系a-xyz,則a(0,0,0),b(2,0,0),c(0,2,0),d(1,1,0),a1(0,0,4),c1(0,2,4),所以a1b=(2,0,-4),c1d=(1,-1,-4).因?yàn)閏os<a1b,c1d>=a1b·c1d|a1b|c1d|=1820×18=31010,所以異面直線a1b與c1d所成角的余弦值為31010.(2)設(shè)平面adc1的法向量為n1=(x,y,z),因?yàn)閍d=(1,1,0),ac1=(0,2,4),所以n1·ad=0,n1·ac1=0,即x+y=0且y+2z=0,取z=1,得x=2,y=-2,所以,n1=(2,-2,1)是平面adc1的一個(gè)法向量.取平面aa1b的一個(gè)法向量為n2=(0,1,0),設(shè)平面adc1與平面aba1所成二面角的大小為.由|cos |=n1·n2|n1|n2|=29×1=23,得sin =53.因此,平面adc1與平面aba1所成二面角的正弦值為53.23.(2013江蘇,23)(本小題滿分10分)設(shè)數(shù)列an:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,(-1)k-1