fft的發(fā)展、現(xiàn)狀、典型算法

1、數(shù)字信號處理期末大作業(yè)FFT的發(fā)展史、現(xiàn)狀及典型算法班級學號： 姓名：FFT的發(fā)展史、現(xiàn)狀及典型算法傅里葉分析已有 200 多年的歷史，目前 FFT及其校正算法在工程實際中仍在 廣泛應用， 展現(xiàn)了其不竭的生命力。 本次作業(yè)我們論述 FFT的現(xiàn)狀，發(fā)展史以及 一些算法，去詳細了解、擴展這一算法，鞏固所學知識。一 FFT 的簡介傅里葉變換是一種將信號從時域變換到頻域的變換形式， 然而當 N 很大的時 候，求一個 N點的 DFT要完成 N*N次復數(shù)乘法和 N*（ N-1）次復數(shù)加法，計算量 非常大，所以人們開始探索一種簡便的算法對于一個較大的 N 進行傅里葉變換。 在 20世紀 60年代由 Cool

2、ey 和 Tukey提出了快速傅里葉變換算法，它是快速計 算 DFT的一種簡單高效的方法。關于何為 FFT，它是根據(jù)離散傅氏變換的奇、偶、虛、實等特性，對離散傅 立葉變換的算法進行改進獲得的。 舉個例子，設 x（n） 為 N項的復數(shù)序列， 由 DFT 變換，任一 X（m）的計算都需要 N次復數(shù)乘法和 N-1 次復數(shù)加法，而一次復數(shù) 乘法等于四次實數(shù)乘法和兩次實數(shù)加法， 一次復數(shù)加法等于兩次實數(shù)加法， 即使 把一次復數(shù)乘法和一次復數(shù)加法定義成一次“運算” （四次實數(shù)乘法和四次實數(shù) 加法），那么求出 N項復數(shù)序列的 X（m）,即 N點 DFT變換大約就需要 N2次運 算。當 N=1024點甚至更多

3、的時候，需要 N2=1048576次運算，在 FFT 中，利用 WN的周期性和對稱性，把一個 N 項序列（設 N=2k,k 為正整數(shù)），分為兩個 N/2 項的子序列，每個 N/2 點 DFT變換需要（ N/2）2 次運算，再用 N 次運算把兩個 N/2 點的 DFT變換組合成一個 N點的 DFT變換。這樣變換以后，總的運算次數(shù)就 變成 N+2*（N/2）2=N+（N2）/2 。繼續(xù)上面的例子， N=1024時，總的運算次數(shù) 就變成了 525312 次，節(jié)省了大約 50%的運算量。而如果我們將這種“一分為二” 的思想不斷進行下去， 直到分成兩兩一組的 DFT運算單元， 那么 N點的 DFT變換

4、就只需要 Nlog2N次的運算， N在 1024點時，運算量僅有 10240次，是先前的直 接算法的 1%，點數(shù)越多，運算量的節(jié)約就越大，這就是 FFT的優(yōu)越性。所以使用 FFT 算法，可以大大提高傅里葉變換的運算速度， 運算時間縮短一 到兩個數(shù)量級， 從而使 DFT變換應用迅速普及， 不僅在頻譜分析， 而且在線性卷 積、線性相關等方面得到廣泛應用。二 FFT 的現(xiàn)實意義隨著計算機技術的發(fā)展， 離散傅里葉變化的出現(xiàn)使得傅里葉變換在工程中進 入實際應用階段。 在信號處理中， DFT的計算具有舉足輕重的作用， 信號的相關、 濾波、譜估計等都要通過 DFT來實現(xiàn)，但必須減少它的運算量， DFT才能在

5、工程 計算中具有實用價值。所以， FFT的出現(xiàn)提高了它的實用價值。而 FFT成為數(shù)字 信號處理的關鍵技術， 在信號處理領域扮演的角色越來越重要。 高效率的快速傅 立葉變換 (FFT) 算法是雷達信號處理、衛(wèi)星通訊、生物醫(yī)學和多媒體信號處理等 基礎和核心算法。提高 FFT 處理速度滿足對雷達信號處理實時性的，要求在 EW 接收機高速數(shù)據(jù)處理方面將有廣泛的應用前景。 隨著科學技術的不斷進步， 相控 陣體制已廣泛應用于各種星載、 機載、艦載和地面雷達。 對于電尺寸較大幾十甚 至幾百個波長的相控陣天線， (如高分辨率星載， SAR天線、大型稀布陣天線等 )， 用公式按級數(shù)求和計算陣列天線方向圖的方法效

6、率甚低。 FFT的引入將從根本上 解決這一難題。平面近場測量方法是天線測量的常規(guī)手段而 FFT 技術加快了天線 參數(shù)評估的速度。三傅里葉變換的發(fā)展歷程對于發(fā)展史，我們由記載可知， 離散傅里葉變換 DFT是數(shù)字信號處理最重要 的基石之一，也是對信號進行分析和處理時最常用的工具之一。 在 200多年前法 國數(shù)學家、物理學家傅里葉提出后來以他名字命名的傅里葉級數(shù)之后，用 DFT 這個工具來分析信號就已經(jīng)為人們所知。歷史上最偉大的數(shù)學家之一。歐拉是第一個使用“函數(shù)”一詞來描述包含各種參數(shù)的表達式的人，例如： y = f(x) 。他是把微積分應用于物理學的先驅(qū)者之一。 給出了一個用實變量函 數(shù)表示傅立葉

7、級數(shù)系數(shù)的方程； 用三角級數(shù)來描述離散聲音在彈性媒介中傳 播，發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可以通過余弦函數(shù)之和來表達。 但在很長時間內(nèi)，這種分析 方法并沒有引起更多的重視，最主要的原因在于這種方法運算量比較大。直到 1965年，Cooley 和 Tukey在計算機科學 發(fā)表著名的機器計算傅立葉級數(shù) 的一種算法論文， FFT才開始大規(guī)模應用。那個年代， 有個肯尼迪總統(tǒng)科學咨詢委員會。 其中有項研究主題是， 對蘇聯(lián) 核測試進行檢測， Tukey 就是其中一員。美國 / 蘇聯(lián)核測試提案的批準，主要取 決于不實地訪問核測試設施而做出檢測的方法的發(fā)展。 其中一個想法是， 分析離 海岸的地震計情況，這種計算需要快速算法來

8、計算 DFT。其它應用是國家安全， 如用聲學探測遠距離的核潛艇。 所以在軍事上， 迫切需要一種快速的傅立葉變換 算法，這也促進了 FFT的正式提出。FFT的這種方法充分利用了 DFT運算中的對稱性和周期性， 從而將 DFT運算 量從 N2減少到 N*log2N。當 N比較小時， FFT優(yōu)勢并不明顯。但當 N大于 32 開 始，點數(shù)越大， FFT對運算量的改善越明顯。比如當 N為 1024 時，F(xiàn)FT的運算效 率比 DFT提高了 100 倍。在庫利和圖基提出的 FFT算法中，其基本原理是先將一 個 N點時域序列的 DFT分解為 N個 1 點序列的 DFT，然后將這樣計算出來的 N個 1 點序列

9、DFT的結(jié)果進行組合，得到最初的 N 點時域序列的 DFT值。實際上，這 種基本的思想很早就由德國偉大的數(shù)學家高斯提出過， 在某種情況下， 天文學計 算（也是現(xiàn)在 FFT 應用的領域之一） 與等距觀察的有限集中的行星軌道的內(nèi)插值 有關。由于當時計算都是靠手工，所以產(chǎn)生一種快速算法的迫切需要。 而且， 更少的計算量同時也代表著錯誤的機會更少， 正確性更高。 高斯發(fā)現(xiàn)， 一個富氏 級數(shù)有寬度 N=N1*N2，可以分成幾個部分。計算 N2子樣本 DFT的 N1 長度和 N1 子樣本 DFT的 N2長度。只是由于當時尚欠東風計算機還沒發(fā)明。 在 20 世紀 60 年代，伴隨著計算機的發(fā)展和成熟，庫利和

10、圖基的成果掀起了數(shù)字信號處理 的革命，因而 FFT 發(fā)明者的桂冠才落在他們頭上。之后，桑德 - 圖基等快速算法相繼出現(xiàn)，幾經(jīng)改進，很快形成了一套高效運 算方法， 這就是現(xiàn)在的快速傅立葉變換 （ FFT）。這種算法使 DFT的運算效率提高 1到 2個數(shù)量級，為數(shù)字信號處理技術應用于各種信號的實時處理創(chuàng)造了良好的 條件，大大推進了數(shù)學信號處理技術。 1984 年，法國的杜哈梅和霍爾曼提出的 分裂基塊快速算法，使運算效率進一步提高。庫利和圖基的 FFT算法的最基本運算為蝶形運算， 每個蝶形運算包括兩個輸 入點，因而也稱為基 -2 算法。在這之后，又有一些新的算法，進一步提高了 FFT 的運算效率，比

11、如基 -4 算法，分裂基算法等。這些新算法對 FFT 運算效率的提 高一般在 50%以內(nèi)，遠遠不如 FFT對 DFT運算的提高幅度。 從這個意義上說， FFT 算法是里程碑式的。 可以說， 正是計算機技術的發(fā)展和 FFT的出現(xiàn)， 才使得數(shù)字 信號處理迎來了一個嶄新的時代。除了運算效率的大幅度提高外， FFT還大大降 低了 DFT運算帶來的累計量化誤差，這點常為人們所忽略。以上為 FFT的發(fā)展史， 在整個發(fā)展歷程中， 傅里葉的發(fā)明作用尤為重要， 后 人的推動，改良在發(fā)展史上也起到了至關重要的作用。四 FFT 的現(xiàn)狀、發(fā)展熱度對于傅里葉變換的現(xiàn)狀，我們分為國內(nèi)國外兩部分進行討論： 首先介紹國外現(xiàn)狀

12、，國外圍繞快速傅立葉變換的并行計算進行了多項研究和 開發(fā)。美國新墨西哥大學 Vasilios Georgitsis等人設計了 2-DFFT程序，可處理 512*512 個點的圖像，其底層通信基于 PVM，將 2-DFFT轉(zhuǎn)化成 1-DFFT 并行計 算，完成了二維圖像的變換。 目前最新的研究成果是由麻省理工學院計算機科學 實驗室超級計算技術組開發(fā)的 FFTW。 FFTW是計算離散傅里葉變換 DFT的快速 C 程序的一個完整集合，它可計算一維或多維、實數(shù)據(jù)和復數(shù)據(jù)以及任意規(guī)模的DFT。 在 FFTW中， DFT的計算由執(zhí)行器完成。執(zhí)行器是由許多高度優(yōu)化的、可 組裝的子代碼模塊組成的。 FFTW有

13、一個規(guī)劃器。規(guī)劃器用以根據(jù)具體機器的體 系結(jié)構特點和具體的 DFT寬度 N。在運行時尋找一種有效的子代碼塊組裝方式， 因此使得 FFTW具有很好的自適應性和很快的運行速度。 FFTW還包含對共享和分 布式存儲系統(tǒng)的并行變換。對于國內(nèi)現(xiàn)狀，在我國 80 年代初就開展了并行算法研究?？焖俑盗⑷~變換 的并行算法主要包括基于 SIMD-MC、2 SIMD-BF、SIMD-CC、MIMD-DM四種體系結(jié)構 上的 FFT算法，它們都是基 -2FFT 算法，算法各有利弊，受體系結(jié)構影響較大。 SIMD-MC2上的 FFT 算法 是按頻率抽取的快速傅立葉變換在網(wǎng)孔結(jié)構上的具體 實現(xiàn)。假設將 n 個處理器 P0

14、，P1，PN-1 排成的方陣。初始序列開始時已處于陣 列的各處理器中，即 ak 處于 Pk 中。算法結(jié)束時， Pk 保存 bk。SIMD-BF上 FFT 算法是在一個 n=2k 的蝶形網(wǎng)絡，簡記為 BF。將 （k+1） 、2k 個節(jié)點布局成 （k+1） 行，每行有 n個節(jié)點。令（r ，i） 表示第 r 行和第 i 列的坐標， 0，i ，n-1 ，exp（r ， i） 表示在 BF 中坐標點 （r ，i） 處的 w的指數(shù)，它等于字長為 k 的整數(shù) j ，即 exp（r ， i）=j 。使得如果 i 的二進制表示為 a1，a2，ar-1 ，ar ，ak，則 j 的二進制為 ar ， ar-1 a1

15、，000。也就是說將 i 的前 r 位取位反，即倒序，后面其余位補 零就可以得到 j 。因為蝶形網(wǎng)絡第 r-1 行和第 r 行之間的連接，正好能滿足直接 將 dr-1 ，i 和 dr-1 ，j 傳到 P（r ，j） 和 P（r ，j） ，所以無需考慮選路時間。算法 時間除計算 w、exp（r ，i） 的時間外，主要是算法第 2 步進行復數(shù)運算的時間。 它等于 0（ ） ，顯然優(yōu)于 SIMD-MC2上的 FFT算法，這也說明算法和體系結(jié)構的密 切關系。西安電子科技大學信息科學研究所提出了一種基于共享存儲的多機系統(tǒng)并 行計算 FFT算法。中國科學院計算技術研究所利用星型互聯(lián)網(wǎng)的遞歸可分解性的 多樣

16、性，提出了一種基于星型互聯(lián)網(wǎng)絡的并行快速傅立葉變換算法。 星圖具有層 次型結(jié)構， 可由許多低維的子星圖組成。 國防科大就向量機上的 FFT并行算法作 了系統(tǒng)的研究， 并就離散變換、 卷積和濾波的并行算法， 用多項式變換計算離散 卷積以及短卷積嵌套計算長卷積的并行算法，并研究了離散卷積的并行計算下 界，對一維和二維濾波給出了用變換法及遞推公式計算的并行算法。 可見無論在 與國內(nèi)還是國外， FFT算法都是研究的熱點，有著廣闊的發(fā)展前景。五基 4FFT 算法原理及介紹基 4FFT算法是把長度 N=4的序列一分為四，將 N點 DFT表示為 4個 N/4 點 DFT的線性組合。然后再把 N/4 點 DF

17、T一分為四，表示為四個 N /16 點的 DFT。 如此重復下去直至分解成兩點 DFT的運算。多基時分蝶式運算定理在形式上比基 2時分碟式運算定理復雜， 但在本質(zhì)上 是一致的。前者表明 , 對 N=p，q 的情形，若按 xm（i）=x（ip+m） 將原 N 點序列分解成 p 個 q 點的子序列，則原序列 x(n) 的 DFT可由各子序列 xm(i) 的 DFT的線性組 合得到?；?4時分 FFT算法是多基算法的特例， 因此從多基時分 FFT的蝶式運算 定理即可推導出基 4 時分 FFT算法的蝶式運算公式。具體算法如下：設 p=4,q=N/4, 這時由多基時分蝶式運算定理 , 輸入序列 x(n)

18、 可以分解成如 下的 4 個子序列 :Nxm(i) x(4i m)(m 0,1,2,3;0 i1,i為整數(shù) )4子序列均為 N/4點序列，設它們的 N/4點 DFT為xm(r)，則N 3 m(sN4 r )x(k) N x(s r )= WN 4 xm(r) k s4 r 4 m 0N 1 ，k,s,r 均為整數(shù)。4其中 0 k N 1,0 s 3,0 r 將 s=0,1 ， 2,3 代入上式，則：rx(r) x0(r) WN x1(r)2r 3rWN2r x2(r) WN3rx3(r),x(r N4 )4x0(r)WNx1(r)WN 4 x2(r )WN 4 x3(r) ,x(r N2 )x

19、0(r)rWNx1(r)WN 4 x2(r )WN 4 x3(r) ,3Nx(r 34N )x0(r)(r3Nx1(r)2(rWN3Nx2(r)3N3( r )WN 4 x3(r) ,其中 0 r N 1,r為整數(shù) ，上式就是基 4FFT蝶形運算公式。其具體算法和 4基 2 算法相近。將式中的 N 序列整理為 4 個序列，然后繼續(xù)拆分，即可得最后 4結(jié)果。相比于基 2FFT算法，基 4FFT算法運算量較小， 但是相應的變換長度更少， 靈活性不如基 2FFT算法。六實際應用中的 FFT 典型算法描述及介紹1)余弦窗插值 FFT 算法加窗插值 FFT 算法是一種異步采樣方法， 它是以固定不變的采樣

20、頻率對信號 進行采樣， 利用窗函數(shù)截斷信號時產(chǎn)生的泄漏頻剖來得到信號的實際頻譜值。 通 過對信號加窗可以減小由頻譜泄漏現(xiàn)象引起的誤差， 通過插值算法可以減小由柵 欄效應引起的誤差。用 FFT 計算電力系統(tǒng)諧波時需要將被測信號截斷，這樣就會產(chǎn)生截斷效應， 即產(chǎn)生頻譜泄漏， 信號的基波和高次諧波譜線向附近展寬， 形成主瓣和旁瓣。 泄 漏的頻譜主瓣可能淹沒主譜附近的諧波分量， 影響是短范圍的。 旁瓣的影響是長 范圍（譜間干擾 ）的，它對相鄰的基波和高次諧波分量影響較大。 當采樣頻率是信 號基波頻率的整倍數(shù)時， 可以得到精確的計算結(jié)果， 但是當采樣頻率不是信號頻 率的整倍數(shù)時，由于柵欄效應，只能測得泄

21、漏的頻譜，計算產(chǎn)生誤差。加窗插值 FFT算法可以計算出信號的頻率偏移量，再對測得的泄漏頻譜進行修正，從而得 到實際信號的頻譜。 實際信號的頻譜的計算精度取決于所加窗函數(shù)的特性， 選擇 主瓣窄的窗函數(shù)可以減小短范圍的影響； 選擇旁瓣峰值小、 衰減速度快的窗函數(shù)， 可以減小長范圍的影響。 一個理想的窗函數(shù)應具有主瓣寬度窄、 最大旁瓣峰值小 和旁瓣衰減速度快的特點。 但最大旁瓣峰值小且旁瓣衰減速度快的窗函數(shù)， 其主 瓣較寬，因此， 要尋找主瓣窄且旁瓣峰值又小的窗函數(shù)是很困難的。 泄漏頻譜主 瓣的影響在實際應用中可以通過增加觀測時間來消除， 但這又影響了算法的實時 性。實際上， 觀測的基波周期數(shù)就是相

22、鄰兩頻譜主譜線之間的譜線間隔數(shù)， 例如 加漢寧窗截斷的正弦信號的頻譜泄漏主瓣的寬度為 4 個譜線間隔，要分辨出相鄰 的諧波 （消除主瓣的影響 ） ，加漢寧窗插值 FFT算法至少需要兩個基波周期的采樣 點 （ 相鄰兩頻譜主譜線間隔兩個譜線間隔 ）；加 Blackman-harris 窗截斷的正弦 信號的頻譜泄漏主瓣的寬度為 8 個譜線間隔，要分辨出相鄰諧波 （消除主瓣的影 響） ，加Blackman-harris 窗插值 FFT算法至少需要 4個基波周期的采樣點 （相鄰 兩頻譜主譜線間隔 4 個譜線間隔 ） 。對旁瓣峰值高且衰減快的窗函數(shù)可再適當增 加觀測時間 （ 采樣的基波周期數(shù) ） 來消除臨

23、近主瓣的峰值較高的幾個旁瓣對相鄰 諧波的影響 21 ，例如加漢寧窗插值 FFT 算法采用 4 個基波周期的采樣點進行 FFT變換還能提高計算精度。 對旁瓣峰值不衰減的窗函數(shù)即使增加再多的觀測時 間（ 采樣的基波周期數(shù) ）也無法消除旁瓣對相鄰諧波計算精度的影響。余弦窗的一般表達式，N 1K i 2wi(n)( 1)i ai cos( in),n 0,1, i 0 N5 項余弦窗主瓣寬 10 /N ，6 項余弦窗主瓣寬 12 /N，7 項余弦窗主瓣寬 14 /N，8項余弦窗主瓣寬 16 /N。5項余弦窗最大旁瓣峰值 db ，6、7、8 項余 弦窗最大旁瓣峰值依次減小。從旁瓣衰減速度來看， 7 項余

24、弦窗旁瓣衰減速度很 慢，5、6、7 項余弦窗旁瓣衰減依次加快， 8 項余弦窗旁瓣衰減速度最快，頻率 為時旁瓣峰值下降到 -220db 以下。7 項余弦窗旁瓣基本不衰減， 故加 7 項余弦窗 插值 FFT 算法計算精度通過增加觀測時間不能有效提高，精度甚至低于加5、6項余弦窗插值 FFT算法。根據(jù)圖 1中的頻譜特性可以看出， 8項余弦窗主瓣雖寬， 但最大旁瓣峰值最小， 旁瓣衰減速度最快， 考慮到泄漏頻譜主瓣的影響可以通過 增加觀測時間來消除，加 8 項余弦窗插值 FFT 算法在這 4 種加余弦窗插值 FFT算法中具有最高的計算精度。 考慮到余弦窗項數(shù)越多， 加余弦窗 FFT算法計算量 越大。面以

25、單頻率信號為例進行分析，設j2 fr tx(t)Amej2 frt復振幅 Am一般為復數(shù)，反映了初相角，實際頻率 fr= (l+r)*F ，它在頻率 lF 和(l+1)*F 之間，l 為整數(shù)，其中頻率分辨率 F=1/(NTs) ，Ts 為采樣時間間隔， r 為頻率偏移量， 0<r<1 。x(t) 的離散形式為 :x(n)Amej2 frnTsRN(n) Amej2 (l r)nlN RN(n)其 DFT為：X(k)1N1j 2N (K l r)n N n 0Ame NAmNsinsink l r(k lNj(kr)eN1r )NN1添加余弦窗后， DFT變?yōu)椋篨i(k)A2m iK

26、0 (2 i 0DFT x(n)in1)i a sin(k l r i)1) ai(k l r iNsin NN1l r i) e j(k l r i)NN1 (k l r i)Nsin Nsin(kj(ki)eN1r i)NN 1之后代入余弦窗系數(shù)可求得最終結(jié)果。余弦窗函數(shù)系數(shù)如下表所示：余弦窗頻譜如下圖所示：2)基于 Nuttall 窗的插值 FFT 算法上文使用的算法直接使用了余弦窗，在這里我們詳細分析第二種基于 Nuttall 窗的插值 FFT算法。對于插值 FFT 算法而言，窗函數(shù)的不同會導致最終表達不同。 在選擇窗函數(shù) 時，對各種常見窗函數(shù)的頻譜特性進行了比較， 得出以下結(jié)論： 如

27、果對實時性要 求高而計算精度要求一般， 應選擇 2項 Hanning 窗，由于觀測的周期數(shù)就是相鄰 兩頻譜主譜線之間的譜線間隔數(shù)， 加 Harming 窗截斷的正弦信號的頻譜泄漏主瓣 的寬度為 4個譜線間隔，要分辨出相鄰的諧波， 至少需要 2個周期的采樣點， 所 需要的采樣周期數(shù)最少；如果對實時性要求較高且計算精度也較高，應選擇 3 項 Exact Blackman 窗，其至少需 4 個周期的采樣點；如果對實時性要求一般，但要求很高的測量精度， 應當選擇旁瓣衰減幅度大且衰減速率大的窗函數(shù)， 在這 里介紹的算法所采用的 4 項 Nut-tall(I) 窗與 4 項 Blackman-harris

28、 窗相比具有 這種特性，且頻率偏移量計算非常簡單，計算量非常小，算是一種改進算法。與普通的余弦窗插值方法一樣， 我們以但頻率信號為例進行分析， 振幅設定 為復振幅， x(n) Amej2 (l r)n/NRN(n) ,則離散信號加余弦窗的 DFT有：k 2 A kDFT x(n) ( 1)iai cos(2 in) Am( 1)iaii 0 N 2 i 0r i ) N 1N sin(k l r i ) e j(k l Nsin(k l r i) eNsin(k l r i ) e j(k l eN sin(k l r i)i) N 1 i) N 當 k=l 時有如下關系式：當 N>&g

29、t;1 時，考慮到 e代入 a0Xi (l) A2m(2 i 01)iai sin( r i) e j ( ( r i ) eN sin Nsin( r i ) e j( r i )N sin Ni)有以下關系成立：N11，sinN N NN1N1,e j2 1，當 K=3時，可以得到加余弦窗 DFT的通用形式為sin( r ) jXi(l) 0.5Am2 a0jsin( r ) j(1 r) a1e1 (1 r )sin( r ) j(2 r eresin(r)e(1 re)sin(r)(2r)sin(r)r)r)j(3(3 r )e j (2 r )j (1 r )1032 ,a1a22

30、(2 r ) sin( r ) j(3a3e3 (3 r )15 615 , a3 6 ，可以得到 Nuttall32 3 32r ) 窗截斷后的信號頻譜為XH(l) Am sin( r)eir11.25r (122r2)(1 r2)(3 r )(4 r)設定幅值比為1) XH (l)XH(l(r 3)/ (r 4)由上式聯(lián)立解出 r 值為： 43r1 由于頻率偏移量 r 的變化范圍為 0-1 ，所以幅值比 的變化范圍為 3。將 r代入 x(n) Amej2 (l r)n/NRN(n) 式子中，解得修正后的復振幅：XH(l)r(1 r 2)(4 r2)(9 r2) 11.25sin( r )所以諧波相位也可以求得為m angle XH (l ) r 到這步為止，已求得了信號的所需參數(shù)。插值算法的幅值比 是頻率偏移量 r 的一次多項式， r 的計算容易且計算量 很小，這在加 4項(及以上)窗插值 FFT算法中是很難找到的。 另外其窗函數(shù)頻譜 旁瓣的衰減速率快， 通過增加觀測時間， 能有效地提高