三角函數(shù)綜合_知識講解_提高

1、三角函數(shù)綜合編稿：丁會敏 審稿：王靜偉 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進行弧度與角度的換算.2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，理解周期函數(shù)與最小正周期的意義.3.能正確運用三角公式，進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明.4.會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡圖，理解的物理意義.5掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)并能靈活應(yīng)用6熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)圖象的形狀，理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，并會用這兩種變換研究函數(shù)圖象的變化.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】

2、要點一：終邊相同的角1終邊相同的角凡是與終邊相同的角，都可以表示成的形式.要點詮釋：(1)終邊相同的前提是：原點，始邊均相同；(2)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；(3)終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差的整數(shù)倍.特例：終邊在x軸上的角集合，終邊在y軸上的角集合，終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合.在已知三角函數(shù)值的大小求角的大小時，通常先確定角的終邊位置，然后再確定大小.2弧度和角度的換算(1)角度制與弧度制的互化：弧度，弧度，弧度(2)弧長公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：.要點詮釋：(1)角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如等等，一般地, 正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)

3、，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定.(2)角的弧度數(shù)的絕對值是：，其中，是圓心角所對的弧長，是半徑.要點二：任意角的三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的符號規(guī)律、特殊角的三角函數(shù)值、同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式：1.三角函數(shù)定義：角終邊上任意一點為，設(shè)則：要點詮釋：三角函數(shù)的值與點在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大小有關(guān).我們只需計算點到原點的距離,那么,2.三角函數(shù)符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦(為正)；要點詮釋：口訣的含義是在第一象限各三角函數(shù)值為正；在第二象限正弦值為正，在第三象限正切值為正，在第四象限余弦值為正3.特殊角的三角函數(shù)值02sin01

4、0-10cos10-101tan01不存在0不存在04.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：要點詮釋：(1)這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“任意”一個角(使得函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立；(2)是的簡寫；(3)在應(yīng)用平方關(guān)系時，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對值的概念，應(yīng)注意“”的選取5.誘導(dǎo)公式(奇變偶不變，符號看象限):sin()=sin，cos()=-cos，tan()=-tansin()=-sin，cos()=-cos，tan()=tansin()=-sin，cos()=cos，tan()=-tansin()=-sin，cos()=cos，tan()=-tansin()=sin，

5、cos()=cos，tan()=tan，sin()=cos，cos()=sinsin()=cos，cos()=-sin要點詮釋：(1)要化的角的形式為(為常整數(shù))；(2)記憶方法：“奇變偶不變，符號看象限”；(3)必須對一些特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見角知值，見值知角”；(4)；.要點三：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)：y=sinxy=cosx定義域(-，+)(-，+)值域-1，1-1，1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間減區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間周期性最小正周期最小正周期最值當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，對稱性對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心y=cosx的圖象是由y=sinx

6、的圖象左移得到的.2三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)：y=tanx定義域值域R奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性增區(qū)間周期性最值無最大值和最小值對稱性對稱中心要點四：函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1“五點法”作簡圖用“五點法”作的簡圖，主要是通過變量代換，設(shè)，由z取來求出相應(yīng)的x，通過列表，計算得出五點坐標(biāo)，描點后得出圖象.要點詮釋：用“五點法”作圖的關(guān)鍵是點的選取，其中橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，公差為.2的性質(zhì)(1)三角函數(shù)的值域問題三角函數(shù)的值域問題，實質(zhì)上大多是含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域問題，常用方法有：化為代數(shù)函數(shù)的值域或化為關(guān)于的二次函數(shù)式，再利用換元、配方等方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在限定區(qū)間上的值域.(2)三角函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)

7、區(qū)間的確定，基本思想是把看作一個整體，比如：由解出的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間；要點詮釋：（1）注意復(fù)合函數(shù)的解題思想；（2）比較三角函數(shù)值的大小，往往是利用奇偶性或周期性在轉(zhuǎn)化為屬于同一單調(diào)區(qū)間上的兩個同名函數(shù)值，再利用單調(diào)性比較.3確定的解析式的步驟首先確定振幅和周期，從而得到；確定值時，往往以尋找“五點法”中第一個零點作為突破口，要注意從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個零點的位置，同時要利用好最值點.要點五：正弦型函數(shù)的圖象變換方法先平移后伸縮的圖象的圖象的圖象的圖象的圖象.先伸縮后平移的圖象的圖象的圖象的圖象的圖象.【典型例題】類型一：三角函數(shù)的概念例1. 已知角

8、的終邊過點，求的三個三角函數(shù)值.【思路點撥】分兩種情況求的三個三角函數(shù)值【解析】因為過點，所以，.當(dāng)；，.當(dāng)，；.【總結(jié)升華】(1)當(dāng)角的終邊上點的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際及解題的需要對參數(shù)進行分類討論；(2)若角已經(jīng)給定，不論點選在的終邊上的什么位置，角的三角函數(shù)值都是確定的；另一方面，如果角終邊上點坐標(biāo)已經(jīng)確定，那么根據(jù)三角函數(shù)定義，角的三角函數(shù)值也是確定的.舉一反三：【變式1】已知角的終邊上一點，且，求的值.【解析】由題設(shè)知，所以，得，從而，解得或.當(dāng)時， ；當(dāng)時， ；當(dāng)時， .類型二：扇形的弧長與面積的計算例2已知一半徑為r的扇形，它的周長等于所在圓的周長的一半，那么扇形

9、的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面積是多少？【答案】 【解析】設(shè)扇形的圓心角是，因為扇形的弧長是，所以扇形的周長是依題意，得【總結(jié)升華】弧長和扇形面積的核心公式是圓周長公式和圓面積公式，當(dāng)用圓心角的弧度數(shù)代替時，即得到一般的弧長公式和扇形面積公式：舉一反三：類型三：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式例3已知，求的值.【思路點撥】由題意知，所以A為鈍角，然后求出即可求得【解析】方法一：由，得又由 得 方法二：由可得即整理得即或，由已知知不合題意，舍去. ，兩邊平方得：，所以【總結(jié)升華】同角三角函數(shù)基本關(guān)系是反映了各種三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，為三角函數(shù)式的恒等變形提供了工具與方法舉一反三：【變式1】已知

10、cossin= ， 求sincos，sin+cos的值 【答案】 【解析】 ， ，【變式2】證明：.【證明】 法1右到左，切化弦，由繁到簡.右左.法2(證與原式等價的式子)即證：.左右.類型四：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式例4已知sin(3)，求的值【思路點撥】利用誘導(dǎo)公式，求出sin 然后化簡要求的式子，即可求得結(jié)果【答案】18【解析】sin(3)sin ，sin ，原式18.【總結(jié)升華】 誘導(dǎo)公式用角度和弧度制表示都成立，記憶方法可以概括為“奇變偶不變，符號看象限”，“變”與“不變”是相對于對偶關(guān)系的函數(shù)而言的，sin與cos對偶，“奇”、“偶”是對誘導(dǎo)公式中的整數(shù)k來講的，象限指中，將看作銳角時，

11、所在象限，如將寫成，因為3是奇數(shù)，則“cos”變?yōu)閷ε己瘮?shù)符號“sin”，又看作第四象限角，為“+”，所以有.舉一反三：【變式1】已知函數(shù)f(x)asin(x)bcos(x)，且f(2 009)3，則f(2 010)的值是()A1 B2 C3 D1【答案】C【解析】f(2 009)asin(2 009)bcos(2 009)asin()bcos()asin bcos 3.asin bcos 3.f(2 010)asin(2 010)bcos(2 010)asin bcos 3.【變式2】化簡(1)(2)【解析】(1)當(dāng)n=4k(kZ)時，當(dāng)n=4k+1(kZ)時，當(dāng)n=4k+2(kZ)時，當(dāng)n

12、=4k+3(kZ)時，(2)當(dāng)時，原式當(dāng)時，原式【總結(jié)升華】關(guān)鍵抓住題中的整數(shù)是表示的整數(shù)倍與公式中的整數(shù)有區(qū)別，所以必須把分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種類型，分別加以討論類型五：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)例5. 函數(shù)的圖象是( )【答案】A【解析】是偶函數(shù)，可排除B、D，由的值域可以確定.因此本題應(yīng)選A.舉一反三：【高清課堂：三角函數(shù)的綜合395043 例1】【變式1】函數(shù)在內(nèi) （ ）A沒有零點 B有且僅有一個零點C有且僅有兩個零點 D有無窮多個零點【答案】B例6把函數(shù)y=cos2x+1的圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),然后向左平移1個單位長度,再向下平移1個單位長度,得到的圖像是（ ）【

13、思路點撥】首先根據(jù)函數(shù)圖象變換的公式，可得最終得到的圖象對應(yīng)的解析式為：y=cos（x+1），然后將曲線y=cos（x+1）的圖象和余弦曲線y=cosx進行對照，可得正確答案【答案】A 【解析】將函數(shù)y=cos2x+1的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象對應(yīng)的解析式為：y=cosx+1，再將y=cosx+1圖象向左平移1個單位長度，再向下平移 1個單位長度，得到的圖象對應(yīng)的解析式為：y=cos（x+1），曲線y=cos（x+1）由余弦曲線y=cosx左移一個單位而得，曲線y=cos（x+1）經(jīng)過點和，且在區(qū)間上函數(shù)值小于0，由此可得，選項A正確，故選A舉一

14、反三：【變式1】已知函數(shù)的最小正周期為，為了得到函數(shù) 的圖象，只要將的圖象（ ） A 向左平移個單位長度 B向右平移個單位長度 C向左平移個單位長度 D向右平移個單位長度【思路點撥】對于不同三角函數(shù)圖象之間的平移變換，一定要根據(jù)誘導(dǎo)公式將二者之間變換清楚【答案】A 【解析】由題知又，所以所以 = =顯然將的圖象向左平移個單位長度便可得到的圖象故選A例7已知函數(shù)其中， （I）若求的值；（）在（I）的條件下，若函數(shù)的圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，求函數(shù)的解析式；并求最小正實數(shù)，使得函數(shù)的圖像象左平移個單位所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)【思路點撥】（1）把所給的式子化簡，然后結(jié)合平方關(guān)系式得出，由，求出的值（）由題意求得，故，進一步求出的解析式【答案】（I）（） 【解