2006考研數(shù)學(xué)(二)真題及參考答案

1、獅子 1213 免費(fèi)為大家分享2006年全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)（二）一、填空題（1）曲線4sin52cosxxyxx的水平漸近線方程為. （2）設(shè)函數(shù)2301sin,0,( ),0 xt dt xf xxax在0 x處連續(xù)，則a. （3）廣義積分220(1)xdxx. （4）微分方程(1)yxyx的通解是. （5）設(shè)函數(shù)( )yy x由方程1yyxe確定，則0adydx= . （ 6 ） 設(shè) 矩 陣2112a，e為2階 單 位 矩 陣 ， 矩 陣b滿 足2b abe， 則b= . 二、選擇題（ 7）設(shè)函數(shù)( )yf x具有二階導(dǎo)數(shù)，且( )0,( )0fxfx，x為自變量x在0 x處的增量

2、，y與dy分別為( )f x在點(diǎn)0 x處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若0 x，則（a）0.dyy（b）0.ydy（c）0.ydy（d）0.dyy【】（8）設(shè)( )f x是奇函數(shù)，除0 x外處處連續(xù)，0 x是其第一類間斷點(diǎn)，則0( )xf t dt是（a）連續(xù)的奇函數(shù). （b）連續(xù)的偶函數(shù)（c）在0 x間斷的奇函數(shù)（d）在0 x間斷的偶函數(shù). 【】（9）設(shè)函數(shù)( )g x可微，1( )( ),(1)1,(1)2g xh xehg，則(1)g等于（a）ln 31. （b）ln 3 1.（c）ln 21.（d）ln 21.【】（10）函數(shù)212xxxyc ec exe滿足一個(gè)微分方程是（a）23.xyyyxe

3、（b）23.xyyye（c）23.xyyyxe（d）23.xyyye獅子 1213 免費(fèi)為大家分享（11）設(shè)( ,)f x y為連續(xù)函數(shù)，則1400( cos ,sin)df rrrdr等于（a）22120( ,).xxdxfx y dy（b）221200( ,).xdxf x y dy（c）22120( ,).yydyfx y dx（d）221200( ,).ydyf x y dx【】（ 12） 設(shè)( ,)fx y與( ,)x y均 為 可 微 函 數(shù) ， 且1( ,)0yx y. 已 知00(,)xy是( ,)f x y在 約 束 條 件( ,)0 x y下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（

4、a）若00(,)0 xfxy，則00(,)0yfxy. （b）若00(,)0 xfxy，則00(,)0yfxy. （c）若00(,)0 xfxy，則00(,)0yfxy. （d）若00(,)0 xfxy，則00(,)0yfxy. 【】（13）設(shè)12, ,aaa均為n維列向量，a是mn矩陣，下列選項(xiàng)正確的是（a）若12, ,aaa線性相關(guān)，則12,aaaaaa線性相關(guān) . （b）若12, ,a aa線性相關(guān)，則12,aaaaaa線性無關(guān) . （c）若12, ,a aa線性無關(guān)，則12,aaaaaa線性相關(guān) . （d）若12, ,aaa線性無關(guān)，則12,aaaaaa線性無關(guān) . 【】（14）設(shè)a為

5、 3 階矩陣，將a的第 2 行加到第1 行得b，再將b的第 1 列的 -1 倍加到第2 列得c，記110010001p，則（a）1.cpap（b）1.cpap（c）.tcp ap（d）.tcpap三 解答題15試確定a，b，c 的常數(shù)值，使得23(1)1()xebxcxaxo x，其中3()o x是當(dāng)30 xx時(shí)比的高階無窮小. 獅子 1213 免費(fèi)為大家分享16arcsinxxedxe求. 1722( , )1,0dx yxyx設(shè)區(qū)域，221.1dxyidxdyxy計(jì)算二重積分18110,sin(0,1,2,)nnnxxxx n設(shè)數(shù)列滿足1limnxx證明 : (1) 存在 , 并求極限；2

6、11(2)lim()nxnxnxx計(jì)算. 19sin2cossincos. a bbbbbaaaaa證明 : 當(dāng)0時(shí),20 設(shè)函數(shù)0,f u 在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù) 且22zfxy滿足等式22220zzxy. ()驗(yàn)證0fufuu；( )若10,11,fff u求函數(shù)的表達(dá)式. 21 已知曲線l的方程為221,(0),4xltylt（）討論l的凹凸性；（）過點(diǎn)（ -1，0）引l的切線，求切點(diǎn)00(,)xy，并寫出切線的方程；（）求此切線與l（對(duì)應(yīng)于0 xx的部分）及x軸所圍成的平面圖形的面積. 22 已知非齊次線性方程組12341234123414351331xxxxxxxxaxxxbx有 個(gè)線性無

7、關(guān)的解證明方程組系數(shù)矩陣a的秩2ra；求,a b的值及方程組的通解. 23 設(shè) 3 階實(shí)對(duì)稱矩陣a 的各行元素之和均為3, 向量121,2, 1,0,1,1tt是線性方程組ax=0的兩個(gè)解 , ()求 a 的特征值與特征向量( )求正交矩陣q 和對(duì)角矩陣a,使得tq aqa. 獅子 1213 免費(fèi)為大家分享真題解析一、填空題（1）曲線4sin52cosxxyxx的水平漸近線方程為15y4sin11limlim2cos55xxxxyxx（2）設(shè)函數(shù)2301sin,0( ),0 xt dtxf xxax在 x=0 處連續(xù)，則a=132200()1lim( )lim33xxsm xf xx（3）廣義

8、積分220(1)xdxx120222222001(1)11110(1)2(1)2 (1)22xdxdxxxx（4）微分方程(1)yxyx的通解是xycxe)0(x（5）設(shè)函數(shù)( )yy x 由方程1yyxe確定，則0 xdydxe當(dāng) x=0 時(shí)， y=1，又把方程每一項(xiàng)對(duì)x 求導(dǎo)，yyyexe y001(1)1xxyyyyyeyxeeyexe(6) 設(shè)a =2 1 ,2階矩陣b滿足ba=b+2e, 則|b|= . -1 2 解: 由ba=b+2e化得b(a-e)=2e, 兩邊取行列式, 得|b|a-e|=|2e|=4, 計(jì)算出 |a-e|=2, 因此 |b|=2. 二、選擇題（ 7）設(shè)函數(shù)(

9、)yf x具有二階導(dǎo)數(shù)，且( )0,( )0,fxfxx為自變量x 在點(diǎn)x0處的增量，0( )ydyf xx與分別為在點(diǎn)處對(duì)應(yīng)增量與微分 , 若0 x，則 a （a）0dyy（b）0ydy獅子 1213 免費(fèi)為大家分享（c）0ydy（d）0dyy由( )0( )fxf x可知嚴(yán)格單調(diào)增加( )0( )fxf x可知是凹的即知（8）設(shè)( )f x是奇函數(shù)，除0 x外處處連續(xù)，0 x是其第一類間斷點(diǎn)，則0( )xf t dt是b （a）連續(xù)的奇函數(shù)（b）連續(xù)的偶函數(shù)（c）在 x=0 間斷的奇函數(shù)（d）在 x=0 間斷的偶函數(shù)（9）設(shè)函數(shù)( )g x 可微,1( )( ),(1) 1,(1)2,g

10、xh xehg則 g(1)等于 c （a）ln 31（b）ln 31（c）ln 21（d）ln 211( )( )( )g xh xg x e，1(1)12geg(1)= ln 21（10）函數(shù)212xxxyc ecxe滿足的一個(gè)微分方程是d （a）23xyyyxe（b）23xyyye（c）23xyyyxe（d）23xyyye將函數(shù)212xxxyc ecxe代入答案中驗(yàn)證即可. （11）設(shè)( ,)fx y為連續(xù)函數(shù)，則1400( cos , sin )df rrrd等于 c （a）22120( , )xxdxf x y dy（b）221200( , )xdxf x y dy（c）22120(

11、,)yydyf x y dx（d）221200( ,)ydyfx y dx（12） 設(shè)(, )(, )f xyxy與均為可微函數(shù)， 且( , )0,yx y已知00(,)( , )xyf x y是在約束條件( ,)0 x y下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是d （a）若0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy則獅子 1213 免費(fèi)為大家分享（b）若0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy則（c）若0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy則（d）若0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy則( ,)( , )( , )( ,)0(1)( ,)( ,)0(2)( , )0 xxxyyy

12、ff x yx yffx yx yffx yx yfx y令今000000(,)(,)0,(,)yyyfxyxyxy代入 (1) 得00000000(,)(,)(,)(,)yxxyfxyxyfxyxy今00000000(,)0,(,)(,)0(,)0 xyxyfxyfxyxyfxy則故選 d (13) 設(shè)1,2, ,s都是 n 維向量，a是 m n 矩陣，則（）成立 . (a) 若1,2, ,s線性相關(guān) , 則a1,a2,as線性相關(guān) . (b) 若1,2, ,s線性相關(guān) , 則a1,a2,as線性無關(guān) . (c) 若1,2, ,s線性無關(guān) , 則a1,a2,as線性相關(guān) . (d) 若1,2

13、, ,s線性無關(guān) , 則a1,a2,as線性無關(guān) . 解: (a) 本題考的是線性相關(guān)性的判斷問題,可以用定義解. 若1,2, ,s線性相關(guān) ,則存在不全為0 的數(shù) c1,c2, ,cs使得c11+c22+css=0, 用a左乘等式兩邊, 得c1a1+c2a2+csas=0, 于是a1,a2, ,as線性相關(guān) . 如果用秩來解,則更加簡單明了. 只要熟悉兩個(gè)基本性質(zhì), 它們是 : 1.1,2, ,s線性無關(guān) r(1,2, ,s)=s.2. r(ab) r(b). 矩陣 (a1,a2, ,as)=a(1,2,s), 因此r(a1,a2, ,as) r(1,2, ,s). 由此馬上可判斷答案應(yīng)該為

14、(a). 獅子 1213 免費(fèi)為大家分享(14) 設(shè)a是 3階矩陣 , 將a的第 2列加到第 1 列上得b, 將b的第 1列的 -1 倍加到第 2 列上得c. 記 1 1 0 p= 0 1 0 ,則 0 0 1 (a) c=p-1ap. (b) c=pap-1. (c) c=ptap. (d) c=papt. 解: (b) 用初等矩陣在乘法中的作用得出b=pa, 1 -1 0 c=b 0 1 0 =bp-1= pap-1. 0 0 1 三、解答題（ 15 ） 試 確 定a ， b ， c的 常 數(shù) 值 ， 使23(1)1()xebxcxaxo x其 中3()o x是 當(dāng)30 xx時(shí)比的高階無窮

15、小. 解：泰勒公式2331()26xxxexo x代入已知等式得233231()11()26xxxo xbxcxaxo x整理得233111(1)()()1()226bbxcbxco xaxo x比較兩邊同次冪函數(shù)得b+1=ac+b+12=0 1026bc式 -得120233bb則代入得13a代入得16c（16）求arcsinxxedxe. 獅子 1213 免費(fèi)為大家分享解：原式 =22arcsinarcsin()xxxxetdeetdtet令21arcsinarcsin( )1tdttdtttt2222arcsinarcsin1( 2)12(1)1ttdttudututtuutt令2arcs

16、in1tdutuarcsin11ln21tuctu22arcsinarcsin111ln211xxxxxxeeedxceee. （17）設(shè)區(qū)域22( , )|,0dx yxyx，計(jì)算二重積分2211dxyidxdyxy. 解：用極坐標(biāo)系2201dxydxdyxy11222002ln(1)ln 2122riddrrr. （18）設(shè)數(shù)列nx滿足10 x，1sin(1,2,3,)nnxx n證明： （ 1）1limnnx存在，并求極限；（ 2）計(jì)算211limnxnnnxx. 證： （ 1）212sin,01,2xxxn因此1sin,nnnnxxxx單調(diào)減少有下界0nx根據(jù)準(zhǔn)則1，limnnxa存在

17、在1sinnnxx兩邊取極限得sin0aaa因此1lim0nnx獅子 1213 免費(fèi)為大家分享（2）原式21sinlim1 nxnnnxx為型離散型不能直接用洛必達(dá)法則先考慮22011s i nl i ml n0si nl i mtttttttet用洛必達(dá)法則2011( cossin )limsin2tttttttte2323330010()0()26cossinlimlim22tttttttttttttee3330110()261lim26ttttee. （19）證明：當(dāng)0ab時(shí)，1sin2cossin2cosbbbbaaaa. 證：令( )sin2cosf xxxxx只需證明0ax時(shí),(

18、)f x嚴(yán)格單調(diào)增加( )sincos2sinfxxxxxcossinxxx( )cossincossin0fxxxxxxx( )fx嚴(yán)格單調(diào)減少又( )cos0f故0( )0( )axfxf x時(shí)則單調(diào)增加（嚴(yán)格）( )( )baf bf a由則得證（20）設(shè)函數(shù)( )(0,)f u 在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且22zfxy滿足等式22220zzxy. （i）驗(yàn)證( )( )0fufuu；（ii ）若(1)0,(1)1ff求函數(shù)( )f u 的表達(dá)式. 證： （ i）22222222;zxzyfxyfxyxyxyxy獅子 1213 免費(fèi)為大家分享22222223 222222zxyfxyfxyxxy

19、xy22222223 222222zyxfxyfxyyxyxy2222222222()00( )( )0fxyzzfxyxyxyfufuu代入方程得成立（ii ）令( ),;,dppdpducfupc pduupuu則22(1)1,1,( )ln |,(1)0,0( )ln |fcf uucfcf uu由（21）已知曲線l 的方程221(0)4xttytt（i）討論 l 的凹凸性；（ii ）過點(diǎn)( 1,0)引 l 的切線，求切點(diǎn)00(,)xy，并寫出切線的方程；（iii ）求此切線與l（對(duì)應(yīng)0 xx部分）及x 軸所圍的平面圖形的面積. 解： （ i）4222 ,42 ,12dxdydytttd

20、tdtdxtt222312110 (0)2dydd ydxtdxdxdttttdt處(0lt曲線在處) 是凸（ii ）切線方程為201 (1)yxt，設(shè)2001xt，20004ytt，則2223200000000241 (2), 4(2)(2)tttttttt得200000020,(1)(2)001tttttt點(diǎn)為（ 2，3） ，切線方程為1yx（iii ）設(shè) l 的方程( )xg y獅子 1213 免費(fèi)為大家分享則30( )(1)sg yydy224024241ttyyxy解出t得由于（ 2，3）在 l 上，由232241( )yxxyg y得可知3094 4(1)syyydy3300(10

21、2 )44y dyydy3333220002(10)44(4)214(4)3yyydyy8642213333(22) 已知非齊次線性方程組x1+x2+x3+x4=-1,4x1+3x2+5x3-x4=-1， ax1+x2+3x3+bx4=1有 3 個(gè)線性無關(guān)的解. 證明此方程組的系數(shù)矩陣a的秩為 2. 求 a,b 的值和方程組的通解. 解: 設(shè)1,2,3是方程組的3個(gè)線性無關(guān)的解, 則2-1,3-1是ax=0 的兩個(gè)線性無關(guān)的解. 于是ax=0的基礎(chǔ)解系中解的個(gè)數(shù)不少于2, 即 4-r(a)2, 從而 r(a)2. 又因?yàn)閍的行向量是兩兩線性無關(guān)的, 所以 r(a)2. 兩個(gè)不等式說明r(a)=2. 對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換: 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 (a| )= 4 3 5 -1 -1 0 1 1