一道考題的分析與思考

1、    一道考題的分析與思考    袁曉摘 要：高考是試金石，是風(fēng)向標(biāo)。高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的開(kāi)展，應(yīng)緊扣高考分析，以把脈高考走勢(shì)、明晰高考趨勢(shì)，為教學(xué)的組織開(kāi)展提供方向。以2018年浙江高考題為例，分析了高考題目的設(shè)計(jì)特點(diǎn)以及解題思路，為數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)化與調(diào)整，提供若干建議，推動(dòng)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)改革。關(guān)鍵詞：浙江；高考；數(shù)學(xué)考題；分析；建議高考是“風(fēng)向標(biāo)”，是教學(xué)構(gòu)建的重要依據(jù)。數(shù)學(xué)作為高中課程體系中的重要課程，有效數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)現(xiàn)應(yīng)注重學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)，突破思維禁錮，實(shí)現(xiàn)有效學(xué)習(xí)。近年來(lái)，浙江高考數(shù)學(xué)題型相對(duì)穩(wěn)定，但靈活性、考查面增強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的“學(xué)”與教

2、師的“教”有了更高要求，強(qiáng)調(diào)拓展思維視角，以開(kāi)放式多元化的教學(xué)空間，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力。從近幾年的高考題型來(lái)看，知識(shí)點(diǎn)穩(wěn)定，但考查方式與結(jié)合點(diǎn)更加靈活，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)的考查更多。（2018·浙江）如圖，已知點(diǎn)p是y軸左側(cè)（不含y軸）一點(diǎn)，拋物線c：y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)a，b滿足pa，pb的中點(diǎn)均在c上。請(qǐng)解答：（i）設(shè)ab中點(diǎn)為m，證明：pm垂直于y軸；（ii）若p是半橢圓x2+ =1（x<0）上的動(dòng)點(diǎn)，求pab面積的取值范圍。題目信息量不大，考查的知識(shí)點(diǎn)比較單一，但在題目的設(shè)計(jì)中，更加強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生發(fā)散思維的考查。面對(duì)“垂直”證明，很多學(xué)生無(wú)從下手；對(duì)于三角形面積的求

3、算，學(xué)生感覺(jué)過(guò)于復(fù)雜。實(shí)質(zhì)上，整個(gè)題目的設(shè)計(jì)層面分明，且從常規(guī)知識(shí)中尋求新的知識(shí)亮點(diǎn)，讓學(xué)生不拘于知識(shí)的理解，同時(shí)也要注重創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用。為此，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的解答分析，我們可透視該題設(shè)計(jì)的新穎性，題目不難，但想快速準(zhǔn)確的解答，要求學(xué)生有扎實(shí)的功底。問(wèn)題（i）的分析及解答分析：?jiǎn)栴}設(shè)計(jì)巧妙，若思維不發(fā)散，學(xué)生很容易陷入困境，處于無(wú)從下手的狀態(tài)。一些學(xué)生選擇用“勾股定理”“三角函數(shù)”等方式，試圖解答問(wèn)題（i）。但實(shí)踐證明，這些方法的運(yùn)算量較大，且比較繁雜，“垂直”關(guān)系的建立比較難，不適合高考題目的解題思路。實(shí)質(zhì)上，學(xué)生把問(wèn)題復(fù)雜化了，在該問(wèn)題的解答中，學(xué)生應(yīng)從“數(shù)量關(guān)系”入

4、手，而關(guān)系的建立可以基于“韋達(dá)定理”。這一連串的思考切入，是快速解答問(wèn)題的重要思路，也是化繁為簡(jiǎn)的重要方向。解：設(shè)p（x0，y0），a（ y12，y1），b（ y22，y2），因?yàn)閜a，pb的中點(diǎn)在拋物線上，所以y1，y2為方程（ ）2=4·即y2-2y0y+8x0-y02=0的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以y1+y2=2y0則pm垂直于軸。從解答可以發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題（i）的證明十分簡(jiǎn)單，抓住數(shù)量關(guān)系的建立，通過(guò)韋達(dá)定理的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)了有效證明。因此，題目的“新”在于巧妙設(shè)計(jì)，要求學(xué)生善于思考，從不同的思維視角，實(shí)現(xiàn)高效、正確的數(shù)學(xué)解答，這是日常學(xué)習(xí)及訓(xùn)練中，所需具備的思維能力，實(shí)現(xiàn)有效學(xué)習(xí)。首先，

5、教師的“教”要立足知識(shí)面，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，突破傳統(tǒng)思維所形成的禁錮，這是實(shí)現(xiàn)問(wèn)題快速有效解答的基礎(chǔ)；其次，學(xué)生的“學(xué)”要多元化，能夠從知識(shí)的串聯(lián)中，解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，這也是當(dāng)前高考綜合性數(shù)學(xué)題目的設(shè)計(jì)特點(diǎn)；再次，學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中，要善于知識(shí)的總結(jié)歸納，懂得從不同的思維角度，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效解答，培養(yǎng)解題技巧。問(wèn)題（ii）的分析及解答分析：該問(wèn)題的設(shè)計(jì)具有開(kāi)放性，在問(wèn)題的解答時(shí)，要大膽假設(shè)，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系，為三角形面積的求算創(chuàng)設(shè)條件。在運(yùn)算中，spab= pm·y1-y2的建立尤為關(guān)鍵，這是明確求算方法，建立三角形面積關(guān)于“x”方程式的重要基礎(chǔ)。為此，學(xué)生在整個(gè)求算過(guò)程中，pm

6、3;y1-y2求算是關(guān)鍵，要求學(xué)生不要“嫌麻煩”，動(dòng)手計(jì)算、化簡(jiǎn)，這是解題基本要求。實(shí)質(zhì)上，“方法”“方向”對(duì)了，運(yùn)算量都不會(huì)很大，在于學(xué)生能否善于大膽嘗試，懂得從繁雜的思考中跳出來(lái)，通過(guò)建立數(shù)量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的快速解答。高考題目的設(shè)計(jì)講究能力的考查，過(guò)于復(fù)雜的運(yùn)算不多，注重學(xué)生的思維能力。解：由（）可知y1+y2=2y0，y1y2=8x0-y02，所以pm= （y12+y22）-x0= y02-3x0，y1-y2=2 ，因此，pab的面積spab= pm·y1-y2= ，因?yàn)閤02+ =1（x0因此，pab面積的取值范圍是6 ， 。問(wèn)題（ii）看似復(fù)雜，但整個(gè)解答過(guò)程卻很簡(jiǎn)單，問(wèn)

7、題求算的技巧性較強(qiáng)，要求學(xué)生要善于建立數(shù)量關(guān)系，通過(guò)面積公式的求算轉(zhuǎn)換，建立關(guān)于x的一元二次方程式，為三角形面積的求算創(chuàng)造了條件，形成關(guān)于面積的數(shù)量范圍。很大部分學(xué)生嫌麻煩，在建立面積求算公式之后，對(duì)于pm·y1-y2的求算不熟悉，且日常學(xué)習(xí)訓(xùn)練不到位，以至于解題遇到阻力，影響解題效率。因此，教師在日常課堂教學(xué)的過(guò)程中，一方面要強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固學(xué)習(xí)，另一方面也要注重知識(shí)的拓展應(yīng)用，讓學(xué)生熟悉不同題型下的知識(shí)設(shè)定，以便更好地應(yīng)對(duì)高考不同題型，有效解答數(shù)學(xué)問(wèn)題?？偠灾?，高考題型的分析，是把脈高考命題走向、構(gòu)建高效教學(xué)課堂的重要基礎(chǔ)。高中數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)化與調(diào)整，應(yīng)主動(dòng)適應(yīng)新高考環(huán)境，通過(guò)高考題型的分析與研判，轉(zhuǎn)變教學(xué)思維、拓展教學(xué)面，以更好地提高教學(xué)質(zhì)量。浙江高考題型“新舊”結(jié)合，即基礎(chǔ)知識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用的有效融合，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的綜合考查增強(qiáng)，在日常教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)化教學(xué)構(gòu)建，適應(yīng)教學(xué)改革發(fā)展環(huán)境，促