第25講求數(shù)列通項(xiàng)公式的策略(學(xué)生版)

1、第六講求數(shù)列通項(xiàng)公式的策略一、知識(shí)要點(diǎn)所謂數(shù)列的遞推式即描述數(shù)列若干項(xiàng)滿(mǎn)足的-般規(guī)律的關(guān)系式，數(shù)列遞推式結(jié)合兒個(gè)初 始值可以唯一表示一個(gè)數(shù)列，一般地，如果遞推式中項(xiàng)的最大下標(biāo)減項(xiàng)的最小下標(biāo)的差是p, 則稱(chēng)這樣的數(shù)列遞推式為p階遞推式，一個(gè)p階遞推式要表示一個(gè)數(shù)列，需要p個(gè)初始值; 在高考，h主招住以及競(jìng)賽小，涉及到的數(shù)列遞推式問(wèn)題比較多，比較常見(jiàn)的是1, 2, 3 階數(shù)列遞推式，這類(lèi)問(wèn)題的解決往往耍借助數(shù)列通項(xiàng)公式，所以本講將重點(diǎn)介紹在已知數(shù)列 遞推式的情況下，如何根據(jù)遞推式結(jié)構(gòu)選擇合適的方法求解數(shù)列通項(xiàng)公式，值得注意的是, 在已知數(shù)列遞推式時(shí)，一定要v會(huì)判斷在解題過(guò)程需不需要求通項(xiàng)，否則有些

2、問(wèn)題即使求出 通項(xiàng)也未必能解決問(wèn)題，況且并非所有的數(shù)列遞推式，都可以求通項(xiàng)。1 高考，自主招生中常見(jiàn)的數(shù)列遞推式類(lèi)型及相關(guān)求通項(xiàng)公式的策略) = f(n),an -an_x = f(n)(n>2,nen+)an-l策略：公式法；累加法；累乘；迭代法.(2) an+i = pan + /(n)(n >1,«g nj(p,q為常數(shù)且p 工 1)= pan + q5 n l,x w nj(p h 1)策略：待定系數(shù)法迭代法不動(dòng)點(diǎn)法 = pan 4- /(n)(n > l,n e n+)(f(n)不為常函數(shù),p為常數(shù))策略：利用不動(dòng)點(diǎn)法，構(gòu)造法等變形技巧，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化化歸為等

3、差或等比數(shù)列求通項(xiàng) 問(wèn)題,常見(jiàn)的變形結(jié)構(gòu)為an+1 - g(n +1) = p(an - g(n).(3) % = pj i)(p,q,，s 為常數(shù))叫+ s策略：利用取倒數(shù)及求不動(dòng)點(diǎn)的方法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化化歸為等差或等比數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題.(4) an+ = pan 4- qan_x (/? >2,ne nj(p,q為常數(shù))策略：利用特征根法直接寫(xiě)出通項(xiàng)或者利用待定系數(shù)法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化化歸為等差或等比 數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題.%1 考慮遞推式的特征方程x2=px + q,設(shè)其兩根為幾兀2(特征根)，貝ij(i) 當(dāng) £ 工勺時(shí),則 an =人兀i" ' + bx； 1 (/?

4、> l,n g；(ii) 當(dāng)= x2 時(shí)，則an = ax" + b(n 一l)xin_1 (n>l,nen+)；(上述常數(shù)a.3由兩個(gè)初始條件決定)%1 總接構(gòu)造出all+i - aan = p(an - aan_x )(n > 2,t? e n+ )(p,q為常數(shù))，利用待定系數(shù)法確定a,事實(shí)上此法就是特征根方法的證明解釋.2. 數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常見(jiàn)的數(shù)列遞推式類(lèi)型及相關(guān)求通項(xiàng)公式的策略（1）含無(wú)理遞推式型策略：利用換元（代數(shù)換元，三角換元）、平方、収対數(shù)等手段將問(wèn)題轉(zhuǎn)化化歸為有理 遞推式；注意：代數(shù)換元一般是胃接把含無(wú)理式的部分換出來(lái)，目的為了去掉根號(hào)（也有用 新兩

5、數(shù)換元，這個(gè)我們暫不涉及）；三角換元往往要將遞推式小一些結(jié)構(gòu)類(lèi)比 到三角公式（例如倍角公式，兩角和少差的止余眩公式，平方和公式）；值得 指出的是，換元法使用的原則是為了使得題比原來(lái)簡(jiǎn)單或結(jié)構(gòu)比原來(lái)簡(jiǎn)單， 如果沒(méi)有達(dá)到這個(gè)原則，則換元法不宜使用.（2）高階線(xiàn)性遞推式型策略：特征根法%1 數(shù)列atl的p階齊次線(xiàn)性遞推式的定義形如q”+p = a|%+“_ 4- a2anp_2 +為常數(shù),i=l,2,.）的遞推式；%1 數(shù)列匕的p階齊次線(xiàn)性遞推式的特征方程多項(xiàng)式方程0 =仏心+人2兀1 +舛2 +舛（人為常數(shù),i=l,2,.）即為上述數(shù)列匕的p階齊次線(xiàn)性遞推式的特征方程； 設(shè)方程xp = axxp

6、+ a2xp2 +ap_tx + ap的p個(gè)根州,七,©均不相等，貝ij數(shù)列=+k?兀廠(chǎng)+心幕1（負(fù)為常數(shù),上1,2,.卩）；具中式了中的p個(gè)常數(shù)由題中p個(gè)初始條件決定（注：p個(gè)特征根如冇相等的情況， 很少用，在這里不作篇幅介紹）非線(xiàn)性遞推式型策略：將非線(xiàn)性數(shù)列的遞推式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性遞推數(shù)列的遞推式問(wèn)題，常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化 技巧因式分解，遞推作差，取對(duì)數(shù)（主要針對(duì)指數(shù)帚的形式），待定系數(shù)法，不動(dòng) 點(diǎn)法.（4）復(fù)雜數(shù)列遞推式型策略：由特殊到一般，先猜想出結(jié)論，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明；二、典例分析1. 待定系數(shù)法迭代法不動(dòng)點(diǎn)法例1求下列條件下的數(shù)列色的通項(xiàng)公式.(1) 在數(shù)列%中,a= 3 , a

7、n+i = 2an + 3m+,；(2) 在數(shù)列色中,a = 1, an+l = 3an + 2n - 2 ；(3) 在數(shù)列a”中,a, =1, an+l = -an + n2.2. 取倒數(shù)法不動(dòng)點(diǎn)法例2.求下列條件下的數(shù)列色的通項(xiàng)公式.=2 ,an+l =-(«>1);%+22幺+ 6勺=2= (n>l) 久+13. 特征根法例 3.設(shè)數(shù)列?！睗M(mǎn)足a =a9a2 = b , 2art+2 = an+l + an.設(shè)化=a”+-a” ；證明：若a hb ,則數(shù)列化是等比數(shù)列.(2) 如果 lin (q +2 +幺3 + a“)= 4 ,求例4.已知數(shù)列an , bn滿(mǎn)足=

8、一匕 一2化，bh+l = 6an +6b” 又q = 2,/?)=4 ,求(1) ait,hn ； (2) lim).4. 代數(shù)換元法三角換元法例5.已知q =1,%=丄(1 + 4% +jl + 24a“)gn+),求數(shù)列匕的通項(xiàng)公式.例6.在數(shù)列仏”中，已知終=1衛(wèi)” =心_i，證明：色呂. a. i25. 取對(duì)數(shù)法例 7數(shù)列an滿(mǎn)足a. =10,aw+1=；(n>l),求a” 6. 非線(xiàn)性的遞推式轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性遞推式例8已知在數(shù)列色中,q =1衛(wèi)2 =2,偽=一1，色+2色+1 =4%+“ 一 6色+厲_ +9叭_ - 6町,求%例 9.已知在數(shù)列匕中，a. =a2 =a3 =1,

9、aft+3an = an+an+2 + 1，求- a22n+l.7. 待定系數(shù)法例10.已知在數(shù)列色中=0,4 =4,。2 =49 ,且a”+2 = 14陥1 _陽(yáng)_ 6 ,求a8. 特殊到一般，先猜后證法例11已知數(shù)列色滿(mǎn)足q=0, % =午% + * ,求a”三、習(xí)題演練1 （2008 年武大）在數(shù)列色中,缶=2 , a/t+l = 4a” 一 3n + 1 ；（1）求數(shù)列陽(yáng)的通項(xiàng)公式；（2）求前n項(xiàng)和s” 2. q =4衛(wèi)曲二如丫5»1）,求數(shù)列©d+13.己知數(shù)列%,他滿(mǎn)足兔=1厶=0,且於=了”+"一贏=0,1,2, ia+1 =8 +7化-4證明：5 = 0,1,2,3,.）是完全平方數(shù).4己知正數(shù)數(shù)列a滿(mǎn)足® = 1,色=3 h. ylananu +anan+2 = 3如爲(wèi)+応7 + 2血沖, 求數(shù)列陽(yáng)的通項(xiàng)公式.5. 已知數(shù)列匕滿(mǎn)足嗎=(),畑=5山+(24此+心),試求數(shù)列%的通項(xiàng)公式.6. 數(shù)列滿(mǎn)足：a嚴(yán)近,%產(chǎn)2 一莎j ,數(shù)列他滿(mǎn)足：b, nen(1) 求數(shù)列色的通項(xiàng)公式；(2) 求證：數(shù)列化是單調(diào)遞增數(shù)列；(3) 求證：數(shù)列化是有界數(shù)列.7設(shè)數(shù)列勺滿(mǎn)足關(guān)系an+l = 2an2 - 1(料=1,2,)，若存在n滿(mǎn)足a” = 1 (n = 2,3,)，試證明:(l)|q|g (2) q =c