數(shù)值預(yù)報復(fù)習(xí)要點

1、第一章大氣運動方程大氣運動方程應(yīng)遵循牛頓第二定律（運動方程）、質(zhì)量守恒定律（連續(xù)方程）、能量守恒定律（熱力學(xué)或能量方程）、氣體試驗定律（狀態(tài)方程）、水汽守恒定律（水汽方程）運動方程連續(xù)方程狀態(tài)方程熱力學(xué)方程水汽方程球坐標(biāo)下的大氣運動方程組球坐標(biāo) 經(jīng)度、緯度，地心到空間點的距離r球坐標(biāo)下 x是沿緯圈的微小位移、y是沿經(jīng)圈的微小位移、z是垂直方向的微小位移x=r*cos*y=r*z=ru是緯向速度u=r* cos*d/dtv是經(jīng)向速度v= r*d/dtw是垂直速度w=dr/dt球坐標(biāo)下加速度的展開局地直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)與球坐標(biāo)的關(guān)系局地直角坐標(biāo)系是球坐標(biāo)系的簡化形式，保留了球坐標(biāo)的框架，忽略了球面曲

2、率的影響。區(qū)分球坐標(biāo)方程和局地直角指標(biāo)方程 P坐標(biāo)系下大氣運動方程組P坐標(biāo)系通常應(yīng)用于天氣尺度的大氣運動，具有準(zhǔn)靜力平衡的特點，滿足方程P坐標(biāo)系下的垂直速度=dp/dt區(qū)分P坐標(biāo)方程與Z坐標(biāo)方程 坐標(biāo)坐標(biāo)系是與氣壓相聯(lián)系的坐標(biāo)系，具有下邊界簡單，便于引進(jìn)地形的動力作用等特點。坐標(biāo)的定義 pT是模式層頂?shù)臍鈮海琾s是地面氣壓坐標(biāo)的邊界條件區(qū)分p坐標(biāo)方程和坐標(biāo)方程 狀態(tài)方程 垂直運動方程數(shù)值模式的分類過濾模式只能模擬準(zhǔn)地轉(zhuǎn)演變過程，而原始方程模式既能模擬準(zhǔn)地轉(zhuǎn)演變過程又能模擬地轉(zhuǎn)適應(yīng)過程。原始方程模式分為正壓原始方程模式（垂直方向一層）和斜壓原始方程模式（垂直方向有多層）地圖投影的概念地圖投影是按

3、照一定的數(shù)學(xué)條件，把球形的地球表面展繪于平面地圖上?；蛘哒f把地球表面投影到一個簡單的曲面上。能夠識別出光源、目標(biāo)物、投影面投影的誤差距離誤差、面積誤差、角度（形狀）誤差投影類型等角投影、等面積投影、任意投影等角投影中，經(jīng)過投影后地球表面的任意兩條交線的夾角保持不變，且在投影面任意一點的各個方向上長度放大或縮小的倍數(shù)相等，投影之后不產(chǎn)生角度或者形狀的誤差。按地圖投影面的性質(zhì)分類型方位投影或平面投影、圓錐投影、圓柱投影地圖投影的基本概念及幾個重要因子映像面：投影的投射面、投影面映像平面：映像面沿某一條經(jīng)線切開所展成的平面地圖：映像平面按地圖比例尺縮小后的圖切投影：映像面與地球表面相切于某一點的投影

4、割投影：映像面與地球表面相割的投影標(biāo)準(zhǔn)緯度：映像面與地球表面相交的緯度（標(biāo)準(zhǔn)緯度上，映像面的距離等于地球表面上相應(yīng)的距離）映像比例尺m：映像平面上的距離除以地球表面上相應(yīng)的距離。又稱地圖放大因子。標(biāo)準(zhǔn)緯度上m=1縮小比例尺：地圖上任意緯度上的距離除以映像平面上相應(yīng)的距離實際比例尺：地圖上任意緯度上的距離除以地球表面上相應(yīng)的距離正形投影正形投影的光源位于球心，映像面為圓錐面，映像面圓錐角為，標(biāo)準(zhǔn)緯度為0地圖放大系數(shù)的計算其中k為單位經(jīng)度所張的圓錐角，表示了圓錐的幾何特征，成為圓錐常數(shù)；0是標(biāo)準(zhǔn)緯度的余角。極射赤面投影是一種正形割投影，其光源位于南極，映像面為一個與地球相割于北緯60度的平面，標(biāo)準(zhǔn)

5、緯度為60°N。根據(jù)網(wǎng)格坐標(biāo)計算放大系數(shù) 柯氏參數(shù)的計算蘭伯托投影是一種正形投影，其光源位于地球球心，映像面為一個與地球表面相割與30°N和60°N的圓錐面，圓錐角為90°。 麥卡托投影光源位于球心，映像面是與地球表面相割于南北緯22。5°的圓柱面，標(biāo)準(zhǔn)緯度為22.5°N和22.5°S投影后，經(jīng)線為等距平行的直線，緯線為與經(jīng)線垂直的直線，正形圓錐投影的極限情形。k=0所以不能采用普遍的正形投影中的關(guān)系式來對之進(jìn)行討論。而是從地圖放大系數(shù)入手求有關(guān)表達(dá)式Je為網(wǎng)格點相對于赤道的坐標(biāo)。放大系數(shù)是關(guān)于赤道成緯向軸對稱。普遍正交曲線

6、坐標(biāo)系中的方程組qj是正交曲線的坐標(biāo)，dqj是相應(yīng)的坐標(biāo)變元，dlj是空間點沿坐標(biāo)線所移動的距離，稱為坐標(biāo)線元dlj=Hj*dqj其中Hj成為拉密系數(shù)。坐標(biāo)線元不等于坐標(biāo)變元而是等于坐標(biāo)變元與拉密系數(shù)的乘積正交曲線坐標(biāo)下的常用關(guān)系式氣壓梯度力渦度散度風(fēng)速矢量平流絕對溫度平流普遍地圖投影坐標(biāo)系中的方程組設(shè)X和Y軸地圖投影放大系數(shù)為m和n，Z方向的地圖投影放大系數(shù)為1拉密系數(shù)要求可以利用給出的關(guān)系式得到普遍地圖投影坐標(biāo)系中的大氣方程組表達(dá)式例如根據(jù)連續(xù)方程表達(dá)式和散度在正交曲線坐標(biāo)系下的表達(dá)式，得到地圖投影坐標(biāo)下的連續(xù)方程表達(dá)式，要求將求和符號展開成各項相加的形式第一步將H的表達(dá)式代入散度表達(dá)式，

7、寫出第二步寫出第三步寫出差分方法和差分格式離散化的概念u(x,t)是連續(xù)函數(shù)，u(ix,nt)是u(x,t)經(jīng)離散化后的形式。所謂離散化，即把連續(xù)的x以ix代替，連續(xù)的t以nt代替，其中i和n為整數(shù)。均是以一維線性平流方程為例 差分格式基本都是通過泰勒展開式來構(gòu)造的。前差格式：后差格式：中央差格式：二階微分的差分格式拉普拉斯的差分格式拉普拉斯的差分格式涉及到的格點截斷誤差上面差分格式中的R被成為截斷誤差。意思是用差商來近似代替偏微商時，將會因舍去R所代表的項而造成的誤差。一般用R中最大的項來表示截斷誤差的大小。如果R中最大的項是x，則R=O（x）。如果是x2，則R=O（x2）。（注：所謂最大的

8、項指的是偏導(dǎo)階數(shù)最小的一項，一階偏導(dǎo)項大于二階偏導(dǎo)項）R反映了差分方程代替微分方程時的截斷誤差，它在一定程度上代表了差分格式的精度，R的階次越高，則差分格式的精度越高，誤差越小。這個的精度就是R=O（x2）相容性（一致性）當(dāng)空間步長 Dx 和時間步長Dt 很小時，差分方程是否逼近微分方程，這就是差分格式的相容性（一致性）問題。收斂性在一定的定解條件下，差分方程的解是否逼近微分方程的解的問題，稱之為差分格式的收斂性問題。穩(wěn)定性在時間積分過程中，由于舍入誤差的影響，差分解的誤差是否隨時間增長的問題，即差分格式的計算穩(wěn)定性問題。拉克斯（Lax）等價定理：如果差分方程逼近微分方程，即差分格式與微分方程

9、是相容的，或者差分格式滿足相容性條件，差分格式的穩(wěn)定性，保證了其收斂性（計算穩(wěn)定性是收斂性的充分必要條件）。 用Von-Neumann穩(wěn)定性判別方法來證明差分格式的計算穩(wěn)定性時的主要步驟為：1設(shè)解的波動形式，代入差分方程。2得出其對應(yīng)的增幅因子G。3討論時的情況。4判斷格式穩(wěn)定性及滿足格式穩(wěn)定性的條件。CFL判據(jù)增幅因子G：其中A n+1和An分別是n+1時刻和n時刻的振幅。微分方程波動形式解：差分方程形式解：各個差分格式穩(wěn)定性 時間前差，空間后差條件穩(wěn)定時間前差，空間前差條件穩(wěn)定時間前差，空間中央差任何情況下不成立，所以為絕對不穩(wěn)定時間積分格式分類：1、二時間層的積分格式（非迭代格式） a、

10、歐拉格式：，絕對不穩(wěn)定b、后差格式（隱式格式），絕對穩(wěn)定格式c、梯形格式（隱式格式），中性格式，振幅不變2、二時間層的積分格式（迭代格式）特點：先通過前差格式算一個n+1時刻的粗略預(yù)報值，然后在通過這個預(yù)報值用后差格式計算n+1時刻的準(zhǔn)確預(yù)報值a、歐拉后差格式（顯式格式）：條件穩(wěn)定格式 b、赫恩格式：絕對不穩(wěn)定格式3、三個時間層的積分格式中央差格式，又稱跳背格式條件穩(wěn)定這種格式，可以看出不僅需要一個具有物理意義的初值u0，同樣還需要一個出于計算要求的初值u1，前者稱為物理初值，后者稱為計算初值。差分格式誤差相關(guān)內(nèi)容：實際工作中，不可能任意縮小步長（由于計算量過大等原因），實際計算是在有限的網(wǎng)格

11、下進(jìn)行的，一定程度的誤差是不可避免的。中央差的計算解問題：使用中央差會產(chǎn)生兩個波解，其中一個有物理意義，另一個不具有物理意義，是計算過程中產(chǎn)生的虛假波形，稱之為計算解。中央差分格式的數(shù)值解為兩個波動的疊加。實際工作中通常采用提高網(wǎng)格分辯能力來抑制和減小計算解帶來的影響。時間的截斷誤差（頻率誤差）當(dāng)使用中央差格式（顯式）時，原頻率=f由替代當(dāng)使用梯形格式時（隱式），原頻率=f由替代當(dāng)t很小時，兩種差分格式與=f差異很小當(dāng)t增加時，差分格式解偏離原頻率幅度增大ft>1時顯式格式會出現(xiàn)不穩(wěn)定，隱式格式的頻率解隨ft增加而減小顯式格式與隱式格式的頻率解與真值的比值空間的截斷誤差（波數(shù)誤差）用中央

12、差格式展開時，波數(shù)k的數(shù)值解為：差分近似精度隨k或x的減小而增大，這也就是說對于波長較短的波，其產(chǎn)生的波數(shù)誤差較大；而波長較長的波，則差分方程可以比較精確地表示其空間微商，波數(shù)誤差很小，精度較高。相速度和群速度誤差空間差分格式的波數(shù)誤差和時間積分格式的頻率誤差會造成相速度和群速度的誤差，從而引起計算頻散。差分格式在波的移動和能量傳播方面均可造成誤差。而且： （1）由于相速度誤差，減慢了平流過程；（2）造成虛假的計算頻散，且對短波尤為明顯。（1）波長越長，誤差越??；波長減小，其誤差也就更為嚴(yán)重；（2）提高網(wǎng)格分辯率，使x取得足夠小，可以提高相速度的準(zhǔn)確率。差分格式誤差特征總結(jié)：1、三層時間積分格

13、式存在計算解問題： 計算解對差分解的影響依賴于網(wǎng)格分辨率和波長。2、時間積分格式引起頻率誤差：顯式格式使其頻率明顯增加，振動加快；隱式格式使其頻率明顯減小，振動減慢。3、空間差分格式引起波數(shù)誤差： 高階差分格式所引起的波數(shù)誤差要比低階格式??； 波長較短的波，誤差尤為嚴(yán)重。4、空間差分格式會引起計算頻散： 尤其對于短波，相速度和群速度均會產(chǎn)生很大的誤差。 通?？刹捎锰岣呔W(wǎng)格分辯率的方法減小各種誤差。非線性不穩(wěn)定對于非線性偏微分方程，線性偏微分方程的穩(wěn)定性條件，只能給出其計算穩(wěn)定性的必要條件，即使?jié)M足這一條件，也可能會因為差分方程的邊界條件和非線性項的不正確表示而產(chǎn)生計算的不穩(wěn)定現(xiàn)象，我們把這種由

14、于非線性作用而產(chǎn)生的不穩(wěn)定，稱為非線性不穩(wěn)定。混淆誤差差分方法是用有限的自由度系統(tǒng)來代替原來的連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)的。而有限格點上的函數(shù)值只能分解有限的波數(shù)，其最短波長為2x，對于非線性作用產(chǎn)生的波長小于2x的波動，網(wǎng)格系統(tǒng)不能正確地將它表示出來，而把它錯誤地表示成為某種波長大于2x的波，從而產(chǎn)生了誤差，我們把這種波的誤差稱之為混淆誤差。對于網(wǎng)格數(shù)為I的網(wǎng)格，假設(shè)ui中包含兩個波，波數(shù)分別為k1和k2，當(dāng)這兩個波發(fā)生非線性作用而產(chǎn)生k1+k2的波時，如果k1+k2>I/2，則網(wǎng)格將把這個波的波數(shù)識別為S=I-（k1+k2）自激反饋假設(shè)k1和k2相互作用，能量反饋到上k1，則有：k1=I-（k1+

15、k2），或2k1=I-k2。由于k2<=I/2，所以k1>=I/4。因此，發(fā)生能量反饋的波其波長必在2x和4x之間，也就是說只有對波長很短的波才發(fā)生能量反饋；非線性不穩(wěn)定的產(chǎn)生主要是由于短波能量的虛假增長所造成的。抑制和克服非線性計算不穩(wěn)定的做法通常有：§ 空間和時間平滑，濾去短波分量（濾除波長小于4倍格距的波動）；§ 在方程中加入擴(kuò)散項；§ 構(gòu)造具有隱式平滑和某種選擇性衰減作用的差分格式§ 構(gòu)造守衡的差分格式，使差分方程盡可能保持原來的 物理規(guī)律和能量關(guān)系；§ 采用譜變換方法 （可避免非線性不穩(wěn)定問題）。正壓原始方程模式以下在3個

16、假設(shè)的基礎(chǔ)上導(dǎo)出正壓原始方程模式的預(yù)報方程組第一、假設(shè)大氣均勻不可壓，密度為一常數(shù)。第二、假設(shè)模式滿足靜力平衡。第三 、假設(shè)模式大氣是正壓的，初始時刻水平風(fēng)速不隨氣壓變化正壓原始方程模式的預(yù)報方程組注意區(qū)分正壓原始方程和P系方程正壓原始方程重要積分性質(zhì)：全球總質(zhì)量、總能量、總絕對渦度、總渦度和總絕對角動量守恒等性質(zhì)。正壓原始方程線性穩(wěn)定性判據(jù)注意這個判據(jù)，除了與相速度有關(guān)，還與最大風(fēng)速有關(guān)。如果不采用附加的平滑運算，一次守恒差分格式的計算穩(wěn)定性能較差，原因在于物理量F的平均值守恒并不能保證其絕對值不無限增長。為此，需要進(jìn)一步來設(shè)計能使物理量F2守恒的所謂的二次守恒差分格式?？臻g平滑的意義在數(shù)值模式積分過程中，非線性相互作用會產(chǎn)生波長為2-4倍格距的短波擾動，而短波系統(tǒng)能量的迅速增長，會引起不穩(wěn)定現(xiàn)象，有時甚至?xí)箶?shù)值積分中斷。為了濾除數(shù)值模式積分過程中的短波擾動，有效地抑制非線性計算不穩(wěn)定，通常采用空間平滑濾波的方法。三點平滑響應(yīng)函數(shù)如果取S=1/2，則有S=1/2(下方實線)和S=-1/2（上方實線）的濾波曲線波長為L=2Dx的波動 完全濾除L>2Dx的波用不同程度的衰減而L很大的波并未受到影響多重平滑多次平滑對波長較長的波具有相當(dāng)嚴(yán)