基于MATLAB的諧波分析FFT

1、目錄（1）Matlab6.5以上版本軟件；1緒論11 公式分析及計(jì)算21.1傅里葉變換的原理21.2傅里葉變換的證明31.3 周期信號的分解.31.4 方波的分解.52 建模與仿真72.1建模72.2仿真83 仿真結(jié)果分析104 小結(jié)11參考文獻(xiàn)131武漢理工大學(xué)基礎(chǔ)技能強(qiáng)化訓(xùn)練課程設(shè)計(jì)說明書緒論方波是一種非正弦曲線的波形，通常會于電子和訊號處理時(shí)出現(xiàn)。由于一般電子零件只有“高(1)”和“低(0)”兩個(gè)值，方波就自然產(chǎn)生，所以理想方波只有“高”和“低”這兩個(gè)值。電流的波形為矩形的電流即為方波電流。不論時(shí)間軸上下是不是對稱的，只要是矩形就可叫方波，必要時(shí)，可加“對稱”，“不對稱”加以說明。而在現(xiàn)

2、實(shí)世界，方波只有有限的帶寬。因?yàn)榉讲梢钥焖購囊粋€(gè)值轉(zhuǎn)至另一個(gè)(即01或10)，所以方波就用作時(shí)鐘訊號來準(zhǔn)確地觸發(fā)同步電路。但是如果用頻率定義域來表示方波，就會出然一連串的諧波。所以方波可用相應(yīng)頻率的基波及其奇次諧波合成。在電路信號系統(tǒng)的分析中，隨著電路規(guī)模的加大，微分方程的階數(shù)以及聯(lián)立后所得的方程的個(gè)數(shù)也隨之加大，加上電器元件的多樣化，這些都給解題運(yùn)算分析電路系統(tǒng)帶來了一定的困難。傳統(tǒng)的計(jì)算機(jī)編程語言，如FORTRAN、C語言等，雖然都可以幫助計(jì)算，但在處理高階微分方程和大規(guī)模的聯(lián)立方程組的問題時(shí)大量的時(shí)間和精力都花在矩陣處理和圖形的生成分析等繁瑣易錯(cuò)的細(xì)節(jié)上。而MATLAB憑借其強(qiáng)大的矩陣

3、運(yùn)算能力、簡便的繪圖功能、可視化的仿真環(huán)境以及豐富的算法工具箱，已成為科研和工程技術(shù)人員的有力開發(fā)工具。利用MATLAB不僅可以簡單快速的求解電路方程，同時(shí)，MAYLAB提供的Simulink工具還可以直接建立電路模型，隨意改變模型的參數(shù)，并且還可以快速得到仿真擬結(jié)果，進(jìn)一步省去了編程的步驟。MATLAB具有數(shù)值計(jì)算功能；圖形處理及可視化功能；可視化建模及動(dòng)態(tài)仿真功能等等。它給用戶帶來的是最直觀，最簡潔的程序開發(fā)環(huán)境。它的語言簡潔緊湊，使用方便靈活，程序書寫形式自由，利用起豐富的庫函數(shù)避開繁雜的子程序編程任務(wù)，壓縮了一切不必要的編程工作。同時(shí)，它的運(yùn)算符也很豐富。由于MATLAB是用C語言編寫

4、的，MATLAB提供了和C語言幾乎一樣多的運(yùn)算符，靈活使用MATLAB的運(yùn)算符將使程序變得極為簡短。它的程序的可移植性，基本上不做修改就可以在各種型號的計(jì)算機(jī)和操作系統(tǒng)上運(yùn)行。本文應(yīng)用MATLAB來驗(yàn)證定理：方波可用相應(yīng)頻率的基波及其奇次諧波合成。1 公式分析及計(jì)算1.1傅里葉變換的原理任何具有性質(zhì)周期為T的波函數(shù)都可以表示為三角函數(shù)所構(gòu)成的級數(shù)之和，即： （1）其中：t為時(shí)間，為角頻率。=（T為周期），第一項(xiàng)為直流分量。圖1 方波所謂周期性函數(shù)的傅里葉變換（Fourier transform）就是將周期性函數(shù)張凱成直流分量，基波和所有n次諧波的疊加。圖1所示的方波可以寫成函數(shù)形式： h (0

5、t) -h (-t0)在這里，h為常數(shù)2。很明顯，此方波為奇函數(shù)，并且它沒有常數(shù)項(xiàng)，同時(shí)，它是一個(gè)周期為T的函數(shù)，所以我們可以用傅里葉級數(shù)來表示這個(gè)函數(shù)。 （2）我們把它展開，可以得到： （3）1.2傅里葉變換的證明下面，我們要從數(shù)學(xué)角度來證明為什么公式（3）能成立。由于這是一個(gè)奇函數(shù),常數(shù)項(xiàng)可以用積分函數(shù)計(jì)算出來：所以其常數(shù)項(xiàng)不存在，即=0，下面開始計(jì)算與: 由上式可知，當(dāng)n=2，4，6，時(shí)，；當(dāng)n=1，3，5，時(shí)，。然后我們將與都帶入公式（1），就可以得到公式（3）： 如果我們?nèi)〉捻?xiàng)越多，就會越逼近原本的方波函數(shù)。1.3 周期信號的分解周期信號是定義在（-， ）區(qū)間，每隔一定的時(shí)間T，按相

6、同規(guī)律重復(fù)變化的信號，它可表示為f(t)=f(t+mT)式中m為任意整數(shù)。時(shí)間T稱為該信號的重復(fù)周期，簡稱為周期。需要指出的是，只有當(dāng)周期信號滿足狄里赫利條件時(shí)，才能展開為傅里葉級數(shù)。狄里赫利條件是：1）函數(shù)在任意有限區(qū)間內(nèi)連續(xù)，或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)（當(dāng)t從左或右趨于這個(gè)間斷點(diǎn)時(shí)，函數(shù)有有限的左極限和右極限）2）在一周期內(nèi)，函數(shù)有有限個(gè)極大值或極小值。設(shè)有周期信號f(t),它的周期是T，角頻率=2F=，它可分解為 (2-1)上式中系數(shù)a,b稱為傅里葉系數(shù)。為簡便，式積分區(qū)間（t, t+T）取為（-，）或（0，T）?？紤]到正、余弦函數(shù)的正交條件，可得傅里葉系數(shù)a=(t)cos(nt)dt,

7、n=0,1,2, (2-2)b=(t)sin(nt)dt, n=0,1,2, (2-3)式中T為函數(shù)f(t)的周期，=為角頻率，由上述兩式，傅里葉系數(shù)a和b都是n的函數(shù)，其中a是n的偶函數(shù)，即a= a；而b是n的奇函數(shù)，既有b=- b將式（2-1）中同頻率項(xiàng)合并，可寫成如下形式f(t)= (2-4)式中 A=，n=1,2,=-arctan()如將式（2-4）的形式化為（2-1）的形式，他們系數(shù)之間的關(guān)系為aa,n=1,2,b,式（2-4）表明，任何滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)可分解為直流和許多余弦（或正弦）分量。其中第一項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，它是周期信號中所包涵的直流分量；式中第二項(xiàng)A稱為基波或一次諧波，

8、它的角頻率與原周期信號相同，A是基波振幅，是基波初相角；式中第三項(xiàng)A稱為二次諧波，它的頻率是基波頻率的兩倍，A是二次諧波振幅，是其初相角。以此類推，還有三次、四次、諧波。一般而言，A稱為n次諧波，A是n次諧波的振幅，是其初相角。式（2-4）表明，周期函數(shù)可以分解為各諧波分量。1.4 方波的分解設(shè)方波信號f(t)的周期為T，寬度為，將其展開為傅里葉級數(shù)由式（2-2）和（2-3）可得=+考慮到，可得 將它們代入到式（2-1），得到信號的傅里葉級數(shù)展開式為，n=1，3，5，它只含一、三、五奇次諧波分量。下圖中畫出了一個(gè)周期的方波組成情況，由圖可見，當(dāng)它包含的諧波分量愈多時(shí)，波形就愈接近原來的方波信號

9、（圖中虛線所示），其均方誤差愈小，還可以看出，頻率較低的諧波，其振幅較大，他們組成方波的主體，而頻率較高的高次諧波振幅較小，它們主要影響波形的細(xì)節(jié)，波形中所包含的高次諧波愈多，波形的邊緣愈陡峭。（a）基波 （b）基波“+”三次諧波（c）基波+三次諧波+五次諧波 （d）基波+三次諧波+五次諧波+七次諧波由圖中還可以看出，合成波形所包含的諧波，除間斷點(diǎn)附近外，它愈接近于原方波信號。在間斷點(diǎn)附近，隨著所含諧波次數(shù)的增高，合成波形的尖峰愈靠近間斷點(diǎn)，但尖峰幅度并未明顯減小?？梢宰C明，即使合成波形所含諧波次數(shù)n時(shí)，在間斷點(diǎn)處仍有約9%的偏差，這種現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。在傅里葉級數(shù)的項(xiàng)數(shù)取得很大時(shí)，間斷點(diǎn)處

10、尖峰下的面積非常小以致趨近于零，因而在均方的意義上合成波形同原方波的真值之間沒有區(qū)別。2 建模與仿真2.1建模 上文中，我們證明了一個(gè)以原點(diǎn)為奇對稱中心的方波可以用奇次正弦波的疊加來逼近?？梢院喕癁椋?（4）如果我們能驗(yàn)證是方波，那么我們可以得出也是方波，只是的方波的幅值是幅值的倍。已知方波的寬度為，周期為，我們可以用MATLAB程序來檢驗(yàn)這種逼近的程度與特征。程序如下：t = 0:.01:2*pi; % 設(shè)定一個(gè)時(shí)間數(shù)組, 有101 個(gè)點(diǎn)y = sin(t);plot(t,y),figure(gcf),pause % 頻率為w=1(f=1/2)的正弦基波y = sin(t) + sin(3*

11、t)/3; plot(t,y), pause % 疊加三次諧波y = sin(t) + sin(3*t)/3 + sin(5*t)/5 + sin(7*t)/7 + sin(9*t)/9;plot(t,y) % 用1, 3, 5, 7, 9 次諧波疊加% 為了繪制三維曲面, 要把各次波形數(shù)據(jù)存為一個(gè)三維數(shù)組, 因此必須重新定義y, 重編程。y = zeros(10,max(size(t); x = zeros(size(t);for k=1:2:19x = x + sin(k*t)/k; y(k+1)/2,: ) = x;endpause, figure(1),plot(t,y(1:9,: )

12、,grid % 將各波形迭合繪出 line(0,pi+0.5,pi/4,pi/4) % 加上方波幅度線及標(biāo)注text(pi+0.5,pi/4,' pi/4' )halft=ceil(length(t)/2);pause, figure(2), mesh(t(1:halft),1:10,y(:,1:halft), % 只用正半周波形pause,clc2.2仿真仿真結(jié)果如圖2至圖6所示，其中所有的橫坐標(biāo)為時(shí)間t，縱坐標(biāo)為幅值y：圖2 頻率為的正弦基波圖3 疊加三次諧波 圖4 用1, 3, 5, 7, 9 次諧波疊加圖5 諧波合成的二維曲線圖6 諧波合成的三維曲面從圖6可以看出，所取

13、的階次越高，合成結(jié)果就越接近與方波。至于總是消除不了邊緣上的尖峰，這個(gè)就是吉布斯效應(yīng)。3 仿真結(jié)果分析根據(jù)周期信號的傅里葉展開式可知，任何方波周期性信號，只要滿足公式（1）條件，都可以分解為一個(gè)直流分量和由基波及奇次諧波分量的疊加。 通過數(shù)學(xué)工具M(jìn)ATLAB中編程可得，在正弦波（圖2）的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)三次諧波的疊加出現(xiàn)波形如圖3所示。依次對正弦波信號進(jìn)行奇次諧波疊加過程（圖4），最終結(jié)果我們看到了圖5中的圖像，波形穩(wěn)定在了的周期性方波。圖六為圖五的的三維圖像分布圖。通過圖像的特性我們證明了：當(dāng)奇次諧波的次數(shù)越高時(shí)，方波可由正弦波形產(chǎn)生諧波構(gòu)成。同理可知，一定條件下，周期性方波信號可由相應(yīng)頻率的基波

14、和奇次諧波合成。4 小結(jié)通過這次基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練讓我認(rèn)識了MATLAB這個(gè)有著強(qiáng)大功能的軟件。經(jīng)過這一段時(shí)間的學(xué)習(xí)，我對MATLAB有了較為系統(tǒng)的了解。它的應(yīng)用領(lǐng)域相當(dāng)廣泛：微積分、矩陣代數(shù)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)、信號與系統(tǒng)、電子線路、電機(jī)學(xué)、機(jī)械振動(dòng)、自動(dòng)控制和通信技術(shù)等。它只需幾筆簡單的程序，就可以完成繁瑣的計(jì)算。它的擴(kuò)展性強(qiáng)，在學(xué)好其基礎(chǔ)部分之后，還有幾十種工具箱可以用于各類科研需要，這可以縮短學(xué)習(xí)和實(shí)踐工作的距離。 拿到老師給的題目后，我針對題目進(jìn)行了分析。方波可用相應(yīng)頻率的基波及其奇次諧波合成，并用MATLAB實(shí)現(xiàn)仿真。仔細(xì)思考了課題，發(fā)現(xiàn)相應(yīng)頻率的基波及其奇次諧波的合成，就是傅里葉的展

15、開式。顯然，這要求我要深入研究傅里葉級數(shù)展開分析的理論知識，利用MATLAB強(qiáng)大的圖形處理功能，符號運(yùn)算功能以及數(shù)值計(jì)算功能，實(shí)現(xiàn)相應(yīng)頻率的基波及其奇次諧波合成方波。在這次訓(xùn)練中，我用MATLAB實(shí)現(xiàn)方波信號的傅里葉級數(shù)分解與綜合，繪出包含不同諧波次數(shù)的合成波形，觀察合成波形與原矩形波形之間的關(guān)系及吉布斯現(xiàn)象，證明課題的正確性。 于是我使用MATLAB，輸入相關(guān)的程序，并且運(yùn)行它，檢查它的正確性，并且修正。在程序的調(diào)試過程中遇到很多的問題。有的程序我根本就不知道它錯(cuò)在哪里，也不知道怎么去改正。只有不斷的翻書，不斷的修改程序，不斷的調(diào)試。終于繪制出了所需要的圖像。 在寫相關(guān)源程序的時(shí)候，我還收索

16、了大量的網(wǎng)站，在網(wǎng)上收索了很多關(guān)于MATLAB的資料。在這個(gè)過程中我發(fā)現(xiàn)網(wǎng)上有很多有用的知識。以后應(yīng)該多注意，充分合理的利用網(wǎng)絡(luò)，通過網(wǎng)絡(luò)來學(xué)習(xí)東西。 這次基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練使我明白了在知識的領(lǐng)域里我還有很多很多的不足，并且再一次的深深的體會到理論和實(shí)踐之間還有很到的差別。在以后的學(xué)習(xí)中應(yīng)該多多的注意實(shí)踐知識的訓(xùn)練和積累。在以后的學(xué)習(xí)生活中要不斷的開拓自己的動(dòng)手能力，不斷的訓(xùn)練自己的動(dòng)手能力。 這次基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練讓我學(xué)習(xí)了了數(shù)字信號系統(tǒng)處理里的相關(guān)知識，也復(fù)習(xí)了高數(shù)中的相關(guān)知識，并且我還對mathtype數(shù)學(xué)公式編輯器有了一定的了解，并且會用它編輯公式。21世紀(jì)人類的知識正以指數(shù)規(guī)律飛速增長，我們已經(jīng)

17、借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和制造，設(shè)計(jì)業(yè)和制造業(yè)已經(jīng)大大的提高了效率，創(chuàng)造了空前的財(cái)富。但是在我們的教和學(xué)的過程中，我們還在做繁瑣重復(fù)的計(jì)算這種機(jī)械勞動(dòng)，如何從其中解放出來？就成了提高學(xué)習(xí)效率的關(guān)鍵環(huán)節(jié)?，F(xiàn)在我們雖然在大學(xué)中學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)課程，也只是為了以后的就業(yè)需要，很少對學(xué)生在學(xué)校學(xué)習(xí)有直接幫助。目前我們還處在“計(jì)算器水平”。 正因?yàn)檫@樣，我們沒有足夠時(shí)間用于概念的思考，知識的擴(kuò)充和思維的創(chuàng)新。就像學(xué)習(xí)信號與系統(tǒng)一樣，傅里葉變換，拉普拉斯變換等，都是很復(fù)雜的計(jì)算，而且做出的答案只是一個(gè)單純的函數(shù)式。根本不知道有什么用，而有了MATLAB，我們既可以很快做出答案，并且可以得到它的圖像，一舉兩得，既形象又具體。使枯燥無味的計(jì)算變得生動(dòng)有趣，而且便于理解。在以后的學(xué)習(xí)中，我還會繼續(xù)學(xué)習(xí)、使用MATLAB，它使計(jì)算機(jī)真正成為教學(xué)有力的工具。參考文獻(xiàn)1 劉泉，闕大順，郭志強(qiáng).數(shù)字信號處理原理與實(shí)現(xiàn).北京：電子工業(yè)出版社，20092 劉泉，江雪梅.信號與系統(tǒng).北京：高等教育出版社，20063 施陽，李俊. MATLAB語言工具箱-ToolBox實(shí)用指南.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，19994 賀興華，王繼陽，周暉.MATLAB7.X圖像處理.北京：人民郵電出版社，20065 梁虹. 信號與系統(tǒng)分析及MATLAB實(shí)現(xiàn).北京：電子工業(yè)出版社，2002年6