圓板塊五圓的規(guī)劃問(wèn)題學(xué)生版

1、板塊五 .圓的規(guī)劃問(wèn)題典例分析【例 1】 如果實(shí)數(shù) x 、 y 滿足22，則 y 的最大值為（）(x 2)y 3xA 13C3D3B223【考點(diǎn)】圓的規(guī)劃問(wèn)題【難度】 3 星【題型】選擇【關(guān)鍵字】無(wú)【解讀】等式 (x2) 2y23有明顯的幾何意義，它表坐標(biāo)平面上的一個(gè)圓，圓心為(2 ，0) ，半徑 r3，（如圖），而yx0 則表示圓上的點(diǎn) ( x ，y) 與坐標(biāo)原xx0點(diǎn) (0 ，0) 的連線的斜率如此以來(lái)，該問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為如下幾何問(wèn)題：動(dòng)點(diǎn)A在以 (2 ，0) 為圓心，以3 為半徑的圓上移動(dòng)，求直線OA 的斜率的最大值，由圖可見(jiàn)，當(dāng)A 在第一象限，且與圓相切時(shí)，OA 的斜率最大，經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算，得

2、最大值為 tan 603yAOMx【答案】 D；【例2】 若集合 Mx3cos，集合 N( x， y) | yx 且b( x ，y)(0)y3sinM N ，則 b 的取值范圍為 _【考點(diǎn)】圓的規(guī)劃問(wèn)題【難度】 3 星【題型】填空【關(guān)鍵字】無(wú)【解讀】 M( x ，y) | x2y 29 ，0 y 1 ，顯然， M 表示以 (0 ，0) 為圓心，以3 為半徑的圓在 x 軸上方的部分，（如圖），而N 則表示一條直線，其斜率k 1 ，0/19縱截距為 b ，由圖形易知，欲使MN ，即是使直線yxb 與半圓有公共點(diǎn)，顯然 b 的最小逼近值為3 ，最大值為 3 2 ，即3b 3 2y32Ox【答案】3b

3、 32【例 3】 試求圓x2cos , （為參數(shù)）上的點(diǎn)到點(diǎn)A(3 , 4) 距離的最大（?。┲祔2sin【考點(diǎn)】圓的規(guī)劃問(wèn)題【難度】 3 星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解讀】 分析 利用兩點(diǎn)間距離公式求解或數(shù)形結(jié)合求解y AP1OxP2解法一設(shè) P是圓x2cos , 上任一點(diǎn)，則 P(2cos , 2sin ) 所以y2sinPA(32cos)2(42sin)225412cos16sin2920sin()(arctan3) 4因?yàn)镽 ，所以R ，因此當(dāng) sin()1 時(shí)， PA 最大值29207當(dāng) sin()1 時(shí)， PA 最小值29203解法二 將圓x2cos, 代入普通方程得x2y24y2

4、sin如圖所示可得，P1 A 、 P2 A 分別是圓上的點(diǎn)到A(3 , 4) 的距離的最小值和最大值易知： P1 A3， P2A7 xarco s,說(shuō)明 在圓的參數(shù)方程brsi n（ 為 參 數(shù) ） 中 ， A( a , b ) 為 圓 心 ，yr (r 0)為半徑，參數(shù)的幾何意義是：圓的半徑從x 軸正向繞圓心按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到P 所得圓心角的大1/19小若原點(diǎn)為圓心，常常用(r cos, r sin) 來(lái)表示半徑為r 的圓上的任一點(diǎn) 圓的參數(shù)方程也是解決某些代數(shù)問(wèn)題的一個(gè)重要工具【答案】最大值為7 ，最小值為4 【例 4】 已知 A(2,0) ， B(2, 0) ，點(diǎn)P 在圓 ( x3)2(

5、 y4) 24 上運(yùn)動(dòng)，則22PAPB的最小值是【考點(diǎn)】圓的規(guī)劃問(wèn)題【難度】 3 星【題型】填空【關(guān)鍵字】無(wú)【解讀】設(shè) P( x, y) ，則 PA2222( x22PB( x2)y2)y228 2OP2C (3,4) ，則 OP minOC r5 23，2( xy )8 設(shè)圓心為 PA2PB2 的最小值為2328 26【答案】 26 【例 5】 已知圓 C : ( x2)2y21， P( x , y) 為圓上任一點(diǎn)，求y2 的最大、最小值，x1求 x2 y 的最大、最小值【考點(diǎn)】圓的規(guī)劃問(wèn)題【難度】 3 星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解讀】 方法一 由 ( x221知，可設(shè) P 的坐標(biāo)為 (2

6、 cos , sin ) ，是參數(shù)2)y則 y2sin2 ，令 sin2t ，x1cos3cos3得 sint cos23t， 1t 2 sin()23t23tsin() 133 t332441t所以 t max3333， tmin44即 y2的最大值為 33 ，最小值為 343 x14此時(shí) x2 y2 cos2sin25 cos() 所以 x2 y 的最大值為25 ，最小值為25 方法二 y2 表示點(diǎn) P(x , y) 與點(diǎn) (1, 2)連線的斜率，其中P 點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，x12/19yx -2y=m(1,2)Ox結(jié)合圖象知，要求斜率的最值，只須求出過(guò)(1, 2) 點(diǎn)的圓的切線的斜率即可，設(shè)

7、過(guò) (1,2)點(diǎn)的直線方程為：kxy k 20由 d2kk 233 ，11 ，得 kk24所以 y2 的最大值為 33，最小值為 343 x14令 x 2 ym ，同理兩條切線在x 軸上的截距分別是x 2 y 的最大、最小值由 d2m2551 ，得 m所以 x2 y 的最大值為25 ，最小值為25【答案】最大值為25 ，最小值為25 【例 6】 求函數(shù) ysin x1 的值域2cos x4【考點(diǎn)】圓的規(guī)劃問(wèn)題【難度】 3 星【題型】填空【關(guān)鍵字】無(wú)【解讀】 ysin x11sin x1 ，于是 2 ysin x1 ，2cos x42cos x2cos x2其幾何意義為單位圓上的任一點(diǎn)(cos

8、x , sin x) 與點(diǎn) ( 2,1) 的連線的斜率結(jié)合圖象知：過(guò)點(diǎn)( 2, 1) 與單位圓相切的直線的斜率為k10 ， k24 ，423連線的斜率的取值范圍為, 0 ，從而此函數(shù)的值域?yàn)?, 0 3【答案】2 , 03【例 7】 設(shè) | a | 1 ， a , bR ，求 (ab)2( 1a 22b5) 2 的最小值【考點(diǎn)】圓的規(guī)劃問(wèn)題【難度】 3 星【題型】填空【關(guān)鍵字】無(wú)【解讀】分析式子的幾何意義，它表示兩點(diǎn)( a ,1a 2 ) 與 ( b , 2b5) 的距離的平方，前者在半圓x2y21( y 0) 上，后者在直線y2x5 上，3/19結(jié)合簡(jiǎn)圖知：半圓上的點(diǎn)到該直線的距離的最小值為

9、| 5 |1 51，41從而所求的最小值為 ( 5 1)2625【答案】625【例 8】 實(shí)數(shù) x, y 滿足 x2y21，求 uxy2 的最大值與最小值xy2【考點(diǎn)】圓的規(guī)劃問(wèn)題【難度】 3 星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解讀】 方法一變形得： (1u ) x(1u )y2(1u )0(yx2)，此方程表示一條直線又 x , y 滿足 x2y21，故直線與圓x2y21 有公共點(diǎn)故| 2(1u ) |1，解得 23 u 23 xcosu )2(1(1 u )2由于直線 yx2 與圓 x2y21 無(wú)公共點(diǎn)，因此，23 u 23為所求即 uxy2 的最大值為 23 ，最小值為 23 xy2方法二 設(shè)

10、， ysin，2 sin2sin2xy2cossin244則 u，xy2cossin22 cos2cos244 幾何意義為單位圓22cos，與點(diǎn)(2 ,2)xy1 上的點(diǎn)4sin4連線的斜率，求過(guò)點(diǎn) ( 2,2) 的單位圓切線的斜率：k123 ， k2 23 ，從而 uxy2 的最大值為 23 ，最小值為 23 xy2 由此式得 u cossin22u1 u 2cos，444從而 |22u | 1 ，解得 23 u 23 ，1u2因此 uxy2 的最大值為 23 ，最小值為 23 xy2【答案】最大值為23 ，最小值為 23 【例 9】 已知圓 C：( x2( y21 ， P( x , y)

11、為圓 C 上的動(dòng)點(diǎn)，求d22的最3)4)xy大、最小值【考點(diǎn)】圓的規(guī)劃問(wèn)題【難度】 3 星【題型】解答4/19【關(guān)鍵字】無(wú)【解讀】 方法一 由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ( x 3)2( y4) 21可設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (3 cos, 4sin )（是參數(shù)）則 dx2y296coscos2168sinsin 2266cos8sin2610cos() （其中 tan4 ）3所以 dmax261036 ， dmin261016 yCPOx方法二 d 是圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方， 要求 d 的最值，即求圓上距離原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)和最近的點(diǎn)結(jié)合圖象知：距離的最大值等于圓心到原點(diǎn)的距離加上半徑1，距離的最小值等于圓心到原點(diǎn)

12、的距離減去半徑1 所以 dmax(22222234 1)36， dmin ( 341) 16【答案】最大值為36，最小值為16 【例 10】 若 x2 y20 ，求函數(shù) ux2y22 x 4 y 的最小值【考點(diǎn)】圓的規(guī)劃問(wèn)題【難度】 2 星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解讀】 ux2y22 x4 y( x1)2( y2)25 ，先求點(diǎn) (1,2) 與直線 x2 y21427，0 的距離為 d1455umind 2549524 5524【答案】【例 11】 設(shè)點(diǎn) P( x , y) 是圓 x2y21 是任一點(diǎn)，求 uy2 的取值范圍x 1【考點(diǎn)】圓的規(guī)劃問(wèn)題【難度】 2 星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【

13、解讀】 方法一 設(shè) P(cos, sin) ，則有 xcos ， ysin，0 , 2) usin2 ， u cosu sin2cos1 u cossin(u2) 即u 21sin() u2 （ tanu ）5/19 sin()(u2) 又 sin() 1u21u2 1解之得： u 3 u 214方法二根據(jù)幾何意義求解uy2的幾何意義是過(guò)圓 x2y21 上一動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)( 1, 2) 的連線的斜率，x1利用此直線與圓x2y21 有公共點(diǎn)，可確定出u 的取值范圍由 uy2 得： y2u( x1) ，此直線與圓 x2y21 有公共點(diǎn)，x1故點(diǎn) (0 , 0) 到直線的距離 d 1 u2 1 ，解得：

14、 u 3 u 2 14另外，直線 y2u (x22的公共點(diǎn)還可以這樣來(lái)處理：1) 與圓 xy 1由y2u( x1)消去22224u 3) 0 ，x2y21y 后得： (u1)x(2u4u )x (u此方程有實(shí)根，故(2u 24u )24(u 21)(u24u3) 0，解之得： u 3 4【答案】 u 3 4【例 12】 已知對(duì)于圓22上任一點(diǎn) P( x , y) ，不等式 xy m 0 恒成立，求x( y 1) 1實(shí)數(shù) m 的取值范圍【考點(diǎn)】圓的規(guī)劃問(wèn)題【難度】 3 星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解讀】yx+y+m= 0Ox方法一 xym0 右上方面的點(diǎn)滿足：xy m0 ，結(jié)合圖象知，要圓上的任

15、一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足x ym 0 ，只需直線在如圖所示的切線的左下方，圖中切線的縱截距m21 ，故只需 m 21 ，即 m21 即可方法二 分析 設(shè)圓上一點(diǎn) P(cos,1sin) ，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用三角函數(shù)求范圍解 設(shè)圓 x2( y1)21 上任一點(diǎn) P(cos,1sin) ，0 , 2 ) x cos， y1sin，6/19 x y即 m 只須m 0 恒成立， cos1sinm 0 恒成立，(1cossin) 恒成立m 不小于(1cossin) 的最大值設(shè) u(sincos ) 1，2 sin() 14 umax21 即 m 21 【答案】 m 21【例 13】 實(shí)數(shù) x 、 y 滿足 x2y2

16、8x6y210，求 y 的取值范圍x【考點(diǎn)】圓的規(guī)劃問(wèn)題【難度】 2 星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解讀】 方法一 設(shè) yk ，方程 x2y28 x6y21 0 可化為x( k21)x2(8 6k )x 21 0 ，由 0 得： 12k224k5 0621 k 62166方法二 方程 x2y28x6 y210 表示圓心為 A(4,3) 、半徑為 4的圓，y 表示原點(diǎn) O 與該圓上的點(diǎn) P 連線的斜率x設(shè) OP 方程為 ykx ，由點(diǎn) A到 OP 距離4k3 2k21得： 12k 224k5 0621 k 66216 所求 y 的取值范圍是621 y 621 x6x6yPAOx【答案】 621 y

17、 6216x6【例 14】 已知點(diǎn) P( x, y) 在圓 x2( y 1)21 上運(yùn)動(dòng) 求 y1 的最大值與最小值；x 2 求 2x y 的最大值與最小值7/19【考點(diǎn)】圓的規(guī)劃問(wèn)題【難度】 3 星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解讀】 設(shè) y1k ，則 k 表示點(diǎn) P( x, y) 與點(diǎn) (2,1) 連線的斜率當(dāng)該直線與圓相切x2時(shí)，k 取得最大值與最小值由2k1 ，解得 k3， y1 的最大值為3，最小值為k213x233 3m ，則 m 表示直線 2xm 在 y 軸上的截距 當(dāng)該直線與圓相切 設(shè) 2xyy時(shí)， m 取得最1m15 ， 2x y 的最大值為1 5，最大值與最小值由1 ，解得 m

18、5小值為 15 【答案】 y1 的最大值為3，最小值為3x233 2xy 的最大值為 15 ，最小值為 15 x3 cos【例 15】 若集合 M( x, y) , 0 ，集合 N ( x, y) | x y b 0 ，且 y 3 sinM N，則 b 的取值范圍是【考點(diǎn)】圓的規(guī)劃問(wèn)題【難度】 2 星【題型】填空【關(guān)鍵字】無(wú)【解讀】 M 是一個(gè)圓心在原點(diǎn)，半徑為 3 的半圓（不包括端點(diǎn)）， N 代表斜率為 1，截距為 b 的直線原問(wèn)題對(duì)應(yīng)的幾何問(wèn)題為：若直線與圓有交點(diǎn)，則直線的截距范圍是多少 ?yQOxP如圖，容易得到P , Q 是截距的極限位置，經(jīng)過(guò)計(jì)算求出P( 3,0)，Q(3 2,0)于

19、是 b 的取值范圍是3 b 3 2 【答案】3b 32 8/19【例 16】x24x 3x 1 a 的解集為 4, 0 ，求 a 的取值范圍4【考點(diǎn)】圓的規(guī)劃問(wèn)題【難度】 3 星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解讀】函數(shù) y2224 ，所以 y2表示圓心為x 4 x 可化為 ( x 2)yx 4xC(2, 0)，半徑為 2 的圓在 x 軸上方的部分，于是4 x 0 y3x1 a 表示斜率為3 ，截距為 1a 的直線44l1- aCO如圖， l 為極限位置，此時(shí)1a4，所以 a 的取值需要滿足為1a 4 ，解之得a 的取值范圍是a 3 【答案】 a - 3 【例 17】 求函數(shù) yxx23x 2的值域

20、【考點(diǎn)】圓的規(guī)劃問(wèn)題【難度】 3 星【題型】解答【關(guān)鍵字】無(wú)【解讀】 解法 1 f (x)xx22的定義域?yàn)?(,12,) 配方，有3x321 ，設(shè) t3 ，即 x g (t )3 ，有f (x) xxxt24223(,12,) ，即 t,11于是t2,22f (x)f ( g(t)t3t 2124當(dāng) t1 ,時(shí)， f(g (t ) 為增函數(shù)，所以f ( x)fg 1,2,) ；22當(dāng) t,1時(shí)，2tt 21tt 211f (x)f ( g( t)t3t2144343，24t 21212tt 2t449/19為減函數(shù)，所以 f ( x)fg1,31,3222綜上， f ( x) 的值域?yàn)?2,

21、1,2解法 2 同解法 1，將函數(shù)f ( x) 化為 f ( x)f (g (t ) t3t 21以原點(diǎn)為圓24心， 1 為半徑作圓，設(shè)P(t , 0) 在 x 軸上運(yùn)動(dòng)，則21t 時(shí)，如圖中A 位置，過(guò) A 作圓的切線，切點(diǎn)為C ，顯然OAt ， ACt 21 ，分析AOC ，當(dāng) A 位于1 , 0時(shí)42OAAC 最小，為1，于是 t3t 212,) ；224t 1 時(shí)，如圖中 B 位置，過(guò) B 作圓的切線，切點(diǎn)為D ，顯然2yDCB1O1At-22OA t ， BDt 21，分析DOB ，有 0 BDOB 1 （當(dāng)42B 位于1, 0時(shí)， BDOB 最大，為1 ，于是 t3t 211,3；

22、22242綜上， f ( x) 的值域?yàn)?1, 32,) 2解 法3f ( x)x23 x2的定義域?yàn)?, 12,) 設(shè)x2f: xy( x,y)y xx 3 x 2 ， 則 可 以轉(zhuǎn)化為滿足涉及的實(shí)數(shù)對(duì)2222xy22( y x)x3x 2 的解 ( x, y) ，由 ( y x)x3 x 2 得2 y 3 由 x 的y xy xy x范圍 (, 12,) ，可以求得f (x) 的值域?yàn)?,32,) 2解法 4 yx23x2 的定義域?yàn)?x 1或 x 2x2 x32x23x22x3 求導(dǎo)，有y12 x23 x 22 x23x 2當(dāng) x 2 時(shí)， y0 ，所以原函數(shù)為增函數(shù)，取值范圍為2,；當(dāng)

23、 x 1時(shí) ，2 x23x2x23 2x 4x 1 2 28x4，x1 2910/19 y 0 ，原函數(shù)為減函數(shù)，取值范圍為1, 32從而，原函數(shù)值域?yàn)?,32,2解法 5 設(shè) y1x23x 2 ， y2x ，則 y y1y2 l1yl2PO12xQ22y1x31 ，于是x3y121 （ y1 0），其幾何意義是中心在24243, 0的雙曲線在 x 軸上方的部分2y2x 是過(guò)原點(diǎn)，斜率為1 的一條直線如圖， l1為雙曲線的一條漸近線，方程為yx3 ， l 2 : y2x ，顯然 l1 l 2 當(dāng) x 1 時(shí)， y12y2PQ ，隨著 x 越來(lái)越小，P 到 l1的距離越來(lái)越小，于是P 到l2 的

24、距離越來(lái)越大（l1 , l2之間的距離為定值），從而PQ 越來(lái)越大，取值范圍為1,3；2當(dāng) x 2 時(shí)，隨著x 越來(lái)越大，PQ 也越來(lái)越大，取值范圍為2,；3綜上，原函數(shù)的值域?yàn)?,2,23【答案】1,2,2【例 18】 設(shè)XOY90 ， P 為XOY 內(nèi)一點(diǎn)，且OP1 ，XOP30 ，過(guò) P 任意作一條直線分別交射線OX 、OY于點(diǎn) M 、N，求 OMONMN 的最大值【考點(diǎn)】圓的規(guī)劃問(wèn)題【難度】 5 星【題型】填空【關(guān)鍵字】無(wú)【解讀】11/19yNP30OMx如圖1，作OMN 的內(nèi)切圓，設(shè)其半徑為r ，則 OMONMN2r ，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 OMN 的內(nèi)切圓半徑的最大值yNyNPPr CCOMxOMx圖1圖2ylPOx圖 3分析圖形可得當(dāng)P 在 C 上時(shí)， OMN 內(nèi)切圓的半徑最大，設(shè)此時(shí)C 半徑為r0 ，如圖 2若不然，設(shè)在某情形下C 半徑大于 r0，那么 P 點(diǎn)將會(huì)在 C 內(nèi)，這與C是OMN 的內(nèi)切圓矛盾（如圖3 ，圓心 C 只能在射線l 上運(yùn)動(dòng)）顯然，此時(shí) P 點(diǎn)為切點(diǎn)設(shè) C (r0 , r0 ) ，而 P cos30, sin30 ，于是CPr0r02r02r0 2，即cos30sin30，化簡(jiǎn)有22(sin30cos30 )r010r0 r02(sin 30cos30 )4(sin 30cos30 ) 24cos30sin 602sin 3