教案1 向量與空間平面

1、第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面【授課時(shí)數(shù)授課時(shí)數(shù)】 總時(shí)數(shù)：4學(xué)時(shí).【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1、知道空間直角坐標(biāo)系、向量、平面方程的概念； 2、會(huì)進(jìn)行向量的坐標(biāo)表示，向量的運(yùn)算（線形運(yùn)算、數(shù)量積、向量積和混合積）； 3、會(huì)求平面方程、平面與平面、點(diǎn)到平面的距離，會(huì)判斷平面與平面之間的位置關(guān)系（平行、垂直）【重、難點(diǎn)重、難點(diǎn)】 重點(diǎn)：向量概念，向量坐標(biāo)表示及其運(yùn)算，向量的數(shù)量積與向量積，平面的點(diǎn)法式方程 難點(diǎn)：兩向量的向量積，平面與平面的位置關(guān)系，由實(shí)例講解方法第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向

2、量與空間平面x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點(diǎn)定點(diǎn)o空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 三個(gè)坐標(biāo)軸的正方三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系向符合右手系.第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11特殊點(diǎn)的表示特殊點(diǎn)的表示:)0 , 0 , 0(o),(zyxm xyzo)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0

3、(zr)0 ,(yxa), 0(zyb),(zoxc坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn),p,q,r坐標(biāo)面上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn),a,b,c第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面xyzo 1mpnqr 2m?21 mmd在在直直角角21nmm 及及 直直 角角pnm1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212nmpnpmd 第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面,121xxpm ,12yypn ,122zznm 22221nmpnpmd .21221221221zzyyxxmm 空間兩點(diǎn)間距

4、離公式空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為特殊地：若兩點(diǎn)分別為,),(zyxm)0 , 0 , 0(oomd .222zyx xyzo 1mpnqr 2m第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面解解 221mm,14)12()31()47(222 232mm, 6)23()12()75(222 213mm, 6)31()23()54(222 32mm,13mm 原結(jié)論成立原結(jié)論成立.第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面解解設(shè)設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為),0 , 0 ,(x因?yàn)橐驗(yàn)閜在在x

5、軸上，軸上， 1pp 22232 x,112 x 2pp 22211 x, 22 x 1pp,22pp112 x222 x, 1 x所求點(diǎn)為所求點(diǎn)為).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式（注意它與平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別）（注意它與平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別）（軸、面、卦限）（軸、面、卦限） 21221221221zzyyxxmm 第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面._,_)

6、 1,2,3(軸的對(duì)稱點(diǎn)是，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是軸，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是關(guān)于平面點(diǎn)zyxzoxyozxoyp填空題填空題練習(xí)題練習(xí)題)1 ,2, 3()1,2, 3() 1, 2, 3()1 ,2, 3()1 ,2,3()1,2, 3(第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1m為起點(diǎn)，為起點(diǎn)，2m為終點(diǎn)的有向線段為終點(diǎn)的有向線段.1m2m a21mm模長(zhǎng)為模長(zhǎng)為1 1的向量的向量. .21mm00a零向量：零向量：

7、模長(zhǎng)為模長(zhǎng)為0 0的向量的向量. .0|a21mm| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .單位向量：?jiǎn)挝幌蛄浚夯蚧蚧蚧蚧蚧虻诰耪碌诰耪?向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面自由向量：自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量不考慮起點(diǎn)位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .負(fù)向量：負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向徑：向徑：aba a空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)m m與原點(diǎn)與原點(diǎn)om構(gòu)成的向量構(gòu)成的向量.第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾

8、何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面1 加法：加法：abcabc（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分為同向和反向分為同向和反向bac|bac （平行四邊形法則有時(shí)也稱為三角形法則）（平行四邊形法則有時(shí)也稱為三角形法則）第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律：）交換律：.abba （2 2）結(jié)合律：）結(jié)合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 減法減法()abab abb b cbabac )(b

9、a ba ab第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面, 0)1( a 與與a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反向，反向，|aa aa2a21 第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.0ababa，使使的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)必必要要條條件件是是：存存在在唯唯一一的的充充分分平平行行于于，向向量量設(shè)

10、設(shè)向向量量?jī)蓚€(gè)向量的平行關(guān)系兩個(gè)向量的平行關(guān)系第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面同方向的單位向量，同方向的單位向量，表示與非零向量表示與非零向量設(shè)設(shè)aa0按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量個(gè)與原向量同方向的單位向量.第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面 例例33 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) 53215abbba解解 53215abbbaba 5

11、51251)31(.252ba 第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面 例例4 4 試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形必是平行四邊形邊形必是平行四邊形.證證ammc bmmd ad am mdmc bmbc ad與與 平行且相等平行且相等,bc結(jié)論得證結(jié)論得證.abcdmab第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面2112221122211211aaaaaaaa第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量

12、與空間平面第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面333223221111333231232221131211) 1(aaaaaaaaaaaaaa232213123113333213122112) 1() 1(aaaaaaaaaa（按列（或行）展開）（按列（或行）展開）第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 1. 紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素

13、的乘積冠以負(fù)號(hào)的乘積冠以負(fù)號(hào)2. 對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa (對(duì)角線法則)注意：注意：第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. tdd記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa d2121nnaaannaaa2112 tdnnaaa2211 說明說明：行列式中行與列具有同等的地位行列式

14、中行與列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面例如例如性質(zhì)性質(zhì)3 3 如果行列式有兩行（列）完全相同，如果行列式有兩行（列）完全相同，則則,571571266853.825825361567567361266853 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號(hào)行列式變號(hào). .此行列式為零此行列式為零.第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面 行列式的某一行（列）中所

15、有的元素都乘行列式的某一行（列）中所有的元素都乘nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 性質(zhì)性質(zhì)5行列式中如果有兩行（列）元素成比例，行列式中如果有兩行（列）元素成比例，以同一數(shù)以同一數(shù)k，等于用數(shù)，等于用數(shù)k乘此行列式乘此行列式.則此行列式為零則此行列式為零第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面性質(zhì)性質(zhì) 把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一同一njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjn

16、jninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111 k例如例如數(shù)然后加到另一列數(shù)然后加到另一列(行行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面性質(zhì)性質(zhì)7上三角行列式等于對(duì)角線上元素的乘積上三角行列式等于對(duì)角線上元素的乘積. 321332322131211000aaaaaaaaa例如例如第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面解一解一121321132131232121331121

17、1222第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面解二解二212132113212120013221322)1(32第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面以以kji,分分別別表表示示沿沿zyx,軸軸正正向向的的單單位位向向量量.第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面xyzo 1mpnqr 2mijkxyzaa ia ja k 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影x 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影y 向量在向量在 軸上的投影軸上的投

18、影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxmm)()()(12121221 第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面kzzjyyixxmm)()()(12121221 按基本單位向量的按基本單位向量的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐標(biāo)坐標(biāo)：zyxaaa,向量的向量的坐標(biāo)表達(dá)式坐標(biāo)表達(dá)式：),(zyxaaaa ),(12121221zzyyxxmm特殊地：特殊地：),(zyxom 第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與

19、空間平面向量與空間平面方向角的定義方向角的定義 非零向量與三條坐標(biāo)軸正向的夾非零向量與三條坐標(biāo)軸正向的夾角角a向量向量 的與三條坐標(biāo)軸的方向角為的與三條坐標(biāo)軸的方向角為 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1m 2m 方向角的范圍：方向角的范圍：第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面xyzo 1m 2m 由圖分析可知由圖分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .222|zyxaaaa pqr向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式

20、21212121rmqmpmmm 第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面0222 zyxaaa當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面222coscoscos1方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa ).cos,cos,(cos特殊地：?jiǎn)挝幌蛄康姆较蛴嘞覟樘厥獾兀簡(jiǎn)挝幌蛄康姆较蛴嘞覟榈诰耪碌诰耪?向量向量與空間解析幾何與空間解析幾

21、何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面解解設(shè)向量設(shè)向量21pp的方向角為的方向角為 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos 第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面.32,3 設(shè)設(shè)2p的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為),(zyx,1cos x 21pp21 x21 , 2 x0cos y 21pp20 y22 , 2 y3cos z 21pp23 z, 2, 4 zz2p的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課

22、題一 向量與空間平面向量與空間平面思考題思考題思考題解答思考題解答對(duì)角線的長(zhǎng)為對(duì)角線的長(zhǎng)為|,|,|nmnm ),1 , 1, 1 ( nm) 1, 3 , 1 (nm, 3| nm,11| nm平平行行四四邊邊形形的的對(duì)對(duì)角角線線的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度各各為為11, 3.mn第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面 cos|sfw (其其中中 為為f與與s的的夾夾角角)啟示啟示 兩向量作這樣的運(yùn)算兩向量作這樣的運(yùn)算, 結(jié)果是一個(gè)數(shù)量結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.定義定義bababa,cos| 兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的

23、模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積. .第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面關(guān)于數(shù)量積的說明關(guān)于數(shù)量積的說明:0)2( ba.ba .|)1(2aaa , 1) 3 (kkjjii.),(),() 4 (zzyyxxzyxzyxbabababbbaaaba. 0ikkjji第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面內(nèi)積符合下列運(yùn)算規(guī)律：內(nèi)積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律）交換律：;abba （3 3）分配律）分配律：.)(cbcacba（

24、2 2）數(shù)因子的結(jié)合律）數(shù)因子的結(jié)合律：);()()(bababa第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面 cos|baba ,|cosbaba 222222cosxxyyzzxyzxyza ba ba baaabbb兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式ab0 xxyyzza ba ba b由此可知兩向量垂直的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxz

25、zyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabpr|)3( . 3|pr bbaajb .43 第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面證證cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面|foqm sin|fop lfpqo 第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面babac,sin|定義定義關(guān)于向量積的說明：關(guān)于向量積的說明：. 0)

26、 1 ( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”.),(),(),() 3 (xyyxzxxzyzzyzyxzyxbababababababbbaaaba第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk ()()()yzzyzxxzxyyxa ba b ia ba bja ba b k向量

27、積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面向量積還可用三階行列式表示向量積還可用三階行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面zzyxbaaa 000, 0 yxaa 外積的幾何意義外積的幾何意義:xb、yb、zb不不能能同同時(shí)時(shí)為為零零，但但允允許許兩兩個(gè)個(gè)為為零零，例如，例如，abbac 第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向

28、量與空間平面向量與空間平面外積符合下列運(yùn)算規(guī)律：外積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）反交換律：反交換律：.abba （3）分配律：分配律：.)(cbcacba （2）關(guān)于數(shù)因子的結(jié)合律：關(guān)于數(shù)因子的結(jié)合律：).()()(bababa 第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面abc解解d3, 4 , 0 ac0 , 5, 4 ab三

29、角形三角形abc的面積為的面積為|21abacs 22216121521 ,225 | ac, 5)3(422 |21bds | ac|521225bd . 5| bd第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 設(shè)設(shè),kcjcicczyx 上式為混合積的坐標(biāo)表達(dá)式上式為混合積的坐標(biāo)表達(dá)式zyxzyxzyxcccbbbaaacbacba)()(第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面解解nmnmnm,sin|, 8124 0,pnmpnm )(

30、cos|pnm .2438 依依題題意意知知nm 與與p同同向向，第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面（1）向量混合積的幾何意義：）向量混合積的幾何意義：acbba 關(guān)于混合積的說明：關(guān)于混合積的說明：)()2(cbacba )()bca().cab. 0)(cba第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面解解)(61adacabv ),(121212zzyyxxab第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面),(131313zzyy

31、xxac),(141414zzyyxxad14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxv 上式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致上式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致.第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積向量的向量積向量的向量積向量的混合積向量的混合積（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)向量）（結(jié)果是一個(gè)向量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（注意共線、共面的條件）（注意共線、共面的條件）第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空

32、間平面向量與空間平面思考題思考題思考題解答思考題解答bababa,sin|2222,cos1|222baba22|ba baba,cos|22222|ba .)(2ba 第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面練習(xí)題練習(xí)題平行四邊形的面積平行四邊形的面積 以以cba,為鄰邊的平行六面體的體積為鄰邊的平行六面體的體積 零向量零向量 零向量零向量 垂直垂直 平行平行 第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面xyzo0mm 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，那么這向量就于一平面，那

33、么這向量就叫做該平面的法線向量叫做該平面的法線向量法線向量的特征：法線向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量已知已知),(cban ),(0000zyxm設(shè)平面上的任一點(diǎn)為設(shè)平面上的任一點(diǎn)為),(zyxmnmm 0必有必有00 nmmn第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面),(0000zzyyxxmm0)()()(000 zzcyybxxa上式稱為平面的上式稱為平面的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程 平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程滿

34、足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形的圖形其中法向量其中法向量),(cban 已知點(diǎn)已知點(diǎn)).,(000zyx第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面解解)6, 4, 3(ab)1, 3, 2(ac取取acabn ),1, 9,14(所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得. 015914 zyx第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面),1, 1, 1(1n)12,2, 3(2n取法向量取法向量21nnn ),5,15,10(, 0)

35、1(5)1(15)1(10 zyx化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面由平面的點(diǎn)法式方程由平面的點(diǎn)法式方程0)()()(000 zzcyybxxa0)(000 czbyaxczbyaxd 0axbyczd上式稱為平面的上式稱為平面的一般方程一般方程法向量法向量).,(cban 第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( d平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)

36、；, 0)2( a , 0, 0dd平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( ba平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 cbca0, 0 cb類似地可討論類似地可討論 情形情形. , 0, 0dd平面通過平面通過 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 dczbyax將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0dccdbbdaa,ada ,bdb .cdc 解解第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解

37、析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面,ada ,bdb ,cdc 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1xyzabc稱為平面的截距式程稱為平面的截距式程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 dczbyax由平面過原點(diǎn)知由平面過原點(diǎn)知, 0 d由平面過點(diǎn)由平面過點(diǎn))2, 3, 6( 知知0236 cba),2 , 1, 4( n024 cba,32cba . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾

38、何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面設(shè)平面為設(shè)平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 v, 12131 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba 解解第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面,61161cba 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體積式代入體積式,61 t, 1, 6, 1 cba. 0666zyx所求平面方程為所求平面方程為第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間

39、平面（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角. ., 0:11111 dzcybxa, 0:22222 dzcybxa),(1111cban ),(2222cban 第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面按照兩向量夾角余弦公式按照兩向量夾角余弦公式 , 得得121212222222111222|cosa ab bc cabcabc兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式即即 , 兩平面夾角公式兩平面夾角公式222222212121212121|arccoscba

40、cbaccbbaa第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面4. 4. 兩平面的位置關(guān)系兩平面的位置關(guān)系)2 , 1(0idzcybxaiiii設(shè)兩平面./)2(2121212121ddccbbaa.) 1 (一次項(xiàng)系數(shù)不成比例兩平面相交 21. 0212121ccbbaa.)3(21212121ddccbbaa兩平面重合第九章第九章 向量向量與空間解析幾何與空間解析幾何 課題一課題一 向量與空間平面向量與空間平面 例例6 6 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx解解且,31120122222