正定二次矩陣(論文)

1、正定（半正定）二次型的判定及其應(yīng)用摘要：在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文主要探討了常見(jiàn)的正定二次型以及正 定二次型的判定。重點(diǎn)討論了止定二次型與行列式的聯(lián)系，在函數(shù)最值問(wèn)題中的應(yīng)用。利用 半正定二次型的性質(zhì)，證明相關(guān)不等式，降低了證明的難度，簡(jiǎn)單易懂。關(guān)鍵字：二次型正定二次型半正定二次型相關(guān)應(yīng)用目錄引言1一、止定二次型11. 1定義112常見(jiàn)正定二次型1二、正定二次型的判定2三、正定二次型的應(yīng)用43在函數(shù)極值問(wèn)題中的應(yīng)用43.2正定二次型在線性最小二乘法問(wèn)題中解中的應(yīng)用63.3利用半正定二次型的性質(zhì)證明不等式6參考文獻(xiàn)：8弓i言：設(shè)p是一個(gè)數(shù)域，ai e p,幾個(gè)文字西，兀2,，暫的

2、二次齊次多項(xiàng)式/ 0,£)= d| 1兀；+ 2。2斗兀2 + 2。|3兀1兀3 + + 2ainxlxn+如球 + 2a23x2x3 + + 2a2nx2xn=xs aijxixj （氣=%i，ji，2,/=1 j=稱為數(shù)域p上的一個(gè)斤元二次型，簡(jiǎn)稱二次型.當(dāng)列為實(shí)數(shù)時(shí)，稱.f為實(shí)二次型.當(dāng)勺為復(fù)數(shù)時(shí)，稱/為復(fù)二次型.如果二次型中只含有文字的平方項(xiàng)，即.f（x,x2,，暫）=d彳 +2兀；+ + /；稱f為標(biāo)準(zhǔn)型.-正定二次型1. 1定義：實(shí)二次型/（西,吃，心）稱為正定二次型，如果対于任意一組不全為零的實(shí)數(shù) c。，,c” ,都有 /（c,c2,心）012常見(jiàn)正定二次型1.2.1二

3、次型f （殲,兀2,£）=彳+卅+處是正定的,因?yàn)橹挥性赾x =c2 = = cn =0時(shí),£ +£ + + £ 才為零。1.2.2實(shí)二次型于（?！?,，?！埃? £分+2於+ d“分 是正 定的，當(dāng)且 僅當(dāng) £ 0,7 = 1,2,，幾1.2.3設(shè)實(shí)二次型n n f（xvx2-,xn） = xxaijxixjau f（1）是正定的，經(jīng)過(guò)非退化實(shí)線性替'換'變成二次型x=cy (2)n ng（）w2,兒）=工工沙小，血=婦j-*1我們指出,關(guān)于兒,）勺,，兒的二次型g（yi，2,，兒）也是正定的,或者說(shuō),對(duì)于任意一 組

4、不全為零的實(shí)數(shù)燈,他，kn,都有g(shù)&,他,，你）0.證明:事實(shí)上,令y =kyy2 =k2,-,yn =klt,代入的右端,就得到xyx2,-,xn對(duì)應(yīng)的一 組值,設(shè)其為eg,cn ,貝i因?yàn)閏 口j逆，就有/ 、c|*2= c-1c'2h丿s）所以當(dāng)%,靄,出是一紐不全為零的實(shí)數(shù)時(shí)，則sc?,也是一紐不全為零的實(shí)數(shù).顯然gg,倫,&） = f（cj,c2,c“） 0.二、正定二次型的判定定理6：77元實(shí)二次型/（殲,兀2,，心）是正定的充分冃必要條件是它的正慣性指數(shù)等 于n.證 設(shè)二次型/（“,兀2,，心）經(jīng)過(guò)非退化實(shí)線性替換變成標(biāo)準(zhǔn)形d 1 yf + 2）彳+心&#

5、163; 上面的討論表明，/（州內(nèi)內(nèi)）正定，當(dāng)且僅當(dāng)是正定的，而二次型是正定的，當(dāng) 且僅當(dāng)£ 0,/ = l,2,.,n ,即正慣性指數(shù)為n.定理5.4. 1說(shuō)明，正定二次型幾西宀,宀）的規(guī)范形為）+ ）$+ + £定義 實(shí)對(duì)稱矩陣力稱為正定的，若二次型x久x正定.因?yàn)槎涡停?）的矩陣是單位矩陣人，所以一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣是正定的，當(dāng)h-僅當(dāng)它與單 位矩陣合同引入：子式alla2d 13 aika2la22a23a2kp產(chǎn)a3a32a33.a3k （匸,2算a ka k2a k3 akk稱為a=（d“） 的順序主子式. j ' nxn定理7實(shí)二次型n n/（“宀，心）=

6、工工切恥丿=xaxi=l j=l是正定的充分h必要條件為矩陣a的順序主了式全人于零證必要性設(shè)二次型n n1=1 j=是正定的.對(duì)于每個(gè)k,嗨門,令k k幾("，尤2，心)二工工旬七勺，/=! ；=1則對(duì)丁任意一組不全為零的實(shí)數(shù)5，c2,"，有k k人(5心,心)=工工a汽勺=/(c“g,o,，0) >0<=1 j=i因此人(“,兀2,，心)是正定的.由推論5.4.1,齊的矩陣的行列式(1 2 ka>0,k = 1,， u 2 . k)故矩陣a的順序主子式全大于零.充分性 對(duì)刀作數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)廬1時(shí)，/(") =局，由條件5> 0,顯然有/(

7、“)是 正定的.假設(shè)充分性的論斷對(duì)于i元二次型已經(jīng)成立，那么對(duì)元情形，令'dll a.n-( 、ana =,a =n-ln-1)n-.n 丿則矩陣分塊為j，u2 ann)由/!的順序主子式全大于零知道a的順序主子式也全大于零因此，山歸納假定，芻是止 定矩陣，即有"1階可逆矩陣g使g'ag =殆取°)'g' o'/ 4xa a(g 0、耳g"3 bc嘰,0 1,o'g ann 丿3c；ac=1丿再取c2 =10c；c；actc2 =0g匕、(弗-g"-afg1丿/&g仏1 01 j0%-a'g

8、g'a)令 6-6162,滬曰如一 dgg a. 則有cxac =兩邊取行列式，得ic|2|ai=q. rti于|川o,因此日o.顯然1', 1' 11 <勺<億這就是說(shuō)，矩陣s與單位矩陣合同.所以/是正定矩陣，故二次型/（“宀,，心正定它的順序主子式21-2-4、-25 ,52>0,52-45>0,2121-2-4-25/>0,例 1 判別二次型 f（xifx2,x3） =5x2+x +5xj+4x x2-sxix3-4x2x3 是否正定. 解/（兀,兀2，兀3）的矩陣為所以，/（“宀旳）止定.三、正定二次型的應(yīng)用3.1在函數(shù)極值問(wèn)題中的

9、應(yīng)用定理設(shè)n元實(shí)函數(shù)/（“，£）在點(diǎn)po的一個(gè)鄰域中連續(xù)，且有足夠高階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)/（禹,勺,，撿）在點(diǎn)p（）近旁有性質(zhì)：1）若xmx正定，則p（）為極小點(diǎn)；2）若xmx負(fù)定，則p。為極人點(diǎn)；3）若xx不定，則p。非極人點(diǎn)或極小點(diǎn)；4）其余情形時(shí)，/在點(diǎn)p（）性質(zhì)有待研究余項(xiàng)r的性質(zhì)來(lái)確定。特別當(dāng)/是二次函數(shù)時(shí)，r=0, 只要x久x半正（負(fù)）定，則po為極?。ㄈ耍c(diǎn)例2：求函數(shù)z = xyln（x2 + y2）的極值z(mì)/=xln(x2 + y2)+ xy .jr + yx = ±1” _ 2xy(x2 +)“) 兀xxyy”_2xy2(3/ + y2) u2 + y

10、2)2，兮 (2 + y2)2ftj_"/ o 2、2(x4 + y4)7xx7yx、xy7幼丿-200、l0、-2>正定;負(fù)定;a l(±i,o)= a l(o,±i)=不定。=),(-7,-)點(diǎn)，z故在點(diǎn)（±1,0）,點(diǎn)（o,±i）, z不取極值；在（丄，l八'/， ryj2e j2e 、/2w v2e取極小值,%卜=9儀土'一點(diǎn)z取極人值，z極大二土。例3已知實(shí)數(shù)x, y滿足? +求f(x,y) = x2+2y2-2xy的最大值和最小值.解f(x,y)的矩陣為(1 一1)a=1-1 2 丿ae-a= 212-2= 2

11、2-32 + b因此,特征值=1(3 + 75),人=*(3-亦)于是，由定理可知，/(x,y)在/+),2=i下的最大值為1(3 + 75),最小值為丄(3一為.2 23.2正定二次型在線性最小二乘法問(wèn)題中解中的應(yīng)用 眾所周知，線性方程組可能無(wú)解。q內(nèi)+舛2花+ %兀_b =0 a2x +a22x2 +eee + 25x5= 0色“+%2勺+ %?；?0即任何一組和兀2兀都可能使得y = t(a,lxl +°必+冷兀-勺)不等于0,我們?cè)O(shè)法找到 1=1x,°,x2°兀0,使得y最小,這樣岸宀°才稱為方程組的最小二乘解。這種問(wèn)題就叫最 小二乘法問(wèn)題。若記

12、a為上述方程組的系數(shù)矩陣，b = (bl9b2,仇幾 于是，使得y值最小的x定是 方程組的解，而其系數(shù)矩陣a'a是一個(gè)正定矩陣，它的慣性指數(shù)等于m因此 這個(gè)線性方程組總是有解的，這個(gè)解就是最小二乘解。3.3利用半正定二次型的性質(zhì)證明不等式其證明思路是：首先構(gòu)造二次型，然后利用二次型半正定性的定義或等價(jià) 條件，判斷該二次型(矩陣)為半正定，從而得到不等式.例3 (caumy不等式)設(shè)4，$紅= 1,2,，n)為任意實(shí)數(shù)，則4曲+如兀2+坷$兀$_勺=°a2ix +a22x2+ + a2sxs -b2 =0< ?！鼻?%2*2+仏兀$_仇=0 邸,兀2°兀,/t&

13、gt;，= z(%內(nèi) + ai2x2 + + 兀x廠 bj t=lb = (b、,b2,byafax = a'b2證明記 7*3,兀2)= £(q兀i+q兀2)=(£q2)#+2(£qo)“2+(£；)球i=li=i=i=因?yàn)閷?duì)于任意xpx2,都有/（xpx2）0,故關(guān)于兀,兀2的二次型/（xpx2）是半正定的因而定理1知，該二次型矩陣的行列式人于或等于0,即nn/=! /=1故得（t）2（z2）xo）-/=!/=）i=i例4證明“£心茲2r=li=l證明記皿2,4:-（£兀）5亦，其中r=11=111 -1將矩陣a的第2,

14、3,n列分別加到第一列，再將第2, 3,，n行減去第1行,得° _1 . 一1a 0n 0、00n >于是4的特征值為0,仏/,出定理可知,4為半正定矩陣，即二次型是半正定的，從而得/（西,兀2,心）0,即n£x；述殆2r-1i-l結(jié)論得證.例5設(shè)ccg是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，證明對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,z,都有x2 + y2 + z2 > 2xy cos a + 2xz cos 0 + 2yz cos / 證明 f(x) = xfa x2 + y2 + z2 - 2xy cos a 一 2xz cos 0 2yz cos /，其屮 x = (x, y, z)： a

15、=-cos a-cos p-coscr -cos 01 -cos/-cos/ 1,a + 0 + y =龍,cos y = cos(a + 0)對(duì)人做初等行變換得：人1 -cos a0 sin a0 0-cos 0-sin 00,于是a的特征值為0, 1, sincr,從而得二次型/(x)是半正定的，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)/(x)>0,得證. 例6設(shè)a為階半正定矩陣，且ah0,證明|a + e|>1證明設(shè)a的全部特征值為&(心1,2,)，則a + e的全部特征值為& + 1 (心1,2,/)因?yàn)閍 + e為實(shí)對(duì)稱矩陣，所以存在正交矩陣7使得石+ 1a+e=t由于a為半正定矩陣，月.ah0,則a + e是半正定的，且其屮至少有一個(gè)九>0,同時(shí)至少有一個(gè)等于零故卜+日=巾仏