含字母系數(shù)的一元二次方程常見錯(cuò)解剖析

1、china og/含字母系數(shù)的一元二次方程常見錯(cuò)解剖析河北省灤平縣第二中學(xué)(068250)許志儒一元二次方程是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，然而很多同學(xué)由于受思維定勢的影 響，往往會忽視含冇字母系數(shù)的一元二次方程中的隱含條件,致使解答陷入誤區(qū)。 具體表現(xiàn)主要有以下幾方面：一、忽視二次項(xiàng)系數(shù)ao導(dǎo)致字母系數(shù)取值范圍擴(kuò)大例1.已知關(guān)于x的一元二次方程(a2-l)x2+2(a + 2)x + l = 0有實(shí)根，求a的 取值范圍。錯(cuò)解：因?yàn)榉匠逃袑?shí)根，所以$()即 4(a+ 2)2 -4(a2 -l)>0»wa>-4剖析：由一元二次方程的定義知：a2-10o而上述解題過程恰恰忽略了這一點(diǎn)，

2、正確解法應(yīng)為：依題意得：嚴(yán)一i"a = 4(a + 2)2-4(a2-l)>0解得口 bh±14(注：例1等價(jià)于：已知關(guān)于x的方程(a2-l)x2+2(a + 2)x + l = 0兩個(gè)實(shí) 數(shù)根，求a的取值范圍)二、忽視$()導(dǎo)致錯(cuò)解例2.已知：x、x?是方程x2 - (k - 2)x + k2 + 3k + 5 = 0的兩實(shí)根，求xj+x；的 最大值。錯(cuò)解：由根與系數(shù)的關(guān)系得：xj + x2 = k-2, x,x2 = k2 + 3k + 5所以 x： + x； =(x + x2)2 -2xjx2= (k-2)2 -2(k2 +3k + 5)= -k2-10k-6=

3、-(k + 5+19所以當(dāng)k = -5時(shí)，xj+x；有最大值19。剖析：當(dāng)k = -5時(shí)，原方程變?yōu)閤2+7x + 15 = 0,此時(shí)<(),方程無實(shí)根! 錯(cuò)因是忽略了$()這一重要前提，由于方程有叨實(shí)根，故$(), bu：-(k-2)2-4(k2+3k+5)>04解得一4 w k 5 3chinaoglii.com所以當(dāng)k = -4時(shí)，x： +x；有最大值18o三、忽視“方程有實(shí)根”的含義，導(dǎo)致字母系數(shù)取值范圍縮小例3.已知關(guān)于x的方程kx2-2(k + l)x + k-l = 0,當(dāng)k為何值時(shí),方程有實(shí)數(shù)根？錯(cuò)解：因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)根，所以()即-2(k + i)2 -4k(k-l

4、)>0解得k-丄，又因?yàn)閗ho3所以ka丄且kho3剖析：“方程有實(shí)根”在此題中應(yīng)理解為：方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根或有二個(gè)實(shí)數(shù) 根，故此題應(yīng)分一元一次方程與一元二次方程兩種情況討論。(1) 當(dāng)k=0時(shí)，原方程變?yōu)橐辉淮畏匠?2x = l,其實(shí)根為x = -,故2k可取0。(2) 當(dāng)kho時(shí)，原方程為一元二次方程，須滿足$(), h|jk>-l且kho,3綜合(1)、(2)矢山k>-o3四、忽視對一-元二次方程兩根的具體分析導(dǎo)致字母系數(shù)取值范圍擴(kuò)人例4.若二次方程x2-6x + 5-m = 0的兩實(shí)根都人于2,則m的取值范圍為錯(cuò)解：設(shè)方程兩實(shí)根為勒、x2,則x, >2, x2

5、>2所以 x|+x2>4, x,x2 > 4x, + x2 = 6 > 4依題意得v x1x2 = 5- m > 4a = 36 - 4(5 - m) > 0解得-4 s m v 1剖析：當(dāng)m=0時(shí)，原方程為x2 -6x + 5 = 0,其根為x=l, x2 = 5 ,顯然不 合題意，錯(cuò)因在于：由x)> 2 , hx2 > 2得x+x2>4, xtx2 >4成立；反z,由 x x2 >4則不一定有x >2且x? >2成立。正解：設(shè)方程的兩實(shí)根為右、x2,則x-20, x2 - 2 > 0a = 36-4(5-m

6、)>0依題意得(x|2)(x22)>0(x| 2) + (x2 - 2) > 0x + x? = 6, x,x2 = 5- mchina og/解得一4 5 m v 3例5.已知方程x2-ax+4-a2= 0的兩實(shí)根屮僅有一根為負(fù)數(shù)，求a的取值范圍。錯(cuò)解：設(shè)方程兩實(shí)根為x】、x2,因兩根中僅有一根為負(fù)數(shù)，故另一根為0或 正數(shù)，故有：xjx2 = -a2 +4 < 0解得a2或必-2剖析：當(dāng)x, > 0且xqvo時(shí)有x,x2 <0成立；反之當(dāng)xjx2 <0時(shí)則不能保證兩 根小必有一個(gè)為負(fù)數(shù)！x)+ x2 = a < 0 xjx2 = -a2 +4

7、=正確解法應(yīng)分兩種情況：(1)當(dāng) v 0, x2 = 0 時(shí),即 a = -2(2)當(dāng) xi<0, x?。時(shí)，wxjx2 = -a2 +4 < 0 解得a>2或av-2,綜合(1)、(2)知:五、忽視題目屮的隱含條件導(dǎo)致錯(cuò)解例6.已知a、b是方程x2+(k-l)x + k + l = 0的兩個(gè)根且a、b是某直角三角 形的兩條直角邊，其斜邊長等于1,求k的值。錯(cuò)解：因?yàn)閍、b是方程x2+(k-l)x + k + l = o的兩個(gè)根所以a + b = l-k, ab = k + l又由已知得:a2+b2 =1所以(a + b)2-2ab = l即 k? -4k-2 = 0解得k

8、= 2 ± v&剖析：由于a, b既是方程的兩根，又是直角三角形的兩直角邊，所以 a>0, b0,從而 a + b>0, abo,當(dāng) k = 2 +拆時(shí) a + b = 1 - k =-1 - v6 < 0 , 故k = 2 +拆不合題意，舍去。當(dāng) k = 2-v6 時(shí)，a + b=l-k = v6-l, ab 二 k + 1 二 3 亦0 ,故 k 的值為 2 - v6 o注：通過以上兒例錯(cuò)解剖析，提醒同學(xué)們在掌握一元二次方程右關(guān)基本知識、 基本技能和基本解題思路的同時(shí)，要注意挖掘題目屮的隱含條件，并對所解答案 進(jìn)行分析，并判斷其合理性，學(xué)會數(shù)學(xué)反思，同時(shí)要注重分類討論思想在解題屮 的合理運(yùn)用。(初三)101 遠(yuǎn)程教