平行四邊形的存在性問題(共7頁)

1、平行四邊形的存在性問題專題攻略解平行四邊形的存在性問題一般分三步：第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步畫圖，第三步計(jì)算難點(diǎn)在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)尋找的恰當(dāng)，可以使得解的個(gè)數(shù)不重復(fù)不遺漏，也可以使計(jì)算又好又快如果已知三個(gè)定點(diǎn)，探尋平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，符合條件的有3個(gè)點(diǎn)：以已知三個(gè)定點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，過每個(gè)點(diǎn)畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)交點(diǎn)如果已知兩個(gè)定點(diǎn)，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況靈活運(yùn)用向量和中心對稱的性質(zhì)，可以使得解題簡便針對訓(xùn)練1如圖，已知拋物線yx22x3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P若以A、C、P、M為頂點(diǎn)的四邊形是

2、平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo) 解析、由yx22x3(x3)(x1)(x1)24，得A（3，0），B（1，0），C（0，3），P（1，4）如圖，過PAC的三個(gè)頂點(diǎn)，分別作對邊的平行線，三條直線兩兩相交的三個(gè)交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)M因?yàn)锳M1/PC，AM1PC，那么沿PC方向平移點(diǎn)A可以得到點(diǎn)M1因?yàn)辄c(diǎn)P(1，4)先向下平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位可以與點(diǎn)C(0，3)重合，所以點(diǎn)A(3，0)先向下平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位就得到點(diǎn)M1(2，1)因?yàn)锳M2/CP，AM2CP，那么沿CP方向平移點(diǎn)A可以得到點(diǎn)M2因?yàn)辄c(diǎn)C(0，3)先向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位可以與點(diǎn)P(1，4)重合，所以點(diǎn)A

3、(3，0)先向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位就得到點(diǎn)M2(4，1)因?yàn)镻M3/AC，PM3AC，那么沿AC方向平移點(diǎn)P可以得到點(diǎn)M3因?yàn)辄c(diǎn)A(3，0)先向右平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位可以與點(diǎn)C(0，3)重合，所以點(diǎn)P(1，4)先向右平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位就得到點(diǎn)M3(2，7)2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線yx2+2x3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在這條拋物線上，點(diǎn)P在y軸上，如果以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo) 解析 由yx2+2x3(x1)(x3)，得A(1，0)，B(3，0) 如圖1，當(dāng)AB是平行四邊形的對角線時(shí)，PM與AB互相平分

4、，因此點(diǎn)M與點(diǎn)P關(guān)于AB 的中點(diǎn)（1，0）對稱，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2 當(dāng)x2時(shí)，y =x2+2x33此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，3) 如圖2，圖3，當(dāng)AB是平行四邊形的邊時(shí)，PM/AB，PMAB4 所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4或4 如圖2，當(dāng)x4時(shí)，y =x2+2x35此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，5) 如圖3，當(dāng)x4時(shí)，y =x2+2x321此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，21)第2題圖1 第2題圖2 第2題圖33將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2，如圖所示現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個(gè)單位長度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個(gè)單位長度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為

5、N，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為D、E在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時(shí)m的值；若不存在，請說明理由 解析、拋物線c1：與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(1，0)、(1，0)，頂點(diǎn)為 拋物線c1向左平移m個(gè)單位長度后，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為、，AB2拋物線c2在平移的過程中，與拋物線c1關(guān)于原點(diǎn)對稱所以四邊形AMEN是平行四邊形如果以點(diǎn)四邊形AMEN是矩形，那么AEMN所以O(shè)AOM而OM2m23，所以(1m)2m23解得m1（如圖） 第3題圖 另解探求矩形ANEM，也可以用幾何說理的方法：在等腰三角形ABM中，因?yàn)锳B2，AB邊上的高為，所以AB

6、M是等邊三角形 同理DEN是等邊三角形 當(dāng)四邊形ANEM是矩形時(shí)，B、D兩點(diǎn)重合 因?yàn)槠鹗嘉恢脮r(shí)BD2，所以平移的距離m1 4已知平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖），一次函數(shù)的圖像與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在正比例函數(shù)的圖像上，且MOMA二次函數(shù)yx2bxc的圖像經(jīng)過點(diǎn)A、M（1）求線段AM的長； （2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（3）如果點(diǎn)B在y軸上，且位于點(diǎn)A下方，點(diǎn)C在上述二次函數(shù)的圖像上，點(diǎn)D在一次函數(shù)的圖像上，且四邊形ABCD是菱形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)解析、（1）當(dāng)x0時(shí)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)，OA3 如圖1，因?yàn)镸OMA，所以點(diǎn)M在OA的垂直平分線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為 將代入，得x1所以點(diǎn)M的坐標(biāo)

7、為因此 （2）因?yàn)閽佄锞€yx2bxc經(jīng)過A(0，3)、M，所以 解得，所以二次函數(shù)的解析式為 （3）如圖2，設(shè)四邊形ABCD為菱形，過點(diǎn)A作AECD，垂足為E 在RtADE中，設(shè)AE4m，DE3m，那么AD5m 因此點(diǎn)C的坐標(biāo)可以表示為(4m，32m) 將點(diǎn)C(4m，32m)代入，得 解得或者m0（舍去） 因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2） 5如圖1，在RtABC中，C90°，AC6，BC8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD/BC，交AB于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)PQ點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一

8、點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t0）（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB_，PD_；（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由，并探究如何改變點(diǎn)Q的速度（勻速運(yùn)動(dòng)），使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度；（3）如圖2，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求出線段PQ的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長 解析（1）QB82t，PD （2）當(dāng)點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長度時(shí)，四邊形PDBQ不可能為菱形說理如下：在RtABC中，AC6，BC8，所以AB10 已知PD/BC，當(dāng)PQ/AB時(shí)，四邊形PDBQ為平行四邊形 所以，即解得 此時(shí)在RtCPQ中， 所

9、以， 因此BQBD所以四邊形PDBQ不是菱形 如圖1，作ABC的平分線交CA于P，過點(diǎn)P作PQ/AB交BC于Q，那么四邊形PDBQ是菱形 過點(diǎn)P作PEAB，垂足為E，那么BEBC8 在RtAPE中，所以 當(dāng)PQ/AB時(shí)，即解得 所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為 第5題圖1 （3）以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系 如圖2，當(dāng)t0時(shí)，PQ的中點(diǎn)就是AC的中點(diǎn)E(3，0) 如圖3，當(dāng)t4時(shí)，PQ的中點(diǎn)就是PB的中點(diǎn)F(1，4) 直線EF的解析式是y2x6 如圖4，PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)可以表示為（，t）經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)M（，t）在直線EF上 所以PQ的中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長就是線段EF的長，EF第5題圖2 第5題圖3 第5題圖4 另

10、解第（3）題求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑還有一種通用的方法是設(shè)二次函數(shù)：當(dāng)t2時(shí)，PQ的中點(diǎn)為(2，2) 設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑的解析式為yax2bxc，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)， 得 解得a0，b2，c6 所以點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑的解析式為y2x66如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，ABC的A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上已知|OA|OB|15，|OB|OC|，ABC的面積SABC15，拋物線yax2bxc(a0)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點(diǎn)B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG垂直于x軸于點(diǎn)G，再過點(diǎn)E

11、作EH垂直于x軸于點(diǎn)H，得到矩形EFGH則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí)，求出該正方形的邊長；（3）在拋物線上是否存在異于B、C的點(diǎn)M，使MBC中BC邊上的高為？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 解析 （1）設(shè)OA的長為m，那么OBOC5m 由ABC的面積SABC15，得m5 所以點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(1，0)、(5，0)、(0，5) 設(shè)拋物線的解析式為ya(x1) (x5)，代入點(diǎn)C(0，5)，得a1 所以拋物線的解析式為y(x1) (x5)x24 x5 （2）拋物線的對稱軸為直線x2，設(shè)點(diǎn)E在對稱軸右側(cè)，坐標(biāo)為(x，x24 x5) 如圖1，當(dāng)E在x軸上方時(shí)，E

12、F2(x2)，EHx24 x5 解方程2(x2)x24 x5，得或（舍去） 此時(shí)正方形的邊長為 如圖2，當(dāng)E在x軸下方時(shí)，EF2(x2)，EH(x24 x5) 解方程2(x2)(x24 x5)，得或（舍去） 此時(shí)正方形的邊長為第6題圖1 第6題圖2 第6題圖3（3）如圖3，因?yàn)辄c(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(5，0)、(0，5)，所以BC與x軸正半軸的夾角為45°過點(diǎn)B作BMBC，且使得BM過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N，那么BMN是等腰直角三角形在RtBMN中，斜邊BM，所以BNMN7因此點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，7)或(12，7)經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(2，7)在拋物線y(x1) (x5)上；點(diǎn)(12，7)不在

13、這條拋物線上所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2，7) 另解第（3）題也可以這樣思考：設(shè)拋物線上存在點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，x24 x5)由于BMN是等腰直角三角形，BNMN，所以5xx24 x5解得x2或x5（與點(diǎn)B重合，舍去） 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2，7)這種解法不需要分情況討論點(diǎn)M的位置，這是因?yàn)椋寒?dāng)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，方程為x5(x24 x5)，這個(gè)方程和點(diǎn)M在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)的方程是同一個(gè)方程7如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2bx3a經(jīng)過A(1,0)、B(0,3)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D（1）求該拋物線的解析式及點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；（2）經(jīng)過點(diǎn)B、D兩點(diǎn)的直線與x軸交于點(diǎn)E，若點(diǎn)F是拋物線

14、上一點(diǎn)，以A、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）如圖2，P（2，3）是拋物線上的點(diǎn)，Q是直線AP上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求APQ的最大面積和此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo) 圖1 圖2解析（1）拋物線的解析式為yx22x3，C(3,0)，頂點(diǎn)D(1,4) （2）如圖1，直線BD為yx3，E(3,0)過ABE的三個(gè)頂點(diǎn)，分別作對邊的平行線，三條直線兩兩相交，得到三個(gè)點(diǎn)F 點(diǎn)E(3,0)向左平移2個(gè)單位得到點(diǎn)A(1,0)，那么點(diǎn)B(0,3) 向左平移2個(gè)單位得到點(diǎn)F1(2,3)經(jīng)驗(yàn)證，F(xiàn)1(2,3)在拋物線上 F2不在拋物線上由B(0,3)先向下平移3個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位得到點(diǎn)E(3,0

15、)，那么點(diǎn)A(1,0) 先向下平移3個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位得到點(diǎn)F3(4,3)經(jīng)驗(yàn)證，F(xiàn)3(4,3)不在拋物線上 （3）如圖2，直線AP的解析式為yx1過點(diǎn)Q作y軸的平行線交AP于H設(shè)Q(x, x22x3)，那么H(x, x1)因此SAPQSAQHSPQH所以當(dāng)時(shí)，APQ的最大面積為此時(shí)Q第7題圖1 第7題圖28已知拋物線 的頂點(diǎn)為A，與x軸的交點(diǎn)為B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）（1)直接寫出拋物線對稱軸方程；（2）若拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且ABC為直角三角形，求a，b的值；（3）若D為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，則以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形能否為正方形？若能，請求出a，b滿足的關(guān)系式；若不能，說明理由

16、 解析（1）拋物線對稱軸是直線x2 （2）點(diǎn)B(0,0)關(guān)于對稱軸x2對稱的點(diǎn)C為(4,0)，設(shè)拋物線的解析式為yax(x4)當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，ABC為等腰直角三角形，ABAC，BAC90°所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2)或(2,2)將A(2,2)代入yax(x4)，得于是因此當(dāng)A(2,2)代入yax(x4)，得于是因此 （3）如果四邊形ABDC是正方形，那么A、D關(guān)于BC（x軸）對稱且ABC為等腰直角三角形由A(2,b)，得B(2b,0)、C(2b,0)于是可得拋物線的解析式為ya(x2b)(x2b)代入A(2,b)，得bab2所以9如圖，已知雙曲線與直線AB交于A、B兩點(diǎn)，與直線CD交于C、D兩點(diǎn)（1）求證四邊形ACBD是平行四邊形；（2）四邊形ACBD可能是矩形嗎？可能是正方形嗎？（3）如果點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m(m0)，四邊形ACBD的面積為S，求S與m的之間的關(guān)系式解析（1）因?yàn)锳、B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，C、D關(guān)于原點(diǎn)O對稱，所以O(shè)AOB，OCOD所以四邊形ACBD是平行四邊形 （2）如圖1，當(dāng)直線AB與直線CD關(guān)于直線yx對稱時(shí)，OAOBOCOD