(完整版)高中數(shù)列的常見解法)

1、數(shù)列解題方法一、基礎(chǔ)知識(shí)：數(shù)列的定義項(xiàng)數(shù)列數(shù)列的有關(guān)概念數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系項(xiàng)數(shù)通項(xiàng)等差數(shù)列等差數(shù)列的定義等差數(shù)列的通項(xiàng)等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)等比數(shù)列等比數(shù)列的定義等比數(shù)列的通項(xiàng)等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)數(shù)列：1數(shù)列、項(xiàng)的概念：按一定 次序 排列的一列數(shù)，叫做 數(shù)列 ，其中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng) 2數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)： 有序性 ； 確定性 ； 可重復(fù)性 3數(shù)列的表示 ：通常用字母加右下角標(biāo)表示數(shù)列的項(xiàng)，其中右下角標(biāo)

2、表示項(xiàng)的位置序號(hào)，因此數(shù)列的一般形式可以寫成 a1，a2，a3，an，（），簡(jiǎn)記作 an 其中 an是該數(shù)列的第 n 項(xiàng)，列表法、 圖象法、 符號(hào)法、 列舉法、 解析法、 公式法（通項(xiàng)公式、遞推公式、求和公式）都是表示數(shù)列的方法4數(shù)列的一般性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性 ；周期性 5數(shù)列的分類：按項(xiàng)的數(shù)量分： 有窮數(shù)列 、 無窮數(shù)列 ；按相鄰項(xiàng)的大小關(guān)系分：遞增數(shù)列 、遞減數(shù)列 、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列 、其他；按項(xiàng)的變

3、化規(guī)律分：等差數(shù)列、等比數(shù)列、其他；按項(xiàng)的變化范圍分：有界數(shù)列、無界數(shù)列項(xiàng) an-1（或前幾項(xiàng) an-1，an-2，）間關(guān)系可以用一個(gè)公式 an=f（a（或  an=f（aîSn - Sn-1 (n ³ 2)6數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列an的第 n 項(xiàng) an 與它的序號(hào) n 之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式 a n =f（n）（nN+或其有限子集1，2，3，n） 來表示，那么這個(gè)公式

4、叫做這個(gè)數(shù)列的 通項(xiàng)公式 數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中一個(gè)確定的數(shù)，是函數(shù)值，而序號(hào)是指數(shù)列中項(xiàng)的位置，是自變量的值由通項(xiàng)公式可知數(shù)列的圖象是 散點(diǎn)圖 ，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 項(xiàng)的序號(hào)值 ，縱坐標(biāo)是 各項(xiàng)的值 不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上未必唯一7數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列an的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng) an 與它的前一）（n=2，3，）n-1,a）(n=3，4，5，)，）來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列n-1n-2的 遞推公式 n8數(shù)列的求和公式：設(shè) S

5、n 表示數(shù)列an和前 n 項(xiàng)和，即 Sn= å a i =a1+a2+an，如果 Sn 與i=1項(xiàng)數(shù) n 之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式 Sn= f（n）（n=1，2，3，） 來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的 求和公式 9通項(xiàng)公式與求和公式的關(guān)系：ìS (n = 1)通項(xiàng)公式 an 與求和公式 Sn 的關(guān)系可表示為： an

6、60;=í 1等差數(shù)列與等比數(shù)列：等差數(shù)列等比數(shù)列文字定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的公比。符號(hào)定an+1- a = d                  an+1

7、 = q(q ¹ 0)n an類               遞減數(shù)列： d < 0義分遞增數(shù)列： d > 0常數(shù)數(shù)列： d = 00遞增數(shù)列： a > 0，q > 1或a < 0，< 

8、;q < 11 10遞減數(shù)列： a < 0，q < 1或a > 0，< q < 11 1擺動(dòng)數(shù)列： q < 0常數(shù)數(shù)列： q = 1通a = a + (n - 1)d = pn + q = a + (n -&

9、#160;m)dn 1 ma = a q n -1 = a q n - mn 1 m項(xiàng)其中 p = d , q = a - d1（q ¹ 0 ）S  =  n(a + a )2      &

10、#160;     2其中 p =  d2       2ï na    (q = 1)î前n項(xiàng)和中項(xiàng)n 1n(n - 1)d1 n = na +        = pn2 +&#

11、160;qnd, q = a -1a, b, c成等差的充要條件:2b = a + cì a (1- q n )ï 1 (q ¹ 1)S = í 1 - qn1a, b, c成等比的必要不充分條件： b2 = ac若 m + n 

12、= p + q 則  a   + a  = a  + a等和性：等差數(shù)列a nm n pq等積性：等比數(shù)列a n若 m + n = p + q 則 am × an = a p × aq推論：若 m +

13、 n = 2 p 則 a   + a  = 2a= 2 p 則 a  × a  = (a  )2主要m np推論：若 m + nm n p性質(zhì)an+k+ an-k= 2anan + k× an - k

14、= ( a ) 2nn-2  = ×××a + a = a + a1n2n-1= a + a3n-2 = ×××a × a = a × a1 n 2 n-1= a × a3- s  

15、; , ××× 等差，公差為其即：首尾顛倒相加，則和相等1、等差數(shù)列中連續(xù) m 項(xiàng)的和，組成的新數(shù)列是等差數(shù)列。即：s , s - s , sm 2 m m 3m 2 mm2d 則有 s3m = 3(s2m - sm )2、從等差數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列。即：首尾顛倒相乘，則積相等1、等比數(shù)列中連續(xù)項(xiàng)的和，組

16、成的新數(shù)列是等比數(shù)列。即： s , s - s , s - s , ××× 等m 2m m 3m 2m比，公比為 q m 。2、從等比數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列。如： a , a , a , a , ××× （下標(biāo)成等差數(shù)列）1&#

17、160;4 7 103、 a ,b 等比，則 a  ， a，等差，則 a  ， a，   ka 3、 a ,b也等比。其中 k ¹ 0它如： a , a , a , a , ××× （下標(biāo)成等差數(shù)列） n n 

18、2n 2n-11 4 7 10n n 2n 2n-1ka + b， pa + qb 也等差。n n n4、等差數(shù)列a 的通項(xiàng)公式是 n 的一次函 數(shù)，nn4、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式類似于 n 的指數(shù)函q即： S  = An  + Bn ( d ¹ 0 )數(shù)，即：&

19、#160;a = dn + c ( d ¹ 0 )n等差數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和公式是一個(gè)沒有常n數(shù)項(xiàng)的 n 的二次函數(shù)，2na即： a = cq n ，其中 c = 1n等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式是一個(gè)平移加振幅的 n 的指數(shù)函數(shù)，即： s = cq n - 

20、;c(q ¹ 1)n列是等比數(shù)列。5、項(xiàng)數(shù)為奇數(shù) 2n - 1的等差數(shù)列有：5、等比數(shù)列中連續(xù)相同項(xiàng)數(shù)的積組成的新數(shù)n - 1奇性s奇 =s偶ns - s = a = a偶 n 中s2n-1= (2n - 1)an項(xiàng)數(shù)為偶數(shù) 2n 的等差數(shù)列有：s奇 =s偶anan+1， s - s偶 奇= nd質(zhì)s =&#

21、160;n(a + a)2n nn+16、 a = m, a = n 則 an mm+n= 0s = s 則 snmm+n= 0(n ¹ m)s = m, s = n 則 snmm+n= -(m + n)n+1 = q(常數(shù))證明方法設(shè)元技巧證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的方法

22、：1、定義法： a - a = d (常數(shù))n+1 n2、中項(xiàng)法： a + a = 2a (n ³ 2)n-1 n+1 n三數(shù)等差： a - d , a, a + d四數(shù)等差： a - 3d , a - d , a + d

23、0;, a + 3d證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的方法：a1、定義法：an=22、中項(xiàng)法： a × a （a ）(n ³ 2, a ¹ 0)n-1 n+1 n n三數(shù)等比： a , a, aq或a, aq, aq 2q四數(shù)等比： a, aq, aq 2 , aq 3數(shù)列的項(xiàng)&

24、#160;a  與前 n 項(xiàng)和 S  的關(guān)系： a  = íîsn - sn-1(n ³ 2)聯(lián)系C1、若數(shù)列 a 是等差數(shù)列，則數(shù)列 an是等比數(shù)列，公比為 C d ，其中 C 是常數(shù)， d 是na 的公差。n2、若數(shù)列 a 是等比數(shù)列，且 a > 0

25、 ，則數(shù)列l(wèi)og a 是等差數(shù)列，公差為 log q ，其中n n a n aa 是常數(shù)且 a > 0, a ¹ 1 ， q 是 a 的公比。nìs (n = 1)1n n n數(shù)列求和的常用方法：1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。2、錯(cuò)項(xiàng)相減法：適用于差比數(shù)列（如

26、果an數(shù)列）等差， b 等比，那么a b 叫做差比n n n即把每一項(xiàng)都乘以 bn的公比 q ，向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。3、裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。ý （其中 an 等差）ïïì1üì1ü適用于數(shù)列 íý 和 íîþî an 

27、;× an+1 þï an + an+1 ïd   aaa  +   adnn+1可裂項(xiàng)為：1a × ann+11 1   1        1      1=  (  

28、-   ) ，          =  ( an+1n n+1- a )n等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的最值問題：1、若等差數(shù)列a的首項(xiàng) an 1> 0 ，公差 d < 0 ，則前 n 項(xiàng)和 S 有最大值。nî   

29、n+1  £ 0aì a ³ 0（）若已知通項(xiàng) a ，則 S 最大 Û ín；nn（）若已知 S = pn 2 + qn ，則當(dāng) n 取最靠近 -nq2 p的非零自然數(shù)時(shí) S 最大；n2、若等差數(shù)列an的首項(xiàng) a1< 0 ，公差 d >&

30、#160;0 ，則前 n 項(xiàng)和 S 有最小值n（）若已知通項(xiàng) a  ，則 S  最小 Û ína  ³ 0î   n+1nnì a £ 0；2 p已知 S  （即 a  + a  + L  

31、+ a  = f (n) ）求 a  ，用作差法： a  =  S1 - Sìï f (1),(n = 1)已知 a ga gL  ga  = f (n) 求 a  ，用作商法： a  = í,(&#

32、160;n ³ 2) 。ïî f (n - 1)（）若已知 S = pn 2 + qn ，則當(dāng) n 取最靠近 - q 的非零自然數(shù)時(shí) S 最?。籲n數(shù)列通項(xiàng)的求法：公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。S ,( n = 1)n12nnn,( n ³ 2) 。nn&

33、#160;-1f (n)12nnn已知條件中既有 S 還有 a ，有時(shí)先求 S ，再求 a ；有時(shí)也可直接求 a 。nnnnn若 an+1- a = f (n) 求 a 用累加法： a = (a - an n n nn-1) + (an-1- an-2) + L +&#

34、160;(a - a )2 1a×n -1 ×L  ×2 × a  (n ³ 2) 。aaa+a (n ³ 2) 。1已知 a n+1 = f (n) 求 a ，用累乘法： annn =a  a   

35、   ann -1 n -2 11已知遞推關(guān)系求 a ，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。n特別地，（1）形如 a = kann-1+ b 、 a = kann-1+ bn （ k , b 為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為 k 的等比數(shù)列后，再求 a ；形如 a = kann的遞推數(shù)列

36、都可以除以 k n得到一個(gè)等差數(shù)列后，再求 a 。na（2）形如 a =n-1的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。ka+ bnn-1n-1+ k n（3）形如 an+1= a k 的遞推數(shù)列都可以用對(duì)數(shù)法求通項(xiàng)。n（8）遇到 an+1- an-1= d或aan+1 = q 時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可能是分段形式n-1   1= 1 -  

37、 1；       = 1 (1 - 1   ) ；數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式。（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前n 和公式的推導(dǎo)方法）.（4）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)

38、是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前n 和公式的推導(dǎo)方法）.（5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：1n(n + 1)nn + 1n(n + k )k nn + k-=<<=-1    1    1  1   &

39、#160;1 1   1      1     1     1      1   1<      = (    -    ) ， &#

40、160;                                  ；k 2 k 2 - 1  2 k - 1 k + 1

41、 k  k + 1  (k + 1)k  k 2 (k - 1)k  k - 1  k=-1       1   1         1 n    1

42、    1=       -           ；                 ；n(n + 1)(n + 2)  2 n(n

43、0;+ 1) (n + 1)(n + 2)     (n + 1)!  n! (n + 1)!<  1  <       = 2(   n -   n - 1) 2( n

44、0;+ 1 - n ) =2 2n + n + 1   n   n + n - 1二、解題方法：求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法：1、公式法2、 由Sn求an（n = 1時(shí)，a = S ，n ³ 2 時(shí)，a = S - S11nn3、求差（商）法n-1）滿足 

45、;1 aa   +  +2    2           2               < 1 >1  +如：an1      

46、;     12 2 n na = 2n + 521n ³ 2時(shí)，a  +a   +  +î2 n+1  (n ³ 2)= 1時(shí)，解： n1 a = 2 ´ 1 + 5，a = 141111

47、a212 222 n-1n-11< 1 > - < 2 > 得：a = 22 nna = 2 n+1nì14 (n = 1)a = ín練習(xí)= 2n - 1 + 5< 2 >n+1  =  5數(shù)列an滿足Sn+ Sa3

48、60;n+1，a = 4，求a1n4、疊乘法a例如：數(shù)列 a 中，a = 3， a n+1 =n1nnn + 1，求an解：aa2 ·1aa      a 1  2     n - 1         13 &

49、#160;n  =  ·     ， n =a a 2   3      n      a n2 n-1 1又a = 3，a =1n3n5、等差型遞推公式由a - ann-1= f (n) ，a

50、60;= a ，求a ，用迭加法1 0 nïý兩邊相加，得：a   - a   = f (3) ïn ³ 2時(shí)，a - a = f (2)ü2132 ïa - ann-1= f (n) ïþa - a =

51、60;f (2) + f (3) +  + f (n)n1a = a + f (2) + f (3) +  + f (n)n0練習(xí)數(shù)列 an，a1= 1，a = 3n-1 + ann-1(n ³ 2)，求an6、等比型遞推公式a = cann-1  

52、                + d (c、d為常數(shù)，c ¹ 0，c ¹ 1，d ¹ 0)可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè) a + x = c(ann-1+ x)Þ a = cann-1+ (c - 1)x&#

53、160;ía   +    d   ü是首項(xiàng)為a  +    ，c為公比的等比數(shù)列c - 1þ          c - 1ýîa   +    d= ç

54、60;a  +   ÷ ·c n-1c - 1  è1c - 1ø令 (c - 1)x = d，x =dc - 1ìdn1æd öna   = ç a  +ænè1d ö÷c

55、60;- 1øc n-1 -dc - 1練習(xí)數(shù)列 an滿足a1= 9 ， 3an+1+ a = 4 ，求ann7、倒數(shù)法例如：a = 1，a1n+1 =2ana + 2n，求an由已知得：      a   + 2a2a1n+1 n= n1  1=  

56、;+2  an1an+1- 1an=12í  ý為等差數(shù)列，  = 1，公差為î a n þì 1 ü11a21 1an1 = 1 + (n - 1)·   1 (n + 1)2  2a =n2n + 1數(shù)列前 

57、;n 項(xiàng)和的常用方法：1、公式法：等差、等比前 n 項(xiàng)和公式2、裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng)。如：ann是公差為d的等差數(shù)列，求 åk =11a ak k +1a  ·aa (a   + d) d è aaå           &#

58、160;  ök =1  k  k +1    k=1      k     k+1  ø=  êç  -  ÷ +ç  -  ÷ +  +

59、 ç  -   ÷úd ëè aøûn+1  ø1=11 ç 1  -   1  ÷解： 由=æö (d ¹ 0)kk +1kkkk +1 ønn-a ad è 

60、;aaæ 11 éæ 11 öæ 11 ö1 öùa øè aa øè aa1223nn+11 æ 11 ö=ç-÷d è aa1+        +  +練習(xí)求和：1 +1      1                  11 + 2  1 + 2 + 3