2017-2018學(xué)年人教A版選修1-1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案

1、24.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的定義提出問題如圖，我們?cè)诤诎迳袭嬕粭l直線EF，然后取一個(gè)三角板，將一條拉鏈AB固定在三角板的一條直角邊上，并將拉鏈下邊一半的一端固定在C點(diǎn)，將三角板的另一條直角邊貼在直線EF上，在拉鎖D處放置一支粉筆，上下拖動(dòng)三角板，粉筆會(huì)畫出一條曲線問題1：|DA|是點(diǎn)D到直線EF的距離嗎？為什么？提示：是AB是直角三角形的一條直角邊問題2：點(diǎn)D在移動(dòng)過程中，滿足什么條件？提示：|DA|DC|.問題3：畫出的曲線是什么形狀？提示：拋物線導(dǎo)入新知拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線

2、化解疑難對(duì)拋物線定義的認(rèn)識(shí)(1)定義的實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為“一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)為M；一個(gè)定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)；一條定直線l，叫做拋物線的準(zhǔn)線；一個(gè)定值，即點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離和它到直線l的距離之比等于1.(2)注意定點(diǎn)F不在直線l上，否則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不是拋物線，而是過點(diǎn)F垂直于直線l的一條直線拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程提出問題平面直角坐標(biāo)系中，有以下點(diǎn)和直線：A(1,0)，B(2,0)；l1：x1，l2：x2.問題1：到定點(diǎn)A和定直線l1距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么？對(duì)應(yīng)方程是什么？提示：拋物線；y24x.問題2：到定點(diǎn)B和定直線l2距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是什么？提示：y28x.導(dǎo)入新知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式

3、圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y化解疑難1標(biāo)準(zhǔn)方程特征：等號(hào)一邊是某個(gè)變量的平方，等號(hào)的另一邊是另一變量的一次項(xiàng)2標(biāo)準(zhǔn)方程中p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p的值永遠(yuǎn)大于零3四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)分：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)變量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，開口方向由一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)確定當(dāng)系數(shù)為正時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的正方向；當(dāng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的負(fù)方向.求拋物線的焦點(diǎn)及準(zhǔn)線例1求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1)y214x；(2)5x22y0；(3)y2ax(a0)解(1)因?yàn)閜7，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x.(2)拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x2y，

4、因?yàn)閜，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是y.(3)由a0知p，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x.類題通法已知拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程時(shí)，一般先將所給方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，由標(biāo)準(zhǔn)方程得到參數(shù)p，從而得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程需注意p0，焦點(diǎn)所在軸由標(biāo)準(zhǔn)方程一次項(xiàng)確定，系數(shù)為正，焦點(diǎn)在正半軸；系數(shù)為負(fù)，焦點(diǎn)在負(fù)半軸活學(xué)活用求拋物線yax2(a0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程解：把拋物線方程yax2化成標(biāo)準(zhǔn)方程x2y.當(dāng)a0時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是y；當(dāng)a0時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是y.綜上知，所求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)過點(diǎn)M(6,6)；(2)焦

5、點(diǎn)F在直線l：3x2y60上解(1)由于點(diǎn)M(6,6)在第二象限，過M的拋物線開口向左或開口向上若拋物線開口向左，焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其方程為y22px(p0)，將點(diǎn)M(6,6)代入，可得362p×(6)，p3.拋物線的方程為y26x.若拋物線開口向上，焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其方程為x22py(p0)，將點(diǎn)M(6,6)代入可得，362p×6，p3，拋物線的方程為x26y.綜上所述，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y26x或x26y.(2)直線l與x軸的交點(diǎn)為(2,0)，拋物線的焦點(diǎn)是F(2,0)，2，p4，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y28x.直線l與y軸的交點(diǎn)為(0，3)，即拋物線的焦點(diǎn)是F(0，3)，3

6、，p6，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x212y.綜上所述，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y28x或x212y.類題通法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵與方法(1)關(guān)鍵：確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，進(jìn)而求方程的有關(guān)參數(shù)(2)方法：直接法，建立恰當(dāng)坐標(biāo)系，利用拋物線的定義列出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，列出對(duì)應(yīng)方程，化簡方程；直接根據(jù)定義求p，最后寫標(biāo)準(zhǔn)方程；利用待定系數(shù)法設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，找有關(guān)的方程組求系數(shù)活學(xué)活用根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)準(zhǔn)線方程為y1；(2)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是3.(1)由準(zhǔn)線方程為y1知拋物線焦點(diǎn)在y軸正半軸上，且1，則p2.故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y.(2)設(shè)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上的

7、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線為x，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是p3，因此所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y26x.利用拋物線定義求軌跡方程例3平面上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比P到y(tǒng)軸的距離大1，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程解法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則有|x|1.兩邊平方并化簡，得y22x2|x|.y2點(diǎn)P的軌跡方程為y24x(x0)或y0(x0)法二：由題意，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，由于點(diǎn)F(1,0)到y(tǒng)軸的距離為1，故當(dāng)x0時(shí)，直線y0上的點(diǎn)符合條件；當(dāng)x0時(shí)，題中條件等價(jià)于點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)與到直線x1的距離相等，故點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線x

8、1為準(zhǔn)線的拋物線，方程為y24x.故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y24x(x0)或y0(x0)類題通法求軌跡方程一般有兩種方法：一是直接法，根據(jù)題意直接列方程確定點(diǎn)P的軌跡方程；二是定義法，利用拋物線的定義確定軌跡的一部分為拋物線，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)寫出方程活學(xué)活用已知圓A：(x2)2y21與定直線l：x1，且動(dòng)圓P和圓A外切并與直線l相切，求動(dòng)圓的圓心P的軌跡方程解：法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由條件知|AP|r1(r為圓P的半徑)，即|x1|1，化簡，整理得y28x.點(diǎn)P的軌跡方程為y28x.法二：如圖所示，作PK垂直于直線x1，垂足為K，作PQ垂直于直線x2，垂足為Q，則|KQ|1，|PQ

9、|r1.又|AP|r1，|AP|PQ|，故點(diǎn)P到圓心A(2,0)的距離和定直線x2的距離相等，點(diǎn)P的軌跡為拋物線，A(2,0)為焦點(diǎn)，直線x2為準(zhǔn)線2，p4.點(diǎn)P的軌跡方程為y28x.典例已知拋物線y22x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)解如圖，作PNl于N(l為準(zhǔn)線)，作ABl于B，則|PA|PF|PA|PN|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)P為AB與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取等號(hào)(|PA|PF|)min|AB|3.此時(shí)yP2，代入拋物線得xP2，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)多維探究(1)若已知拋物線上點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離(或與此有關(guān))，往往轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P

10、到準(zhǔn)線的距離，其步驟是：過P作PN垂直于準(zhǔn)線l，垂足N；連接PF；|PF|(焦點(diǎn)在x軸正半軸上時(shí))(2)上例中，求|PA|PF|的最小值時(shí)，結(jié)合圖形，根據(jù)平面幾何知識(shí)判斷|PA|PF|PA|PN|AB|.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想1若點(diǎn)P是拋物線y22x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值解：由拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于它到焦點(diǎn)的距離由圖可知，P點(diǎn)，(0,2)點(diǎn)，和拋物線的焦點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)距離之和最小，所以最小距離d .2若點(diǎn)P是拋物線y22x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線3x4y0的距離與P到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值解：如圖|PA|PQ

11、|PA|PF|AF|min.AF的最小值為F到直線3x4y0的距離d1.3若長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y22x上移動(dòng)，M為AB的中點(diǎn)，求M點(diǎn)到y(tǒng)軸的最短距離解：設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F，連接AF，BF，如圖拋物線y22x的準(zhǔn)線為l：x，過A，B，M分別作AA，BB，MM垂直于l，垂足分別為A，B，M.由拋物線定義，知|AA|FA|，|BB|FB|.又M為AB中點(diǎn)，由梯形中位線定理，得|MM|(|AA|BB|)(|FA|FB|)|AB|×3.則x1(x為M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)且僅當(dāng)AB過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)取得等號(hào))，所以xmin1，即M點(diǎn)到y(tǒng)軸的最短距離為1.類題通法解決此類問題通過回歸拋物線定

12、義和運(yùn)用平面幾何知識(shí)中的兩點(diǎn)之間線段最短、三角形中三邊之間的不等關(guān)系、點(diǎn)與直線上點(diǎn)的連線中垂線段最短等，使問題化難為易隨堂即時(shí)演練1焦點(diǎn)是F(0,5)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ay220xBx220yCy2x Dx2y解析：選B由5得p10，且焦點(diǎn)在y軸正半軸上，故方程形式為x22py，所以x220y.2設(shè)拋物線y28x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是()A4 B6C8 D12解析：選B由拋物線的方程得2，再根據(jù)拋物線的定義，可知所求距離為426.3若雙曲線1的右焦點(diǎn)與拋物線y212x的焦點(diǎn)重合，則m_.解析：拋物線焦點(diǎn)為(3,0)，3且m0，則m6.答案：64焦點(diǎn)為F的拋

13、物線y22px(p0)上一點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為N，若|MN|p，則|FN|_.解析：由條件知|MF|MN|p，MFMN，在MNF中，F(xiàn)MN90°，得|FN|p.答案：p5若拋物線y22px(p0)上有一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為9，它到焦點(diǎn)的距離為10，求點(diǎn)M的坐標(biāo)解：由拋物線方程y22px(p0)，得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F，準(zhǔn)線方程為x，設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d，則d|MF|10，即(9)10，因此p2.故拋物線的方程為y24x.將M(9，y)代入拋物線方程，得y±6.故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(9,6)或(9，6)課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)(4,4)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ay24xB

14、x24yCy24x或x24yDy24x或x24y解析：選C設(shè)拋物線方程為y22p1x或x22p2y，把(4,4)代入得168p1或168p2，即p12或p22.故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x或x24y.2已知點(diǎn)P(8，a)在拋物線y24px上，且點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為10，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A2B4C8 D16解析：選B準(zhǔn)線方程為xp，8p10，p2.焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2p4.3已知拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線與圓(x3)2y216相切，則p的值為()A. B1C2 D4解析：選C拋物線y22px的準(zhǔn)線x與圓(x3)2y216相切，1，即p2.4設(shè)圓C與圓x2(y3)21外切，與直線y0相切

15、，則C的圓心軌跡為()A拋物線 B雙曲線C橢圓 D圓解析：選A由題意知，圓C的圓心到點(diǎn)(0,3)的距離比到直線y0的距離大1，即圓C的圓心到點(diǎn)(0,3)的距離與到直線y1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義可知，所求軌跡是一條拋物線5已知點(diǎn)P在拋物線y24x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2，1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A. B.C(1,2) D(1，2)解析：選A點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線距離，如圖，|PF|PQ|PS|PQ|，故最小值在S，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)取得，此時(shí)P，Q的縱坐標(biāo)都是1，故點(diǎn)P坐標(biāo)為.二、填空題6拋物線xy2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_解析：方程改寫成y24

16、mx，得2p4m，p2m，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為(m,0)答案：(m,0)7已知拋物線y22px(p0)上一點(diǎn)M(1，m)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線x21的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，則實(shí)數(shù)a_.解析：根據(jù)拋物線的定義得15，p8.不妨取M(1,4)，則AM的斜率為2，由已知得×21，故a.答案：8對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線，給出下列條件：焦點(diǎn)在y軸上；焦點(diǎn)在x軸上；拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)其中滿足拋物線方程為y210x的是_(要求填寫適合條件的序號(hào))解析：拋物線y210x的焦點(diǎn)在x軸上，滿足，不滿足；設(shè)M(1，y

17、0)是y210x上一點(diǎn)，則|MF|116，所以不滿足；由于拋物線y210x的焦點(diǎn)為，過該焦點(diǎn)的直線方程為yk，若由原點(diǎn)向該直線作垂線，垂足為(2,1)時(shí)，則k2，此時(shí)存在，所以滿足答案：三、解答題9已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn)M(m，3)到焦點(diǎn)的距離為5，求m的值、拋物線方程和準(zhǔn)線方程解：法一：如圖所示，設(shè)拋物線的方程為x22py(p0)，則焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線l：y.作MNl，垂足為N，則|MN|MF|5，而|MN|3，35，即p4.所以拋物線方程為x28y，準(zhǔn)線方程為y2.由m28×(3)24，得m±2.法二：設(shè)所求拋物線方程為x22py(p0)，則焦點(diǎn)為F.M(m，3)在拋物線上，且|MF|5，故解得拋物線方程為x28y，m±2，準(zhǔn)線方程為y2.10如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由長方形的三條邊和拋物線的