安徽省長豐縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高中數(shù)學(xué)二教案：3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。2 直線的方程3。2。1 直線的點(diǎn)斜式方程整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析直線方程的點(diǎn)斜式給出了根據(jù)已知一個(gè)點(diǎn)和斜率求直線方程的方法和途徑 .在求直線的方程中，直線方程的點(diǎn)斜式是基本的，直線方程的斜截式、兩點(diǎn)式都是由點(diǎn)斜式推出的.從一次函數(shù)y=kxb(k 0) 引入，自然地過渡到本節(jié)課想要解決的問題-求直線的方程問題。在引入過程中，要讓學(xué)生弄清直線與方程的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，理解研究直線可以從研究方程及方程的特征入手.在推導(dǎo)直線方程的點(diǎn)斜式時(shí)，根據(jù)直線這一結(jié)論，先猜想確定一條直線的條件，再根據(jù)猜想得到的條件求出直線的方程。三維目標(biāo)1.掌握由一點(diǎn)和斜率導(dǎo)出直線方程的方法,掌握直線的點(diǎn)斜式

2、方程，了解直線方程的斜截式是點(diǎn)斜式的特例;培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和相互合作意識(shí)，注意學(xué)生語言表述能力的訓(xùn)練.2.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直線這一結(jié)論探討確定一條直線的條件，并會(huì)利用探討出的條件求出直線的方程.培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的數(shù)學(xué)精神 .3.掌握直線方程的點(diǎn)斜式的特征及適用范圍,培養(yǎng)和提高學(xué)生聯(lián)系、對(duì)應(yīng)、轉(zhuǎn)化等辯證思維能力.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直線這一結(jié)論探討確定一條直線的條件,并學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精會(huì)利用探討出的條件求出直線的方程。教學(xué)難點(diǎn) :在理解的基礎(chǔ)上掌握直線方程的點(diǎn)斜式的特征及適用范圍.課時(shí)安排1 課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路 1。方程 y=kxb 與直線 l 之間存在

3、著什么樣的關(guān)系？讓學(xué)生邊回答，教師邊適當(dāng)板書。它們之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,即（1）直線 l 上任意一點(diǎn) p(x1,y1）的坐標(biāo)是方程 y=kxb 的解.（2)(x1，y1)是方程 y=kx+b 的解點(diǎn) p（x1,y1）在直線 l 上.這樣好像直線能用方程表示,這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)、研究這個(gè)問題直線的方程（宣布課題）.思路 2。在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一次函數(shù),并接觸過一次函數(shù)的圖象，現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們作一下回顧：一次函數(shù) y=kx+b 的圖象是一條直線， 它是以滿足 y=kx+b 的每一對(duì) x、y 的值為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的。由于函數(shù)式y(tǒng)=kx+b 也可以看作二元一次方程 ,所以我們可以說，這個(gè)方程的解和直

4、線上的點(diǎn)也存在這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系 .這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)直線的方程（宣布課題）.推進(jìn)新課新知探究提出問題如果把直線當(dāng)做結(jié)論,那么確定一條直線需要幾個(gè)條件？如何根學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精據(jù)所給條件求出直線的方程？已知直線 l 的斜率 k 且 l 經(jīng)過點(diǎn) p1(x1，y1)，如何求直線 l 的方程?方程導(dǎo)出的條件是什么？若直線的斜率 k 不存在，則直線方程怎樣表示？ k=11xxyy與 y-y1=k(x-x1）表示同一直線嗎？已知直線 l 的斜率 k 且 l 經(jīng)過點(diǎn)（，） ,如何求直線 l 的方程 ?討論結(jié)果 :確定一條直線需要兩個(gè)條件：a。確定一條直線只需知道k、b 即可；b。確定一條直線只需知道直

5、線l 上兩個(gè)不同的已知點(diǎn) .設(shè) p(x，y)為 l 上任意一點(diǎn)，由經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式,得k=11xxyy,化簡，得 yy1=k(xx1).方程導(dǎo)出的條件是直線l 的斜率 k 存在。 a.x=0 ；b.x=x1。啟發(fā)學(xué)生回答：方程k=11xxyy表示的直線 l 缺少一個(gè)點(diǎn) p1（x1,y1)，而方程 yy1=k(xx1)表示的直線 l 才是整條直線。 y=kx+b.應(yīng)用示例思路 1例 1 一條直線經(jīng)過點(diǎn) p1（-2，3)，傾斜角 =45 , 求這條直線方程，并畫出圖形 .學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精圖 1解：這條直線經(jīng)過點(diǎn) p1（-2,3), 斜率是 k=tan45 =1. 代入點(diǎn)斜式方程,

6、得 y3=x+2,即 x-y+5=0,這就是所求的直線方程，圖形如圖1 所示。點(diǎn)評(píng):此例是點(diǎn)斜式方程的直接運(yùn)用,要求學(xué)生熟練掌握， 并具備一定的作圖能力。變式訓(xùn)練求直線 y=-3(x-2)繞點(diǎn)（ 2,0）按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30所得的直線方程。解：設(shè)直線 y=-3(x-2)的傾斜角為 , 則 tan =3,又0 ,180 ) ， =120 。所求的直線的傾斜角為120 30 =90。直線方程為 x=2.例 2 如果設(shè)兩條直線 l1和 l2的方程分別是 l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，試討論：(1)當(dāng) l1l2時(shí),兩條直線在 y 軸上的截距明顯不同，但哪些量是相等的？為什么？（2）l

7、1l2的條件是什么？活動(dòng):學(xué)生思考：如果 1=2， 則 tan 1=tan 2一定成立嗎 ?何時(shí)不成立？由此可知： 如果 l1l2,當(dāng)其中一條直線的斜率不存在時(shí)，則另一條直學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精線的斜率必定不存在 .反之，問 :如果 b1b2且 k1=k2,則 l1與 l2的位置關(guān)系是怎樣的？由學(xué)生回答，重點(diǎn)說明1=2得出 tan 1=tan 2的依據(jù)。解： （1)當(dāng)直線 l1與 l2有斜截式方程 l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2時(shí)，直線 l1l2k1=k2且 b1b2.(2）l1l2k1k2=1。變式訓(xùn)練判斷下列直線的位置關(guān)系：（1）l1:y=21x+3，l2:y=21x2

8、；（2)l1：y=35x,l2:y=-53x.答案： (1）平行； （2)垂直.思路 2例 1 已知直線 l1：y=4x 和點(diǎn) p（6，4） ，過點(diǎn) p 引一直線 l 與 l1交于點(diǎn) q，與 x 軸正半軸交于點(diǎn)r,當(dāng) oqr的面積最小時(shí)，求直線l的方程。活動(dòng):因?yàn)橹本€ l 過定點(diǎn) p（6,4), 所以只要求出點(diǎn)q 的坐標(biāo)，就能由直線方程的兩點(diǎn)式寫出直線l 的方程 .解：因?yàn)檫^點(diǎn) p（6，4）的直線方程為x=6 和 y4=k（x6),當(dāng) l 的方程為 x=6 時(shí)， oqr 的面積為 s=72；當(dāng) l 的方程為 y4=k（x6)時(shí),有 r(kk46，0） ，q（kk46，41624kk） ，此時(shí)

9、oqr 的面積為 s=21kk4641624kk=)4()23(82kkk。變形為（ s72）k2（964s)k 32=0(s 72）。因?yàn)樯鲜龇匠谈呐袆e式 0，所以得 s 40。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精當(dāng)且僅當(dāng) k=1時(shí)，s有最小值 40.因此，直線 l 的方程為 y4=（x6)，即 xy10=0.點(diǎn)評(píng)： 本例是一道有關(guān)函數(shù)最值的綜合題.如何恰當(dāng)選取自變量，建立面積函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵。怎樣求這個(gè)面積函數(shù)的最值，學(xué)生可能有困難 ,教師宜根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行啟發(fā)和指導(dǎo)。變式訓(xùn)練如圖 2，要在土地abcde 上劃出一塊長方形地面（不改變方向） ，問如何設(shè)計(jì)才能使占地面積最大？并求出最大面積

10、(精確到1 m2） （單位： m） 。圖 2解:建立如圖直角坐標(biāo)系，在線段ab 上任取一點(diǎn) p 分別向 cd、de作垂線，劃得一矩形土地. ab方程為2030 xx=1，則設(shè) p（x,20-32x)（ 0 x 30),則 s矩形=(100-x）80-（20-32x） =32(x-5)2+6 000+350(0 x 30),當(dāng) x=5 時(shí)，y=350,即 p(5，350)時(shí),(s矩形)max=6 017（m2） 。例 2 設(shè) abc的頂點(diǎn) a(1,3） ，邊 ab、ac 上的中線所在直線的方程分別為 x2y1=0，y=1，求 abc 中 ab、ac 各邊所在直線的方程?；顒?dòng):為了搞清abc 中各

11、有關(guān)元素的位置狀況， 我們首先根據(jù)已知學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精條件,畫出簡圖 3，幫助思考問題 .解：如圖 3,設(shè) ac 的中點(diǎn)為 f，ac 邊上的中線 bf：y=1。圖 3ab 邊的中點(diǎn)為 e，ab 邊上中線ce：x2y1=0.設(shè) c 點(diǎn)坐標(biāo)為 (m,n）,則 f（23,21 nm） 。又 f 在 ac 中線上，則23n=1， n=-1。又 c 點(diǎn)在中線 ce 上，應(yīng)當(dāng)滿足 ce 的方程，則 m2n1=0。 m=3。c 點(diǎn)為（ 3，1).設(shè) b 點(diǎn)為(a,1 ） ，則 ab 中點(diǎn) e（213,21a)，即 e（21a,2）.又 e 在 ab 中線上，則21a-4+1=0。 a=5。b 點(diǎn)為

12、（ 5，1).由兩點(diǎn)式，得到ab,ac 所在直線的方程ac:xy2=0,ab：x2y7=0。點(diǎn)評(píng)： 此題思路較為復(fù)雜，應(yīng)使同學(xué)們做完后從中領(lǐng)悟到兩點(diǎn)：(1)中點(diǎn)分式要靈活應(yīng)用；（2）如果一個(gè)點(diǎn)在直線上,則這點(diǎn)的坐標(biāo)滿足這條直線的方程，這一觀念必須牢牢地樹立起來。變式訓(xùn)練學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精已知點(diǎn) m（1， 0） ，n(1，0）,點(diǎn) p為直線 2x-y1=0 上的動(dòng)點(diǎn)，則 |pm|2+|pn|2的最小值為何 ?解：p 點(diǎn)在直線 2x-y-1=0 上，設(shè) p（x0，2x01）. |pm2+pn|2=10(x0-52)2+512512。最小值為512。知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí) 1、 .拓展提升已知直線 y=kxk2 與以 a（0，3） 、b(3,0）為端點(diǎn)的線段相交，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍 .圖 4活動(dòng)： 此題要首先畫出圖形4， 幫助我們找尋思路 ,仔細(xì)研究直線 y=kxk2，我們發(fā)現(xiàn)它可以變?yōu)閥2=k(x1)，這就可以看出，這是過(1，2)點(diǎn)的一組直線。設(shè)這個(gè)定點(diǎn)為p(1，2).解：我們設(shè) pa 的傾斜角為 1，pc的傾斜角為 ,pb 的傾斜角為 2，且 12.則 k1=