權(quán)向量最簡(jiǎn)單的求法

1、層次分析方法李萬(wàn)祥主講層次分析法是一種多準(zhǔn)則思維的方法，它將左性分析和定量分析相結(jié)合,把人們的思維 過程層次化和數(shù)量化，在目標(biāo)結(jié)構(gòu)復(fù)雜且缺乏必要的數(shù)據(jù)情況下尤為實(shí)用。自70年代美國(guó) 運(yùn)籌學(xué)家Saaty T.L.提出以來(lái)，此方法在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)展很快。過去的物理是建立在純化的實(shí)驗(yàn)和理想化的模型的基礎(chǔ)上，去分析和探索物質(zhì)世界最 基本的規(guī)律?，F(xiàn)代物理則開始呈現(xiàn)出一種研究復(fù)雜性現(xiàn)象的趨勢(shì)，除了把物理知識(shí)應(yīng)用到英 它更復(fù)雜的科學(xué)領(lǐng)域，建立象量子化學(xué)、生物物理、量子生物學(xué)等交叉學(xué)科之外，在物理領(lǐng) 域的本身也一反過去研究理想模型的慣例，開始向非理想、不規(guī)則的復(fù)雜現(xiàn)象進(jìn)軍。非晶態(tài)、 無(wú)序、混沌、多體等問題正在吸

2、引許多物理學(xué)家的注意。對(duì)這些復(fù)雜問題，傳統(tǒng)的純定量分 析方法越來(lái)越變得軟弱無(wú)力，需要借助于立性分析的方法來(lái)整體考慮。因此，層次分析方法 也許會(huì)給我們提供幫助。問題1某工廠在擴(kuò)大企業(yè)自主權(quán)后，廠領(lǐng)導(dǎo)正在考慮如何合理地使用企業(yè)留成的利潤(rùn)。在決策 時(shí)需要考慮的因素主要有(1) 調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)生產(chǎn)積極性；(2) 提高職工文化水平；(3) 改善職工物質(zhì)文化生活狀況。請(qǐng)你對(duì)這些因素的重要性進(jìn)行排序，以供廠領(lǐng)導(dǎo)作參考。分析和試探求解這個(gè)問題涉及到多個(gè)因素的綜合比較。由于不存在左量的指標(biāo)，單憑個(gè)人的主觀判斷 雖然可以比較兩個(gè)因素的相對(duì)優(yōu)劣，但往往很難給出一個(gè)比較客觀的多因素優(yōu)劣次序。為了 解決這個(gè)問題，我們能不

3、能把復(fù)雜的多因素綜合比較問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的兩因素相對(duì)比較問題 呢？運(yùn)籌學(xué)家想出了一個(gè)好辦法:首先找出所有兩兩比較的結(jié)果,并且把它們立量化;然后再 運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法從所有兩兩相對(duì)比較的結(jié)果之中求出多因素綜合比較的結(jié)果。具體操作 過程如下：1)進(jìn)行兩兩相對(duì)比較，并把比較的結(jié)果左量化。首先我們把各個(gè)因素標(biāo)記為B：調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)生產(chǎn)積極性：厲：提高職工文化水平; B：*:改善職工物質(zhì)文化生活狀況。根拯心理學(xué)的研究，在進(jìn)行左性的成對(duì)比較時(shí)，人們頭腦中 通常有5種明顯的等級(jí):相同、稍強(qiáng)、強(qiáng)、明顯強(qiáng)、絕對(duì)強(qiáng)。因此我們可以按照下表用尺度來(lái)左量化匚定性結(jié)果定量結(jié)果Bi與岡的影響相同Bi: Bj =1 :1B比Bi

4、的影響稍強(qiáng)Bi : Bj = 3:1Bi比場(chǎng)的影響強(qiáng)5:1Bi比Bj的影響明顯強(qiáng)By Q = 7： 1比Bj的影響絕對(duì)強(qiáng)B、： Bj =9: 15與B）的影響在上述兩個(gè)等級(jí)之間:Bj = 2, 4 .6,8:1B,與場(chǎng)的影響和上述情況相反Bi : Bj =1:1,2,，9假泄各因素重要性之間的相對(duì)關(guān)系為：B2比b的影響強(qiáng)，®比B的影響稍強(qiáng)，B1比® 的影響稍強(qiáng)，則兩兩相對(duì)比較的定量結(jié)果如下：B：B = 1訂;B, B、= 1:5; B：B、= 1:3= 5:1; B2:B2 = 1:1; B:B、= 3:1= 3:1; B2 = 1:3;B3:B3 = 1:1為了便于數(shù)學(xué)處

5、理，我們通常把上而的結(jié)果寫成如下矩陣形式，稱為成對(duì)比較矩陣。B B? B3Bi11/5 1/3、b2513、3 1/31 丿（1）2）綜合排序?yàn)榱诉M(jìn)行合理的綜合排序，我們把各因素的重要性與物體的重量進(jìn)行類比。設(shè)有n件 物體:川，力2,，An ,它們的重量分別為：切，"2,，粘。若將它們兩兩相互比較 重量，其比值（相對(duì)重量）可構(gòu)成一個(gè)/?X 77成對(duì)比較矩陣«1J4.2(W / WW / w2 W /叫、A =偽a.2a. It =w2 / v w2 / w2 w2 /叫 厲%丿% /叫叫/叫丿經(jīng)過仔細(xì)觀察，我們發(fā)現(xiàn)成對(duì)比較矩陣的各行之和恰好與重量向量（鐺，切，川n）成正比，

6、即根據(jù)類比性.我們猜想因素的重要性向量與成對(duì)比較矩陣(1)之間也有同樣的關(guān)系存在。 由此，我們可以得到因素的重要性向量為f、q/5、5/3、"23/15、w =oC5+i+3=93JOI )3/3,為了使用方便，我們可以適當(dāng)?shù)剡x擇比例因子，使得各因素重要性的數(shù)值之和為1 (這個(gè)過程 稱為歸一化，歸一化后因素重要性的數(shù)值稱為權(quán)重，重要性向量稱為權(quán)重向量)，這樣就得 到一個(gè)權(quán)重向量/ 、5103、w =叫=0.606<0.291,上式中元素的權(quán)重大小給出了各因素重要性的綜合排序。對(duì)(2)式的進(jìn)一步分析還可以發(fā)現(xiàn)這說(shuō)明W還是成對(duì)比較矩陣A的特征向捲，對(duì)應(yīng)的特征值為門，理論上已嚴(yán)格地證

7、明了 n 是A的唯一最大特征值。按類比法,我們也可以用求解特征方程的辦法來(lái)得到重要性向量。 與(1)式對(duì)應(yīng)的特征方程為11/51/3、/ 513=n叫31/31/宀丿(7)由此可以解出英最大特征值為“'=3.03 &對(duì)應(yīng)的特征向量為：W ' =( 0 .1 0 5, 0 . 537 ,0. 2 58) 7(8 )矛盾和原因同一個(gè)問題，相似的方法，為什么(5)與(8 )兩個(gè)結(jié)果不一致(盡管不影響排序)?現(xiàn)在我們 來(lái)分析一下貝中的原因。對(duì)于由重量比值構(gòu)成的成對(duì)比較矩陣(2),不難證明它具有性質(zhì)1 ) 唯一性"Li = 1 ；2)互反性 Si. j =l/"

8、;j.i ： 3 )致性 “i. j "j. k = 8i.k。然而，重要 性是由人來(lái)判斷的，由于人對(duì)復(fù)雜事物采用兩兩比較的方法獲得的重要性比值不可能做到完 全一致，往往存在估計(jì)誤差，因此所得的成對(duì)比較矩陣只具有性質(zhì)1)和2),般不具有性 質(zhì)3)。比如說(shuō)對(duì)于成對(duì)比較矩陣(1),就有«2.1 = 5, “2.3 = 3, “3.1 = 3； a2A 豐 a2 3 -a3A一致性的缺少是造成兩種類比方法結(jié)果不同的原因。利用最小二乘法可以證明:用求解 特征方程得到的權(quán)重向量平均誤差較小。因此我們最好采用這個(gè)方法來(lái)求解權(quán)重向量。一致性檢驗(yàn)既然存在誤差，我們就需要知道誤差的程度到底有

9、多大?會(huì)不會(huì)影響綜合排序的結(jié)果？ 理論上已經(jīng)證明：對(duì)于具有一致性的成對(duì)比較矩陣,最大特征值為“；反之如果一個(gè)成對(duì)比較 矩陣的最大特征值為"，則一泄具有一致性。估計(jì)誤差的存在破壞了一致性，必然導(dǎo)致特征向 量及特征值也有偏差。我們用"'表示帶有偏差的最大特征值，則“'與“之差的大小反映了不 一致的程度?？紤]到因素個(gè)數(shù)的影響，Saaty將c/477-1 定義為一致性指標(biāo)。當(dāng)C / =0時(shí)，成對(duì)比較矩陣A矩陣完全一致，否則就存在不一致;C7 越大，不一致程度越大。為了確左不一致程度的允許范圍，Saaty又泄義了一個(gè)一致性比率 CR,當(dāng)CR = CI/ RI <

10、0.1 (1 0)時(shí)，認(rèn)為其不一致性可以被接受，不會(huì)影響排序的定性結(jié)果(10)式中值如下表所示n12345678910RI000.5 80.9 61.121241. 321.411.451.49應(yīng)用上面的結(jié)果，我們可以算出成對(duì)比較矩陣(1)有CI =0 .0 19, C R =0.033(11)因此英不一致性可以被接受。問題2某工廠在擴(kuò)大企業(yè)自主權(quán)后，廠領(lǐng)導(dǎo)正在考慮如何合理地使用企業(yè)留成的利潤(rùn)?？晒?選擇的方案有：1、發(fā)獎(jiǎng)金;II、擴(kuò)建食堂、托兒所：III、開辦職工技校；IV、建圖書館;V、引 進(jìn)新技術(shù)。在決策時(shí)需要考慮到調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)生產(chǎn)積極性，提高職工文化水平和改善職工物 質(zhì)文化生活狀況等三

11、個(gè)方而。請(qǐng)你對(duì)這些方案的優(yōu)劣性進(jìn)排序，以便廠領(lǐng)導(dǎo)作決策。解答劃分層次顯然這是一個(gè)多目標(biāo)的決策，問題涉及到許多因素，各種因素的作用相互交叉,情況比 較復(fù)雜。要處理這類復(fù)雜的決策問題，首先需要對(duì)問題所涉及的因素進(jìn)行分析:哪些是要相 互比較的;哪些是相互影響的。把那些要相互比較的因素歸成同一類，構(gòu)造出一個(gè)各因素類之 間相互聯(lián)結(jié)的層次結(jié)構(gòu)模型。各因素類的層次級(jí)別由其與目標(biāo)的關(guān)系而肚。在上述問題中, 因素可以分為三類：第一是目標(biāo)類，即合理地使用今年企業(yè)留利XX萬(wàn)元：第二是準(zhǔn)則類，這是衡量目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)，如調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)積極性、提高企業(yè)的生產(chǎn) 技術(shù)水平等等；第三是措施類，指實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的方案、方法、手段等等

12、。按目標(biāo)到措施自上而下地將各類因素之間的直接影響關(guān)系分不同層次排列岀來(lái)，可以構(gòu)成一 個(gè)直觀的層次結(jié)構(gòu)圖。如下圖所示：目様層淮則層合理使用企業(yè)皙成場(chǎng)調(diào)動(dòng)職工民提咼職工盡改善職工勞動(dòng)積極性文化水平物質(zhì)文化生活措施層*發(fā) 獎(jiǎng)金H擴(kuò)建集體 福利設(shè)施5辦 技校a崖 圖書詫a引迸新技術(shù)每一層中的各因素對(duì)上一層因素的相對(duì)重要性可以用問題1中的方法確左，由層次關(guān)系可以 計(jì)算出播施層各方案最髙層的相對(duì)權(quán)重，從而給出各方案的優(yōu)劣次序。層次單排序不同準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的影響已經(jīng)在問題1中得到了解決，現(xiàn)假左不同措施對(duì)各準(zhǔn)則的影響如 下：1不同播施對(duì)調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)生產(chǎn)積極性影響的成對(duì)比較矩陣B、Cc2GqqG 13547_c21

13、/31325G1/51/311/22G1/41/2213G1/71/51/21/31(12)其權(quán)重向量為:函=(0.491,0.232,0.092,0.138,0.046)72 不同播施對(duì)提髙職工文化水平影響的成對(duì)比較矩陣11/71/31/5715331/511/351/331（其中描施I （發(fā)獎(jiǎng)金）對(duì)提髙職工文化水平?jīng)]有什么影響，在成對(duì)比較矩陣中不出現(xiàn)，重要性按零計(jì)算。英權(quán)重向量為： =（ 0 ,0.055,0.564,0.11 &0.263）丁3 不同措施對(duì)改善職工物質(zhì)文化生活狀況影響的成對(duì)比較矩陣其權(quán)重向量為:明=(0.406,0.406.0.094,0.094.0 )總排序上述

14、過程中求出的是同一層次中相應(yīng)元素對(duì)于上一層次中的某個(gè)因素相對(duì)重要性的排 序權(quán)值，這稱為層次單排序。若模型由多層次構(gòu)成，計(jì)算同一層次所有因素對(duì)于總目標(biāo)相對(duì)重 要性的排序稱為總排序。這一過程是由最高層到最低層逐層進(jìn)行的。設(shè)上一層次A包含m個(gè) 因素旳,也 ,Am,其總排序的權(quán)重值分別為,“2,， 處：下一層次月包含k個(gè)因素B >.Bi,它們對(duì)于人的層次單排序的權(quán)重值分別為如j,b2.j,，軸（當(dāng)B與內(nèi) 無(wú)聯(lián)系時(shí)，如=0）：此時(shí)B層i元素在總排序中的權(quán)重值可以由上一層次總排序的權(quán)重值 與本層次的層次單排序的權(quán)重值復(fù)合而成，結(jié)果為：m'*=24 Nj , = 12 k（15）由此,各個(gè)方案相對(duì)于目標(biāo)層的總排序可以用下表汁算C層對(duì)B層的 相對(duì)權(quán)值從0. 1050. 6370.258c層總排序Cl0.49100. 4 060.157Cl0.2320.0 550.406064G0.0920 5640.0940.3 93c40.1380 1 180.0 9 40. 113Cs0.04 60.2 6 3（）0.172寫成矩陣形式為'0.491 0.000 0.406、 157、0.232 0.055 0.406"005、0.1460.092 0.564 0.0940.637=0.3930.138 0