2020年湖南省六校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)模擬試卷(理科)(解析版)

1、2020年湖南省六校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題 5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1 .已知集合 A=x|x 2-6x+5<0, B=x|y=, -, A AB=（）A. 1, +8） B. 1, 3 C. （3, 5 D. 3, 52 .命題 若x, y都是偶數(shù)，則x+y也是偶數(shù)”的逆否命題是（）A .若x+y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B.若x+y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C.若x+y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)D.若x+y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)3 .若執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出 S的值為6,則判斷框中應(yīng)填入

2、的條件是（）A. k<32? B. k<65? C. k<64? D. k< 31? 冗 34 .下列函數(shù)中在二一，了汗）上為減函數(shù)的是（）A . y=2cos2x - 1 B. y= - tanxC. y=c口） D . y=sin2x+cos2x5.采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問(wèn)卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為 1, 2,960,分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為9.抽到的32人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間1, 450的人做問(wèn)卷 A,編號(hào)落入?yún)^(qū)間451 , 750的人做問(wèn)卷B,其余的人做問(wèn)卷 C.則 抽到的人中，做問(wèn)卷 B的人數(shù)為（）A. 7B. 9 C.

3、 10 D. 156.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（主視圖 左視圖7.A.8.6兀 B.LQ兀C. 3兀 D.8X（汁（1 一 戶(hù)的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為a,則J13工,一 Ddx的值為（6 B. 20 C. 8 D. 24若函數(shù)y=2x圖象上存在點(diǎn)（x, v）滿(mǎn)足約束條件,則實(shí)數(shù)m的最大值1 B.C. 2 D.9.已知數(shù)列a n的通項(xiàng)公式an=5 - n,其前n項(xiàng)和為Sn,將數(shù)列an的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下二項(xiàng)按原來(lái)順序恰為等比數(shù)列bn的前3項(xiàng)，記bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n,右存在m CN ,使對(duì)任意nCN，總有SnTn+入恒成立，則實(shí)數(shù) 入的取值范圍是（A.入 2 B. X&

4、gt; 3 C.入 3 D. X> 210.已知兩個(gè)不相等的非零向量 彳，S9I,兩組向量町，鼠木叼* 3y?，%，了4, %均由2個(gè)忖和3個(gè)下排成一列而成.記! Xt+工口十K m，Ve , Smin表示S所有可能取值中的最小值，則下I 1- z l j q q 列正確的是（）A. 5廈皿二1+2助，21 B,1皿二243八C.若，E,則Smin與扃無(wú)關(guān)D. S有5個(gè)不同的值II .設(shè)近hJ/一國(guó)尸V”，b=pj岳 c=x斗？,若對(duì)任意的正實(shí)數(shù) x, y,都存在以a, b, c 為三邊長(zhǎng)的三角形，則實(shí)數(shù) p的取值范圍是（）A. （1, 3） B. （1, 2 C.二，號(hào) D.以上均不正

5、確2212 .已知A, B分別為橢圓Ct 號(hào)+三戶(hù)1<a>b>0）的左、右頂點(diǎn)，不同兩點(diǎn) P, Q在 U k/橢圓C上，且關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)直線 AP, BQ的斜率分別為 m, n,則當(dāng)現(xiàn)一十；+1門(mén)|m|十ln|n|取最小值時(shí)，橢圓 C的離心率為（）a b zrnnA圖CD.亨二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的 橫線上.2i13 .已知復(fù)數(shù)Zhp=f,則|z|=14 .在4ABC中，BC= 2V5, AC=2, AABC的面積為4,則AB的長(zhǎng)為.15 .已知圓 x2+y24x+2y+5 a2=0 與圓 x2+y2 (2b-10)

6、 x 2by+2b2 10b+16=0 相交于A (xi, yi), B (x2, y2)兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足 x +y i=x ； +y 則 b=.16 .給出下列命題：(1)設(shè)f (x)與g(x)是定義在R上的兩個(gè)函數(shù)，若|f(x“+f(x2)Hg(x“ +g(x2)|恒成立，且f (x)為奇函數(shù)，則g (x)也是奇函數(shù)；(2)若？x1, x2CR,都有 |f (x1)- f (x2)|>|g (x。- g (x2)|成立，且函數(shù) f (x)在 R 上遞增，則f (x) +g (x)在R上也遞增；(3)已知a>0, a力，函數(shù)f (x) = a ' '<1,若函數(shù)

7、f (x)在0, 2上的最大值比xs工i最小值多?則實(shí)數(shù)a的取值集合為七;(4)存在不同的實(shí)數(shù) k,使得關(guān)于x的方程(x2- 1) 2- |x2- 1|+k=0的根的個(gè)數(shù)為2個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、8個(gè).則所有正確命題的序號(hào)為 .三、解答題：本大題共5小題，其中有3道選做題選做一道， 共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、 證明過(guò)程或演算步驟.17 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,常數(shù)x>0,且 B1an=S1+Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立.(I )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；)的前n項(xiàng)和最大?(n )設(shè)a1>0, F100,當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列 口18 .如圖，在多面體 ABCDE中，DB，平面ABC ,

8、AE / DB ,且AABC為等邊三角形，AE=1 , BD=2, CD與平面ABCDE所成角的正弦值為 空.(1)若F是線段CD的中點(diǎn)，證明：EFL平面DBC ；(2)求二面角 D - EC - B的平面角的余弦值.19 .某學(xué)校有120名教師，且年齡都在 20歲到60歲之間，各年齡段人數(shù)按分組， 其頻率分 布直方圖如圖所示， 學(xué)校要求每名教師都要參加兩項(xiàng)培訓(xùn)， 培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行結(jié)業(yè)考試. 已知假設(shè)兩項(xiàng)培訓(xùn)是相互獨(dú)立的，結(jié)業(yè)考試各年齡段兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)如表示, 成績(jī)也互不影響.年齡分組20, 30, 40, 50,(1)30)40)50)60A項(xiàng)培訓(xùn)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)B項(xiàng)培訓(xùn)成績(jī)優(yōu)秀人

9、數(shù)3018362412943若用分層抽樣法從全校教師中抽取一個(gè)容量為40的樣本，求從年齡段20, 30)抽取(2)求全校教師的平均年齡；(3)隨機(jī)從年齡段20, 30)和30, 40)內(nèi)各抽取1人，設(shè)這兩人中兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成 績(jī)都優(yōu)秀的人數(shù)為X,求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.20 .已知拋物線方程為 x2=2py (p>0),其焦點(diǎn)為F,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn) F作斜率為 k (k加)的直線與拋物線交于 A, B兩點(diǎn)，過(guò)A, B兩點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線，設(shè)兩條 切線交于點(diǎn)M .求而施；(2)設(shè)直線MF與拋物線交于 C, D兩點(diǎn)，且四邊形 ACBD的面積為上二口之，求直線AB的斜率k.21

10、 .已知函數(shù)f (x) =e x (lnx-2k) (k為常數(shù)，e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線與y軸垂直.1 - *(lnz41)(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；,對(duì)任意 x>0,證明：(x+1) g (x) < ex+ex 2.請(qǐng)考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分22 .選修4-1:平面幾何如圖AB是。O的直徑，弦BD, CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) E, EF垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(I)求證：/DEA=/DFA;(II )若/ EBA=30 °, EF=/3, EA=2AC ,求 AF

11、 的長(zhǎng).x軸的f=2cos 0,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為(t為參數(shù))23 .已知曲線C的極坐標(biāo)方程是正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線L的普通方程；(2)設(shè)點(diǎn)P (m, 0),若直線L與曲線C交于A, B兩點(diǎn)，且|PA|?|PB|=1 ,求實(shí)數(shù)m的值.24 .函數(shù) f (x) = i ：:'(1)求函數(shù)f (x)的定義域A;(2)設(shè) B=x| -1<x<2,當(dāng)實(shí)數(shù) a、bC (BA?rA)時(shí)，證明：< |1+寺 |.2020年湖南省六校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 12個(gè)小題，每小題 5

12、分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的.1,已知集合 A=x|x 2-6X+5旬, B=x|y=,一融,AnB=（）A. 1, +00） B. 1, 3 C. （3, 5 D. 3, 5【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.【分析】 分別求出集合 A、B,從而求出AAB即可.【解答】 解：.集合 A=x|x 26x+5 4=x|1 a<5,B=x|y=$=x|x m,. A AB=3 , 5, 故選：D.2.命題 若x, y都是偶數(shù)，則x+y也是偶數(shù)”的逆否命題是（）A .若x+y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B.若x+y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C.若x+y不是偶數(shù)，則x與y不

13、都是偶數(shù)D.若x+y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)【考點(diǎn)】四種命題間的逆否關(guān)系.【分析】若命題為若p則q"，命題的逆否命題為若非q,則非p"，而x, y都是偶數(shù)的否定應(yīng)為x與y不都是偶數(shù).【解答】解：若命題為 若p則q"，命題的逆否命題為若非q,則非P”，所以原命題的逆否命題是若x+y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)”故選C3.若執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出 S的值為6,則判斷框中應(yīng)填入的條件是（）國(guó)IA. k<32? B, k<65? C, k<64? D, k< 31?【考點(diǎn)】程序框圖.【分析】根據(jù)程序框圖，寫(xiě)出運(yùn)行結(jié)果，根據(jù)程序輸出的結(jié)果是S=

14、6,可得判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件.【解答】解：根據(jù)程序框圖，運(yùn)行結(jié)果如下：Sk第一次循環(huán)10g233第二次循環(huán)10g23?1og344第三次循環(huán)10g23?1og34?1og455第四次循環(huán)10g23?10g34?10g45?10g566第五次循環(huán)10g 23?10g 34?10g 45?1og56?1og 677第六次循環(huán)10g 23?10g 34?10g 45?10g56?10g 67?10g788第七次循環(huán)10g23?10g34?10g45?10g56?10g67?10g78?10g899第 61 次循環(huán)10g23?10g34?10g45?10g56? /0g626363第 62 次循環(huán)10

15、g23?10g34?10g45?10g56? /0g 6263?10g6364=10g 264=664故如果輸出S=6,那么只能進(jìn)行62次循環(huán)，故判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是k<64.故選：C.4,下列函數(shù)中在一*總五）上為減函數(shù)的是（）A. y=2c0S2x - 1 B. y= - tanxC. y=c 口- -；：） D. y=sin2x+cos2x【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明.【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析、判定即可.x 3【解答】解：對(duì)于A, y=2cos2x-1=cos2x,在一，«兀）上是先減后增，不滿(mǎn)足題意；對(duì)于B, y= - ta

16、nx,在（丁，一?。┖停ㄒ欢。?dāng)一）上都是增函數(shù)，不滿(mǎn)足題意；7U，兀 3、對(duì)于C, y=cos （2x- -） =sin2x ,在（二一，石文）上為減函數(shù)，滿(mǎn)足題意；對(duì)于 D , y=sin2x+cos2x= /sin （2x+J，），在（子，卷冗）上先減后增，不滿(mǎn)足題意.故選：C.5 .采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問(wèn)卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為1, 2,960,分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為9.抽到的32人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間1, 450的人做問(wèn)卷 A,編號(hào)落入?yún)^(qū)間451 , 750的人做問(wèn)卷B,其余的人做問(wèn)卷 C.則 抽到的人中，做問(wèn)卷 B的人數(shù)為（）A. 7

17、B, 9C, 10 D. 15【考點(diǎn)】系統(tǒng)抽樣方法.【分析】由題意可得抽到的號(hào)碼構(gòu)成以9為首項(xiàng)、以30為公差的等差數(shù)列，求得此等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an=9+ （nT） 30=30n-21,由451<30n- 21750求得正整數(shù)n的個(gè)數(shù).【解答】 解：960與2=30,故由題意可得抽到的號(hào)碼構(gòu)成以9為首項(xiàng)、以30為公差的等差數(shù)列，且此等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=9+ （n- 1） 30=30n-21.由 451 30n- 21750 解得 15.7許<25.7.再由n為正整數(shù)可得16珀磴5,且nCz,故做問(wèn)卷B的人數(shù)為10,故選：C.6 .已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的

18、體積為（）【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.【分析】通過(guò)三視圖判斷幾何體的特征，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的條件即可得出答案.【解答】解：由三視圖判斷幾何體是底面半徑為1,高為6的圓柱被截掉分開(kāi)，相等的2部分，. V=_ X 兀 12>6=3 %故選：C7 .若（2十什）（1 一予）3的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為a,則T o（3y2- l）dx的值為（）A. 6 B. 20 C. 8 D. 24【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.【分析】利用二項(xiàng)式定理求得 a=2,再求定積分求得要求式子的結(jié)果.【解答】解：根據(jù) 也+工+1施蚪) 3= (2+x+x2) ? (1=2 - +今3+x - 3+-V+x2- 3x

19、+3 , K K K篁 鱉乂故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為a=2 - 3+3=2 ,則 j g(3 JC2- l)dx=Q? (3x2- 1) dx= (x3-x) I 0=8- 2=6,%卬1 3<08,若函數(shù)y=2x圖象上存在點(diǎn)（x, y）滿(mǎn)足約束條件1 L 2y - 340 ,則實(shí)數(shù)m的最大值.更2m為（）A-1 BJ C-2 D3【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.【分析】由題意作圖象，從而結(jié)合圖象可知2m4,從而解得.【解答】 解：由題意作圖象如下，結(jié)合圖象可知，函數(shù)y=2x圖象與y=3-x的交點(diǎn)A (1, 2),則2m司, 故m4; 故選：D.9.已知數(shù)列a n的通項(xiàng)公式an=5 - n,其前n項(xiàng)和

20、為Sn,將數(shù)列an的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng) 后，剩下二項(xiàng)按原來(lái)順序恰為等比數(shù)列bn的前3項(xiàng)，記bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n,右存在m CN ,使對(duì)任意nCN，總有SnTn+入恒成立，則實(shí)數(shù) 入的取值范圍是()A.入 2 B. X> 3 C.入 3 D. X> 2【考點(diǎn)】數(shù)列的求和.n(9-n)Sn=,利用4<Tn<8及Sn<0,結(jié)一一 . I 1 I【分析】 通過(guò)an=5-n可求出Tn=8 (1-f)、合題意可知10 v 8+%進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論.【解答】解：3=5-n,. a1 =4, a2=3, a3=2, a4=1,貝Ub1=a1=4, b2=a3=2 , b3=a4=1

21、,.數(shù)列bn是首項(xiàng)為4、公比為4的等比數(shù)列,.4 Wn<8,一 , nU+5-n)門(mén)兇又-Sn=,I I.,當(dāng)n=4或n=5時(shí)，Sn取最大值10,.存在mCN ,使對(duì)任意n CN，總有SnTn+入恒成立,.10V 8+A 即 X> 2,故選：D.10.已知兩個(gè)不相等的非零向量as b,兩組向量翼，冥之，Kq，工5和八* 力，y T Fq，門(mén)均由2個(gè)0和3個(gè)1排成一列而成記工i1十式管j千尺丁¥小十工尻“工，Smin表示S所有可能取值中的最小值，則下1 1 Z l J J q q 3列正確的是()A SmLri-a2+2ab42b2 B. »皿二2a，3bzC.若

22、則Smin與扃無(wú)關(guān)D. S有5個(gè)不同的值【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【分析】依題意，可求得S有三種結(jié)果，s二十3己，§2二;2+K，1十兀，三二心芯+工：可判斷錯(cuò)誤；進(jìn)一步分析有Si- S2=S2 - S3=；，菅- 2m%b2 - 2|a | |b | = Ua H lb I )2>0,即 S 中最小為 S3,再對(duì) A、B、C逐一分析得答案.【解答】 解：Xi, yi (i=1, 2, 3, 4, 5)均由2個(gè)a和3個(gè)b排列而成，.S可能情況有以下三種：玩二2三幺3升，S廣共凡+支' 53二武兀點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；Si - S2=S2 - S3= a +b -2目9馬 +

23、b -2|a|b|=(la|i Iki)'。，.S中最小為S3,若 K” 匕，貝U Smin=S3=qZ'i, . A , B 錯(cuò)誤；t 2若3, b,則Smin = S?二b，與| a |無(wú)關(guān)，與| b I有關(guān)，故C正確.故選：C.11.設(shè) /卜2_工Ky2, b二£二科工 若對(duì)任意的正實(shí)數(shù) X, y,都存在以a, b, c為三邊長(zhǎng)的三角形，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是()A. (1, 3) B. (1, 2 C. ( y) D,以上均不正確【考點(diǎn)】基本不等式；簡(jiǎn)單線性規(guī)生【分析】由基本不等式可得 a/J, cmW再由三角形任意兩邊之和大于第三邊可得, +2,fiiy &g

24、t; b=p/7y,且 p/xy +7xy > 2/iy,且 m/im+2/EW荷，由此求得實(shí)數(shù) p的取值范圍.【解答】解：對(duì)于正實(shí)數(shù)x, y,由于2 y 2 區(qū)*丫寸江，c=x+y 21，b千d且三角形任意兩邊之和大于第三邊，Vxy+2Fy>,且 P%Zxy+'/xy >2V7y解得1vpv 3,故實(shí)數(shù)p的取值范圍是(1,3), 故選：A.,且 pVTy +2/xy >k/iy 12.已知A , B分別為橢圓C；三5+工5=1缶bA。)的左、右頂點(diǎn)，不同兩點(diǎn)P, Q在橢圓C上，且關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)直線 AP, BQ的斜率分別為 m,n,則當(dāng)a bA亞【考點(diǎn)】2m

25、B.【分析】門(mén)口|ml十ln|n|取最小值時(shí)，橢圓 C的離心率為(C-D亨橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).設(shè) P (X0, yo),利用斜率計(jì)算公式肯定:則 Q (xo,mn=2 a=£華),令£=t>i,則f (t) = + t+二F - 21nt.利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出.【解答】解：設(shè)P (X0, yo),則Q(X0,、T 2-yo), y0 =,2 / 2 _ 2b r X。2a2- mn=& F2b2耳+21/、b2+ ln-+ t+t2 - 21nt.f' (t) = +i+t-7可知：當(dāng)t=6時(shí)，函數(shù)f (t)取得最小值f «2)=/+&#

26、39;、及卷K卬5)* - 2inj2=2f2+iTn2 .故選：D.二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的 橫線上.13 .已知受數(shù) _ j ,則 |z|= Vg .【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模.【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得出.【解答】 解：復(fù)數(shù) %Y=Q21 ；)二i 1，則團(tuán)=jp4m刁不用，故答案為：14 .在4ABC中，BC= 275, AC=2, AABC的面積為4,則AB的長(zhǎng)為 【考點(diǎn)】 余弦定理；三角形中的幾何計(jì)算.【分析】利用三角形的面積公式，求出,利用余弦定理可求可得cosC=AB的長(zhǎng).【解答】 解：BC= 25, AC=2

27、, AABC的面積為4,. 4=X2«X2XEnU,. ab2=2%(訴)”222在,赤=16,或 AB2=z2+(2赤)、222赤木=32,. AB=4 ；. AB= 4V2. AB的長(zhǎng)為4或46.故答案為：4或隊(duì)伍15.已知圓 x2+y24x+2y+5 a2=0 與圓 x2+y2 一.、-，、r 2A (xi, y1)，B (x2, y2)兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足 x +y(2b - 10)22尸2+yx- 2by+2b2- 10b+16=0 相交于2 r 5|2 ,則 b=_W 一 .【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定.【分析】把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代人圓。1,化簡(jiǎn)得2 (x1-x2)=y1-

28、y2；再把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代人圓。2,整理得b (y2-y1)= - (b-5) (xi-x2);由以上兩式聯(lián)立即可求出b的值.【解答】解：根據(jù)題意，把點(diǎn) A (xi, yi), B (X2, y2)分別代人圓 。1,得；xj+y J- 4xi+2yi+5 - a2=0,工2 '+924x2+2y2+5 - a2=0,-并化簡(jiǎn)得，2(X1-X2) =yi-y2；同理，把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代人圓 。2,整理得，b (y2 yi) = - ( b 5) (xi X2)；把代人，化簡(jiǎn)得2b=- ( b- 5),解得b=.J故答案為：16.給出下列命題：(1)設(shè)f (x)與g (x)是定義在R上的兩

29、個(gè)函數(shù)，若|f (xi) +f (x2)Hg (xi) +g (x2)| 恒成立，且f (x)為奇函數(shù)，則g (x)也是奇函數(shù)；(2)若？xi, x2R,都有 |f (xi) - f (x2)|>|g (xi) - g (x2)|成立，且函數(shù) f (x)在 R 上遞增，則f (x) +g (x)在R上也遞增；(3)已知a>0, a力，函數(shù)f (x) =J 3 ',若函數(shù)f (x)在0, 2上的最大值比 _a_ xs 工i最小值多則實(shí)數(shù)a的取值集合為醫(yī);(4)存在不同的實(shí)數(shù) k,使得關(guān)于x的方程(x2- i) 2- |x2- i|+k=0的根的個(gè)數(shù)為2個(gè)、4 個(gè)、5個(gè)、8個(gè).

30、則所有正確命題的序號(hào)為(i)、(2)、(4).【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷.【分析】(i)利用 |f (xi) +f(x2)IMg(xi) +g(x2)恒成立，設(shè)x2= -xi, |f(xi) +f (xi) |相(xi) +g (-xi) |恒成立，根據(jù)f (x)是奇函數(shù)，即可得出結(jié)論；(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得出結(jié)論；(3)分0vavi和a>i時(shí)加以討論，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和一次函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合分段函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的大小比較，求出函數(shù)在0, 2上的最大值和最小值，由此根據(jù)題意建立關(guān)于a的方程，求出滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a的值；(4)對(duì)k的值分類(lèi)討論，將方程

31、根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的問(wèn)題，畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合圖 象可得結(jié)論.【解答】 解：對(duì)于(i),5(xi) +f (x2)|1 (xi) +g (x2)|恒成立,令 x2= - xi,則 |f (xi) +f (-xi) Rg (xi) +g (-xi) | 恒成立, f (x)是奇函數(shù)，.|f (xi) - f (xi) |相(xi) +g (- xi) |恒成立,. g (xi) +g ( - xi) =0,g ( - xi) = - g (xi), g (x)是奇函數(shù)，(i)正確；對(duì)于(2),設(shè) xi< x2,f (x)是R上的增函數(shù)，. f (xi) < f (X2),.|f (

32、Xi) - f(X2)|>|g (Xi) g(X2)恒成立,. f (Xi) - f(X2)< g (Xi) - g(X2)V f(X2)- f (Xi), hl (Xi) - h(X2)=f (Xi) - f(X2)+g (Xi) - g(X2)V f (Xi) - f(X2)+f(X2)- f(Xi), . h (Xi) - h(X2)< 0,.函數(shù)h (x) =f (x) +g (x)在R上是增函數(shù)，(2)正確；對(duì)于(3),當(dāng)a> i時(shí)，函數(shù)f (x)=亙'''I 在0, 2上的最大值為f(i)=a,最a-x 工>1小值為 f (0)

33、 =i 或 f (2) =a-2；當(dāng)a-筲時(shí)，解得aj此時(shí)f (2)=>i,滿(mǎn)足題意,當(dāng)a- (a-2) =0時(shí)，2=0不滿(mǎn)足題意，.a 當(dāng)0vav i時(shí)，在0, i上，f (x) =ax是減函數(shù)；在(i, 2上，f (x) = - x+a是減函數(shù),-f (0) =a0=i > - i+a, .函數(shù)的最大值為 f (0) =i;而f (2) = - 2+a< - i+a=f (i),所以函數(shù)的最小值為f (2) =- 2+a,因此，-2+a+=i ,解得aC (0, i)符合題意；，一 ，17_綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合為一，一 , (3)錯(cuò)誤；Ui對(duì)于(4),關(guān)于 x 的方程(

34、x2 i) 2 |x2 i|+k=0 可化為(x2 i) 2 ( x2 i) +k=0 (x 當(dāng) 或 x<-i) ( I )或(x2 - i) 2+ (x2 - i) +k=0 ( T vxv i) ( n )一 1 , 、，一，一* 一一疵、，一，一* 一一當(dāng)k二方時(shí)，萬(wàn)程(I)有兩個(gè)不同的實(shí)根 小一,萬(wàn)程(n)有兩個(gè)不同的實(shí)根 與廠，U-即原方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根;當(dāng)k=0時(shí)，原方程恰有 5個(gè)不同的實(shí)根;當(dāng)k=g時(shí)，方程(I )的解為安一= |x2 - 1_ -(X2- 1管，方程(H)的解為后，后, 即原方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；當(dāng) k= 2 時(shí)，方程化為(|x2T|+i) (|x2

35、- i|-2) =0,解得|x2-i|=2或|x2-i|=-i (不合題意，舍去)；所以 x2- i = i2,解得 x2- 1=2,即x=f3,方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根；所以存在不同的實(shí)數(shù) k,使得關(guān)于x的方程（x2-1） 2-|x2-1|+k=0的根的個(gè)數(shù)為2個(gè)、4 個(gè)、5個(gè)、8個(gè)，命題（4）正確；綜上，正確的命題是（1）、（2）、（4）.故答案為：（1） （2）、（4）.三、解答題：本大題共5小題，其中有3道選做題選做一道， 共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、 證明過(guò)程或演算步驟.17.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,常數(shù)入0,且 W1an=S1+Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立.（n ）設(shè)a1>0,2

36、100,當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列）的前n項(xiàng)和最大?（I ）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；綜上可得，當(dāng)a1二0時(shí)，an=0,當(dāng)sn用時(shí),【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式；數(shù)列的函數(shù)特性；數(shù)列的求和.【分析】（I）由題意，n=1時(shí)，由已知可知a1 （-2） =0,分類(lèi)討論：由 舟=0,及a1加, 結(jié)合數(shù)列的和與項(xiàng)的遞推公式可求（II）由4>0且產(chǎn)100時(shí)，令卜西二1廣，則吟詈2 一口】琮，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可求和的最大項(xiàng)【解答】 解（I）當(dāng)n=1時(shí)，入 /2 =2st=2al. 31 （份-2） =0若取 31=0 ,貝U Sn=0 , an=Sn - Sn 1=0. an=0 （n）什一2 . . I 2 . I .

37、2 .右 a1 加，貝U當(dāng) n或時(shí)，2an=十3,1 ="J十s口一兩式相減可得，2an - 2an 1=an-an=2an-1,從而可得數(shù)列an是等比數(shù)列an=a1?2n 1bn是單調(diào)遞減的等差數(shù)列,ig2(II)當(dāng)a1>0且在100時(shí),由（I）可知b口>0- b1 >b2> , > b6=當(dāng)n身時(shí),6項(xiàng)和最大18.如圖，在多面體 ABCDE中，DB，平面ABC , AE / DB ,且4ABC為等邊三角形，AE=1 , BD=2, CD與平面ABCDE所成角的正弦值為 咨.（1）若F是線段CD的中點(diǎn)，證明：EF，平面DBC ；（2）求二面角 D -

38、EC - B的平面角的余弦值.【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定.【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可.（2）建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可.【解答】（1）證明：取BC的中點(diǎn)為 M,連接FM,則可證AM，平面BCD ,四邊形AEFM 為平行四邊形，所以EF/AM ,所以EF，平面DBC；（2）解：取 AB的中點(diǎn)O,連結(jié) OC, OD,則OCL平面ABD , / CDO即是CD與平面ABDE 所成角，旦設(shè)AB=x ,則有 工 ;,得AB=2 ,取DE的中點(diǎn)為G,41)以。為原點(diǎn)，OC為x軸，OB為y軸，OG為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則c，o

39、, o), B(o,L O), D(O, 1, 2L E(0,由（1）知：BF,平面DEC,又取平面 DEC的一個(gè)法向量i二 小,-1, 2）,設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量彳=（1, y, z）,由，由此得平面 BCE的一個(gè)法向量7= （1,。1,26），則 cosv n,/工=避一代四北=乎那G | 國(guó) V3+1+4-Vl+3+12 2VZP4 4所以二面角D - EC - B的平面角的余弦值為19.某學(xué)校有120名教師，且年齡都在 20歲到60歲之間，各年齡段人數(shù)按分組， 其頻率分 布直方圖如圖所示， 學(xué)校要求每名教師都要參加兩項(xiàng)培訓(xùn)，培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行結(jié)業(yè)考試. 已知各年齡段兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)

40、優(yōu)秀的人數(shù)如表示，假設(shè)兩項(xiàng)培訓(xùn)是相互獨(dú)立的，結(jié)業(yè)考試成績(jī)也互不影響.年齡分組A項(xiàng)培訓(xùn)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)B項(xiàng)培訓(xùn)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)20,30)301830,40)362440,50)12950,6043(1)若用分層抽樣法從全校教師中抽取一個(gè)容量為40的樣本，求從年齡段20, 30)抽取的人數(shù)；(2)求全校教師的平均年齡；(3)隨機(jī)從年齡段20, 30)和30, 40)內(nèi)各抽取1人，設(shè)這兩人中兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成 績(jī)都優(yōu)秀的人數(shù)為X,求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列.【分析】(1)由頻率分布直方圖能求出從年齡段20, 30)抽取的人數(shù).(2

41、)由頻率分布直方圖能求出全校教師的平均年齡.(3)由題設(shè)知X的可能取值為0, 1, 2.分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 X的概率分布 列和數(shù)學(xué)期望.【解答】 解：(1)由頻率分布直方圖知，0.35M0=14 .(2)由頻率分布直方圖得：全校教師的平均年齡為：25X0.35+35 04+45 >0.15+55 >0.1=35.(3) .在年齡段20, 30)內(nèi)的教師人數(shù)為 120X0.35=42 (人)，從該年齡段任取1人，由表知，此人A項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的概率為 需 4，121B項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的概率為 二三不，.此人A、B兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)都優(yōu)秀的概率為幸啜，.在年齡

42、段30, 40）內(nèi)的教師人數(shù)為 120刀.4=48 （人），從該年齡段任取1人，由表知，此人 A項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的概率為 空4,48 4_24 1B項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的概率為 常行？，313.此人A、B兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)都優(yōu)秀的概率為 Q 2 8由題設(shè)知X的可能取值為0,1, 2.中飆=。）=（1-磊）（-會(huì)畸,P（X=】）4|X0+（1-祟/嗡滬（聆2）嗡嗎噴,X的概率分布為X 0128517745P 196 392 392的數(shù)學(xué)期望為哈。、急X 3220.已知拋物線方程為 x2=2py （p>0）,其焦點(diǎn)為F,點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn) F作斜率為 k （k加）的直線與拋物線

43、交于 A, B兩點(diǎn)，過(guò)A, B兩點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線，設(shè)兩條 切線交于點(diǎn)M .求而赤；32 5（2）設(shè)直線MF與拋物線交于 C, D兩點(diǎn)，且四邊形 ACBD的面積為二二p金，求直線AB 的斜率k.【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】（1）設(shè)出直線AB的方程，代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和點(diǎn)滿(mǎn)足直線方程，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)即可得到所求值；（2）求得切線的斜率和切線的方程，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式，可得 |AB|, |CD|,求得四邊形 ABCD 的面積，運(yùn)用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，解方程可得 k的值.【解答】 解：（1）設(shè)直線AB方程為卜卜什二.BQ%）,聯(lián)立直線AB與拋物線方程ry=kH m1/，

44、得 x2- 2pkx - p2=0,、x2py2貝Xl+X2=2pk, X1X2= p ,可得*-5§=x ix2+yiy2=xix2=x 1x2+ (kxi+二) =(1+k2) xix2+-+"=_ (xi+x2)=(1+k2) (p2) +g+L?2pk=一mp2；可得曲線在A, B兩點(diǎn)處的切線的斜率分別為BM的方程為(2)由 x2=2py,知/ =：,即有AM的方程為第T y二一L(£a X ), 1 P1解得交點(diǎn)M(pk.一工)， 則kfflF二一/，知直線MF與AB相互垂直 由弦長(zhǎng)公式知，|AB|=士足 ?«勺+叮)24工19=11+請(qǐng)?丫

45、4P2 k 2+4p2=2p (1+k2),用M弋k得，2P(3+1), kk22 132 2四邊形 ACBD 的面積 s=2p (2+k +F)-p , k2 3依題意，得的最小值為二:，k3根據(jù)£&)內(nèi)!二 QQ)的圖象和性質(zhì)得，k2=3或廣,K1即k=± 或卜二土?xí)?21.已知函數(shù)f (x) =e x (lnx-2k) (k為常數(shù)，e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線與y軸垂直.1 一 s(lnx41)(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；,對(duì)任意 x>0,證明：(x+1) g (x) < ex+ex 2.【

46、考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.【分析】(1)求出f (x)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；+一一二-父父一工二,_ I(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證 仝-成立，從而證明 展力-<1 -對(duì)口工一工,/k+1e設(shè)F (x) =1 - xlnx -x,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【解答】解：(1)因?yàn)閒工- lnx+2k由已知得尸(1)二上竺二。，.-k=-. ez工- lux - 1所以F(K)二工,eK設(shè)kCx) ="一 Inx - 1,則 k'1工)二.-_工<明在(0, +8)上恒成立，即k (x)在(0, +8)上

47、是減函數(shù),由 k (1) =0 知，當(dāng) 0vxv 1 時(shí) k (x) > 0,從而 f (x) >0,當(dāng) x>1 時(shí) k (x) <0,從而 f (x) v 0.綜上可知，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0, 1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1, +°0)(2)因?yàn)閤>0,要證原式成立即證 昆儂-上上一成立,/x+1現(xiàn)證明：對(duì)任意 x>0, g (x) v 1+e-2恒成立，當(dāng)x高時(shí)，由(1)知g (x)與v1+e -2成立；當(dāng) 0vxv 1 時(shí)，ex> 1,且由(1)知 g (x) >0,、 1 - zlnyt - iti' 111設(shè) F

48、(x) =1 - xlnx - x, xC (0, 1),則 F' (x) = - (lnx+2 ),當(dāng) xC (0, e 2)時(shí)，F(xiàn)' (x) > 0,當(dāng) xC (e2, 1)時(shí)，F(xiàn)，(x) v 0,所以當(dāng)x=e-2時(shí)，F(xiàn) (x)取得最大值 F (e-2) =1+e 2.所以 g (x) v F (x) <1+e 2,即 0vxv1 時(shí)，g (x) < 1+e綜上所述，對(duì)任意 x>0, g (x) v 1+e 2.令 G (x) =ex- x - 1 (x>0),貝U G' (x) =ex1>0恒成立，所以G (x)在(0, +8)上遞增，G (x) > G (0) =0恒成立,即 ex>x+1 >0,即當(dāng)x時(shí)，有:<0<當(dāng)0vxv 1時(shí)，由一，呂(工)1+e 、綜上所述，x>0時(shí)，箕一 <成立, 故原不等式成立請(qǐng)考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分22.選修4-1：平面幾何如圖AB是。O的直徑，弦BD, CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) E, EF垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(I)