高中數(shù)學(xué)不等式解題漫談

1、高中數(shù)學(xué)不等式解題漫談一、活用倒數(shù)法則 巧作不等變換不等式的性質(zhì)和應(yīng)用不等式的性質(zhì)和運算法則有許多,如對稱性,傳遞性,可加性等.但靈活運用倒數(shù)法則對解題,尤其是不等變換有很大的優(yōu)越性.倒數(shù)法則：若ab>0,則a>b與<等價。此法則在證明或解不等式中有著十分重要的作用。如：（1998年高考題改編）解不等式loga(1-)>1.分析：當a>1時，原不等式等價于：1->a,即 <1-a ,a>1,1-a<0, <0,從而1-a, 同號，由倒數(shù)法則，得x> 當0<a<1時，原不等式等價于 0<1- <a,1-a&

2、lt;<1, 0<a<1， 1-a>0, >0, 從而1-a, 同號，由倒數(shù)法則，得1<x<綜上所述，當a>1時,x(,+)；當0<a<1時，x(1,).注：有關(guān)不等式性質(zhì)的試題，常以選擇題居多，通常采用特例法,排除法比較有效。二、小小等號也有大作為絕對值不等式的應(yīng)用絕對值不等式：|a|-|b|a±b|a|+|b|。這里a,b既可以表示向量，也可以表示實數(shù)。當a,b表示向量時，不等式等號成立的條件是：向量a與b共線；當a,b表示實數(shù)時，有兩種情形：（1）當ab0時，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=|a|-|b|;(

3、2)當ab0時，|a+b|=|a|-|b|, |a-b|=|a|+|b|.簡單地說就是當a,b同號或異號時，不等式就可轉(zhuǎn)化為等式（部分地轉(zhuǎn)化），這為解決有關(guān)問題提供了十分有效的解題工具。如：若1<<,則下列結(jié)論中不正確的是（ ）A、logab>logba B、| logab+logba|>2 C、(logba)2<1 D、|logab|+|logba|>|logab+logba|分析：由已知，得0<b<a<1,a,b同號，故|logab|+|logba|=|logab+logba|，D錯。答案 D注：絕對值不等式是一個十分重要的不等式，其本

4、身的應(yīng)用價值很廣泛，但在高考或其他試題中常設(shè)計成在等號成立時的特殊情況下的討論，因此利用等號成立的條件（a,b同號或異號）是解決這一類問題的一個巧解。三、“抓兩頭 看中間”，巧解“雙或不等式”不等式的解法（1）解不等式（組）的本質(zhì)就是對不等式（組）作同解變形、等價變換。（2）多個不等式組成的不等式組解集的合成先同向再異向不等式組的解法最關(guān)鍵的是最后對幾個不等式交集的確定。常用畫數(shù)軸的方法來確定,但畢竟要畫數(shù)軸.能否不畫數(shù)軸直接就可得出解集呢?下面的方法就十分有效?？梢浴跋韧蛟佼愊颉钡脑瓌t來確定，即先將同向不等式“合并”（求交集），此時“小于小的，大于大的”；最后余下的兩個異向不等式，要么為空

5、集，要么為兩者之間。如解不等式組:,先由(同>)得x>0(大于大的);再由(同<)得x<1(小于小的);再將x>0與x<1分別與作交集,由x>0與得0<x<2;由x<1與得-1<x<1.這樣所得的不等式的解集為(0,1).（3）雙或不等式組的解集合成 形如的不等式組稱為“雙或”型不等式組（實際上包括多個“或”型不等式組成的不等式組也在此列），這是解不等式組中的一個難點。解決這類不等式組時常借用數(shù)軸來確定，但學(xué)生在求解時總會出現(xiàn)一些錯誤。這里介紹一種不通過數(shù)軸的直接方法：“抓兩頭 看中間”！如：,先比較a,b,c,d四個數(shù)的

6、大小，如a<b<c<d,則其解集中必含有x<a或x>d（即抓兩頭）；再看x>b與x<c的交集，若有公共部分，則b<x<c;若無公共部分，則此時為空集（看中間），最后將“抓兩頭”和“看中間”的結(jié)果作并集即為所求的解集。四、巧用均值不等式的變形式解證不等式均值不等式是指：a2+b22ab(a,bR) ；a+b2( a,bR+) .均值不等式是高考的重點考查內(nèi)容，但其基本公式只有兩個，在實際解題時不是很方便。若能對均值不等式進行適當變形，那么在解題時就能達到事半功倍的效果。下面的一些變形式在解題時就很有用，不妨一試。當然你也可以根據(jù)需要推導(dǎo)一些公

7、式。如：(1) a22ab-b2 ; 是將含一個變量的式子，通過縮小變?yōu)楹瑑蓚€變量的式子，體現(xiàn)增元之功效，當然反過來即是減元；(2) 2a-b ; (a,b>0)是將分式化為整式，體現(xiàn)分式的整式化作用;試試下面兩個問題如何解:求證：（1）a2+b2+c2ab+bc+ac;(2) +a+b+c. (a,b,c>0)（析：（1）由a22ab-b2得b22bc-c2 ,c22ac-a2,三式相加整理即得；（2）2a-b同樣可得另兩式，再將三式相加整理即得）。(3)ab()2 ;利用不等關(guān)系實現(xiàn)兩數(shù)和與兩數(shù)積的互化； (4) ;(a,b>0)利用不等關(guān)系實現(xiàn)兩數(shù)和、兩數(shù)的平方和及兩數(shù)

8、積之間的轉(zhuǎn)化；注：涉及兩數(shù)和、兩數(shù)的平方和及兩數(shù)積的問題是一個十分常見的問題，利用、兩式可以使其中的關(guān)系一目了然。從解題分析上看，對解題有很好的導(dǎo)向作用。(5)若a,bR+，則+(當且僅當=時取等號); 此式在解題中的主要作用表現(xiàn)在：從左向右看是“通分”（不是真正的通分）或“合并”，化多項為一項，項數(shù)多了總不是好事；從右向左看，是“分解”或“拆項”，實現(xiàn)“一分為二”的變形策略。這在解不等式相關(guān)問題中就很有作為！請看下例：例：已知-1<a<1,-1<b<1,求證：+.分析：由上不等式，立即得到 +=。式還可推廣到三個或更多字母的情形，即+(a,b,c>0); +(a

9、1,a2,an>0)(6) ax+by.(柯西不等式)此不等式將和(差)式與平方和式之間實現(xiàn)了溝通,靈活應(yīng)用此式可以很方便地解決許多問題.如下例:例: 使關(guān)于x的不等式+k有解的實數(shù)k的取值范圍是【 】A - B C + D 分析:所求k的范圍可以轉(zhuǎn)化為求不等式左邊的最大值即可,由柯西不等式得 +=.k,k的最大值是.填D.五、不等式中解題方法的類比應(yīng)用1、三種基本方法：比較法、分析法、綜合法。其中比較法可分為作差比較法和作商比較法，不僅在不等式的證明和大小比較中有廣泛的應(yīng)用，同時在其他方面也有很大的作用。如分析法就是一種重要的思維方法，在數(shù)學(xué)的其他章節(jié)中也有廣泛的應(yīng)用。2、放縮法：是不

10、等式證明中一種十分常用的方法，它所涉及的理論簡單，思維簡單，應(yīng)用靈活，因而在解題時有著十分重要的應(yīng)用。如果能靈活應(yīng)用放縮法，就可以達到以簡馭繁的效果?；铑}巧解例1若1<<,則下列結(jié)論中不正確的是【 】 A logab>logba B | logab+logba |>2 C (logba)2<1 D |logab|+|logba|>|logab+logba|【巧解】特例法、排除法由已知，可令a=，b=，則logab=log23>1,0<logba=log32<1,于是A、B、C均正確，而D兩邊相等，故選D。答案 D。例2 不等式組的解集為【

11、】 (A) (0,)；(B) (,2)；(C) (,4)；(D) (2,4)?！厩山狻?排除法令x=3,符合，舍A、B；令x=2,合題，舍D，選C。答案 C。例3 已知y=f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，實數(shù)x1x2，-1=,=，若|f(x1)-f(x2)|<|f()-f()|，則【 】A<0 B=0 C. 0<<1 D1【巧解】 等價轉(zhuǎn)化法顯然0,=, 、分別是以x1,x2為橫坐標的點所確定的線段以和為定比的兩個分點的橫坐標.由題意知，分點應(yīng)在線段兩端的延長線上，所以<0,故選A?！敬鸢浮緼。例4 0<a<1，下列不等式一定成立的是【 】.（A）|l

12、og(1+a)(1-a) |+| log(1-a)(1+a)|>2 （B）| log(1+a)(1-a)|<| log(1-a)(1+a) |（C）| log(1+a)(1-a)+log(1-a)(1+a)|<| log(1+a)(1-a)|+|log(1-a)(1+a)|（D）| log(1+a)(1-a)-log(1-a)(1+a)|>| log(1+a)(1-a)|-|log(1-a)(1+a)|【巧解】換元法、綜合法由于四個選項中只涉及兩個式子log(1+a)(1-a) 和log(1-a)(1+a)，為了簡化運算看清問題的本質(zhì)，不妨設(shè)x= log(1+a)(1-

13、a),y= log(1-a)(1+a),由0<a<1知，x<0,y<0且xy,于是四個選項便為：A |x|+|y|>2 B |x|<|y| C |x+y|< |x|+|y| D |x-y|< |x|-|y|這樣選A就是極自然的事了。ab1Oyx ()x()x答案 A。例5已知實數(shù) a，b滿足等式()a=()b，下列五個關(guān)系式：0<b<a；a<b<0；0<a<b；b<a<0；a=b.其中不可能成立的關(guān)系式有【 】.（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個【巧解】數(shù)形結(jié)合法在同一坐標系內(nèi)同時畫出兩

14、個函數(shù)圖象：y1=()x,y2=()x,(如圖)作直線y=m(m>0圖中平行于x軸的三條虛線),由圖象可以看到：當0<m<1時,0<b<a;當m=1時,a=b;當m>1時,a<b<0.所以不可能成立的有兩個，選B。答案 B。例6 如果數(shù)列an是各項都大于0的等差數(shù)列，且公差d0，則【 】.（A）a1+a8<a4+a5 （B）a1+a8=a4+a5 （C）a1+a8>a4+a5 （D）a1a8=a4a5【巧解】特例法、排除法取an=n,則a1=1, a4=4, a5=5, a8=8,a1 +a8=a4+a5,故選B。12oyx答案 B。

15、例7 條件甲：x2+y24,條件乙：x2+y22x,那么甲是乙的【 】A、 充分不必要條件 B、必要不充分條件 C、充分必要條件 D、既非充分也非必要條件【巧解】數(shù)形結(jié)合法畫示意圖如圖。圓面x2+y22x（包括圓周）被另一個圓面x2+y24包含，結(jié)論不是一目了然了嗎？答案 B例8 已知a,b,c均為正實數(shù)，則三個數(shù)a+, b+, c+與2的關(guān)系是【 】A、都不小于2 B、至少有一個不小于2 C、都不大于2 D、至少有一個不大于2【巧解】整體化思想將a+, b+, c+“化整為零”，得a+b+c+= a+b+c+6，故已知的三個數(shù)中至少有一個不小于2。故選B。答案 B例9 解不等式 1<&

16、lt;1.【巧解】數(shù)軸標根法、等價轉(zhuǎn)化法原不等式等價于 （3x+x2-4)(3x-x2+4)<0，即(x+4)(x-1)(x+1)(x-4)>0,由數(shù)軸標根法，知解集為x|x<-4或-1<x<1或x>4。答案 x|x<-4或-1<x<1或x>4注：可以證明不等式m<<n與不等式f(x)-mg(x)f(x)-ng(x)<0等價。例10 不等式|x+2|x|的解集是_.【巧解】 數(shù)形結(jié)合法由數(shù)軸上點的意義知，上述不等式的意義是數(shù)軸上的點x到-2的距離不小于到原點的距離。由圖形，易知，x-1。答案 x|x-1例11已知c&

17、gt;0，不等式x+|x-2c|>1的解集是R，求c的取值范圍?！厩山狻康葍r轉(zhuǎn)化法要使原不等式的解集為R，只需不等式中不含x即可，故有 x-x+2c>1 c>。答案 c>注：這里將|x-2c|中去絕對值的討論簡化為符合題意的一種，顯然簡捷、精彩！例12已知f(x)=(x-a)(x-b)-2 (a<b),方程 f(x)=0的兩實根為m,nmba2xOn(m<n),試確定a,b,m,n的大小關(guān)系。【巧解】數(shù)形結(jié)合法令g(x)= (x-a)(x-b),則 f(x)=g(x)-2,由f(x)=0得g(x)=2,因此f(x)=0的兩根m,n可看成直線y=2與y=g(x

18、)交點的橫坐標，畫出f(x),g(x)的圖象，由圖象容易得到m<a<b<n.答案 m<a<b<n.例13 若0<a<b<c<d,且a2+d2=b2+c2,求證：a+d<b+c.【巧解】綜合法由0<a<b<c<d,得d-a>c-b,(d-a)2>(b-c)2,又(a+d)2+(a-d)2=(b+c)2+(b-c)2,兩式相減，得(a+d)2<(b+c)2, a+d<b+c.答案 見證明過程注：本題的幾何意義是：在RtABC與RtABD中，其中AB為公共的斜邊。若BC>BD,則A

19、C<AD.例14 求征：1+<2- (n2,nN*).【巧解】逆用公式法、放縮法逆用數(shù)列的前n項和的方法來求。設(shè)想右端2-是某數(shù)列an的前n項和，即令Sn=2-,則n2時，an=Sn-Sn-1=(2-)-(2-)=-=, 這樣問題就轉(zhuǎn)化為<,而這顯然。命題成立。 答案 見證明過程例15 已知a>b>c,求證：+>0.【巧解】放縮法0<a-b<a-c,由倒數(shù)法則（難點巧學(xué)）得>,而>0, +>, 原式得證。答案 見證明過程例16 已知a,b,c均為正數(shù)，求證：3( - )2( - )?！厩山狻勘容^法、基本不等式法 左邊-右邊=2+

20、c-3=+c-33-3=0，原式成立。答案 見證明過程例17 已知-1<a<1, -1<b<1,求證：+.【巧解】構(gòu)造法、綜合法由無窮等比數(shù)列（|q|<1）所有項和公式S=，得 =1+a2+a4+a6+; =1+b2+b4+b6+, +=2+( a2+b2)+( a4+b4)+( a6+b6)+2+2ab+2a2b2+2a3b3+=.QTP(-1,-1)oyx答案 見證明過程例18 已知a+b=1(a,bR)，求證：(a+1)2+(b+1)2?！厩山狻繑?shù)形結(jié)合法。 顯然Q(a,b)是直線L：x+y=1上的點，(a+1)2+(b+1)2表示點Q與P(-1,1)的距離

21、的平方。如圖，設(shè)PT直線L于T，所以|PQ|2|PT|2，又|PT|2=()2=，|PQ|2原式成立。答案 見證明過程例19 若0，求證：cos(sin)>sin(cos).【巧解】單調(diào)性法、放縮法cos+sin=sin(+)<，cos< -sin,又0，cos0,1, -sin-1,， sin(cos)<sin( - sin)= cos(sin).(單調(diào)性)答案 見證明過程例20 已知f(x)=，若a>b>0,c=2,求證：f(a)+f(c)>1.【巧解】基本不等式法、放縮法可以證明f(x)在(0,+)上是增函數(shù)。 c=22=2=>0, c，f

22、(c)f()，而f(a)+f(c)f(a)+f()=+=+>+=1.答案 見證明過程例21 若關(guān)于x的不等式x2+2ax-2b+10與不等式-x2+(a-3)x+b2-10有相同的非空解集，求a,b的值。【巧解】等價轉(zhuǎn)化法,數(shù)形結(jié)合法將y= x2+2ax-2b+1與 y=-x2+(a-3)x+b2-1兩式相加，得 2y=(3a-3)x+b2-2b,此即為直線MN的方程（其中M、N分別為兩函數(shù)圖象與x軸的兩個交點）；另一方面，由題意知，MN即x軸，其方程為y=0,比較兩式的系數(shù)得，3a-3=0,b2-2b=0,從而易得a=1,b=0或2，特別地當a=1,b=0時，兩不等式的解集為-1，也符

23、合題意。答案 a=1,b=0或2。例22設(shè)定義在-2,2上的偶函數(shù)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減，若f(1-m)<f(m),求實數(shù)m的取值范圍?！厩山狻康葍r轉(zhuǎn)化法解：f(x) 是偶函數(shù)，f(-x)=f(x)=f(|x|), f(1-m)<f(m)等價于f(|1-m|)<f(|m|)又當x0,2時，f(x)單調(diào)遞減， |1-m|>|m|且-21-m2且-2m2解得 -1m<。答案 -1m<.注：本題應(yīng)用了偶函數(shù)的一個簡單的性質(zhì)，從而避免了一場“大規(guī)?！钡挠懻?，值得關(guān)注。例23解不等式：< <3.【巧解】構(gòu)造法，定比分點法把、 、3看成是

24、數(shù)軸上的三點A、P、B，由定比分點公式知P分所成的比t>0,即>0,化簡得 x(3x+5)>0, x(-,)(0,+)。答案 x(-,)(0,+)。例24 已知x,y,z均是正數(shù)，且x+y+z=1,求證：+?！厩山狻颗錅惙?、升冪法不等式兩邊配上，再運用均值不等式升冪。（你知道為什么要配 嗎？）+ + + =2， 原式成立。答案 見證明過程例25 設(shè)a,b,c為ABC的三條邊，求證：a2+b2+c2<2(ab+bc+ca).【巧解】綜合法a+b>c,b+c>a,c+a>b,三式兩邊分別乘以c,a,b得ac+bc>c2,ab+ac>a2,bc+

25、ab>b2,三式相加并整理得, a2+b2+c2<2(ab+bc+ca).答案 見證明過程例26 解不等式 + - x3-5x>0.【巧解】構(gòu)造法,綜合法原不等式等價于()3+5()>x3+5x,構(gòu)造函數(shù)f(x)= x3+5x,則原不等式即為f()>f(x)，又f(x)在R上是增函數(shù)，>x,解此不等式得 x<-2或-1<x<1。答案 x| x<-2或-1<x<1.例27已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,bR),x-1,1,求證：|f(x)|的最大值M.【巧解】反證法假設(shè)M<,則|f(x)|<恒成立，-<

26、;f(x)<,即-<x2+ax+b<,令x=0,1,-1,分別代入上式，得 -<b<，-<1-a+b<, -<1+a+b<,由+得-<b<-，這與式矛盾，故假設(shè)不成立，原命題成立。答案 見證明過程例28 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,且方程f(x)=0的兩根x1、x2都在(0,1)內(nèi)，求證:f(0)f(1).【巧解】待定系數(shù)法、基本不等式法因方程有兩個實根為x1,x2,故可設(shè)f(x)=a(x-x1)(x-x2),于是f(0)f(1)=ax1x2·a(1-x1)(1-x2)=a2x1(1-x1)x2(1-x2)

27、a2··。答案 見證明過程例29 若a1、a2、a11成等差數(shù)列，且a12+a112100，求S=a1+a2+a11的最大值和最小值。【巧解】基本不等式法、綜合法(a1+a11)2=a12+2a1a11+a1122(a12+a112)200,|a1+a11|10，又a1、a2、a11成等差數(shù)列,S=a1+a2+a11=(a1+a11), Smax=55，Smin=-55.答案 Smax=55，Smin=-55.例30若0x,y1，求證：+2 等號當且僅當x=y=時成立。Gy=()xFy=()xEy=()xPy=()xDy=()xCy=()xBy=()xAy=()x1-yy=

28、()xyy=()x1-xy=()xxy=()xH【巧解】構(gòu)造法如圖，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，BH=x,AE=y,則HC=1-x,BE=1-y,于是AP=,BP=,DP=, PC=,由AP+PCAC，BP+DPBD，而AC=BD=?？?此時結(jié)論是不是顯然的了？答案 見證明過程例31 設(shè)m是方程ax2+bx+c=0的實根，且a>b>c>0,求證：|m|<1.【巧解】綜合法設(shè)方程的另一根為n,則由韋達定理得m+n=- <0,mn=>0, m,n同為負數(shù)， 1>>|m+n|=|m|+|n|, |m|<1,|n|<1.結(jié)論成立。答案 見證明

29、過程例32 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,bR,a>0),設(shè)方程f(x)=x的兩實根為x1和x2，如果x1<2<x2<4,且函數(shù)f(x)的對稱軸為x=x0,求證：x0>-1.a(,)b【巧解】 數(shù)形結(jié)合法設(shè)g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1,由題意得,即,目標是證明->-1,即<2.如圖作出約束條件下的平面區(qū)域（不含邊界），而表示區(qū)域內(nèi)的點(a,b)與坐標原點連線的斜率，易見<2,故命題成立。答案 見證明過程例33 已知ak1(kN+),求證：a1a2an+(1-a1)(1-a2)(1-an).【巧解】增量法、換元法設(shè)令ak=+bk(0bk)，