第六講工具變量回歸

1、工具變量回歸Ill八OLS經(jīng)典假設(shè)岳有的解釋變量心與隨機誤 差項彼此之間不相關(guān)。Cov（皿 Xi） = 0若解釋變量Xi和Hi相關(guān)，貝！IOLS估計量是非一致的，也就是即使當樣本容量很大時，OLS估|=MB flBk計量也不會接近回歸系數(shù)的真值。當解釋變量和隨機誤差項相關(guān)時，模型存在著 內(nèi)生性問題。在計量經(jīng)濟學(xué)中，把所有與擾動項相關(guān) 的解釋變量都稱為“內(nèi)生變量”。這與 一般經(jīng)濟學(xué)理論中的定義有所不同。廠1。與誤差項相關(guān)的變量稱為內(nèi)生變量 (endogenous variable) o廣2。與誤差項不相關(guān)的變量稱為外生變量(exogenous variable)。因很多，但我們主要考慮如下幾個方

2、面: 曠遺漏變量偏差 曠變量有測量誤差雙向因果關(guān)系。遺漏變量偏差假設(shè)真實的模型為V. = X, 3 +乙乩八Zb 1/2'21 I而實際估計的模型為x- = xiA + ui遺漏變量(omitted vai-inbbs)尤；0被歸入新擾動項色中去了?？紤]以下兩種情形，（1）遺漏變量血與解釋變量殲不相關(guān),即Cov（£“2）二0。在這種情況下,擾動 項冷與解釋變量以不相關(guān)，根據(jù)大樣本理論，OLS依然可以一致地估計何。但由于遺漏變 量曲2被歸入擾動項冷中，可能增大擾動項的方弟，從而影響OLS估計的精確度。（2）遺漏變量如與解釋變量州相關(guān)，即Cov（嗎“2）工0。在這種情況下,根據(jù)大

3、 樣本理論，OLS不再是一致的，其偏差被稱為“遺漏變量偏差” （omittedvariablebias）0這 種偏差在計量實賤中較常見，成為某些實證研究的致命傷。比如，在研究教育投資回報時, 個體的先天能力因為無法觀測血披遺漏，但能力與受教育年限很可能存在正相關(guān)。°變量有測量誤差測量數(shù)據(jù)正確時：假設(shè)方程為：Yi 00 + 0Xi + Hi當存在測量誤差時：方程為：X = 0O + 01 + W所以我們有：X = 0o + 0i 常+ H=00 + 01 常 + 0i（Xi 常）+ UiM = 01（X-施）+ /可知，誤差項中包含 Xi-所以可以得到：如果Coy（Xi 老，老）H0

4、則回歸結(jié)果有偏，非一致我們假設(shè)豬=Xi + Wi則有八(J2XCY 兀 + b wc： lo 由,因此A即使在大樣本下也偏向于o2o回歸的性質(zhì)決定于w的標準差a八(T X(y2W00 0”>22a x +awc八CT xcr2w0 二cr x +cr w雙商因果萸系7之前我們假定因果關(guān)系是從回歸變量到因變 量的（X導(dǎo)致了Y）。但如果因果關(guān)系同時也 是從因變量到一個或多個回歸變量（Y導(dǎo)致 了X）的呢？如果是這樣的話，因果關(guān)系是 向前的也是“向后”的，即存在雙向因果 關(guān)系，如果存在雙向因果關(guān)系，貝!IOLS回歸 中同時包含了這兩個效應(yīng)，因此OLS估計量 是有偏的、非一致的。（“口 - D /

5、= （rn 吆）4。9也+丈乂 + “ 二?x 呦+ X射+唱='A1歸中加入遺漏變，量的方法加以解決，但前提是只有當你有遺漏 變量數(shù)據(jù)時上述方法才可行。廣雙向因果關(guān)系偏差是指如果有時因果關(guān)系是從 X到Y(jié)又從Y到X時，此時僅用多元回歸無法消 除這一偏差。同樣，r變量有測量誤差也無法用我們前面學(xué)過的方法 解決。r因此我們就必須尋找一種新的方法。工具變量(instrumehtabvariable, IV)回 *"" 歸是當回歸變量X與誤差項u相關(guān)時獲得總體回歸方程未知系數(shù)一致估計量的一般方法O 我們經(jīng)常稱其為IV估計。廠其基本思想是:假設(shè)方程是:Yt =金 +直&

6、; +叫，匚=1, 2, , n我們假設(shè)w與X湘關(guān)，則OLS估計量一定是 有偏的和非一致的。工具變量估計是利用另 曠我們的工作就是要尋找相應(yīng)的工具變量將解一個“工具”變量Z將X份離成與u湘關(guān)和不相關(guān)的兩部分。釋變量分解成內(nèi)生變量和外生變量，然后利用兩階段最小二乘法(TSLS)進行估計。工具變量的選取一個有效的工具變量必須滿足稱為工具變量相關(guān) 性和工具變量外生性兩個條件:即(1)工具變量相關(guān)性：工具變量與所替代 的隨機解釋變量高度相關(guān)；Cov(Zi, X)豐 0(2)工具變量外生性：工具變量與隨機誤差 項不相關(guān)；CoV(Ui Zi) = 0么廠兩階段最小二乘估計量曠若工具變量Z滿足工具變量相關(guān)性

7、和外生性的 條件,貝！I可用稱為兩階段最小二乘(TSLS)的 IV估計量估計系數(shù)屍。兩階段最小二乘估計量分兩階段計算：廠第一階段把X分解成兩部分：即與回歸誤差項相關(guān)的1部分以及與誤差項無關(guān)的一部分。r第二階段是利用與誤差項無關(guān)的那部分進行估計。一般IV回歸模型一般IV回歸模型為y< = A)+01X” +直x缸+0屮昭口+介卄w< + %1因變量丫遷2.外生解釋變量W1P W2P .Wrio3內(nèi)生解釋變量X1P X2P .Xkio4我們引入工具變量、Z2P .Zmio第一階段回歸：利用OLS建立每個內(nèi)生變量 (X" X2P .Xki)關(guān)于工具變量(為、Z2P和外生變量(W

8、1P W2P的回歸，并得到所有回歸結(jié)果的擬合值Xhato 第二階段回歸：用Xi_hat取代原有的為，與原有 的外生變量W起進行第二次回歸，得到TSLS 統(tǒng)計量B tsls。注意：工具變量出現(xiàn)在第一階段回歸，但不出 現(xiàn)在第二階段回歸。引入工具變量的個數(shù)=存假設(shè)我們有n個內(nèi)生解釋變量，引入了m個工 具變量，n和m的關(guān)系是什么？n=m恰好識別曠nvm過度識別n>m不可識別曠只有恰好識別和過度識別才能用IV方法估計。f兩階段最小二乘法的st ata命令:I=Jr ivregress 2sls depvar varlistl (varlist2 =instlist)/r/firstr其中,“dep

9、var，為被解釋變量，varlistl為外生解釋變量，varlist2為所有的內(nèi)生解釋變量集合，instlist為工具變量集合。廠選擇項表示使用異方差穩(wěn)健的標準誤，選擇項“first，表示顯示第一階段的回歸。Q工具變量有效性的檢驗廣工具變量相關(guān)性r工具變量相關(guān)性越強，也就是工具變量能解釋越多 的X變動，則：IV回歸中能用的信息就越多，因此利用 相關(guān)性更強的工具變量得到的估計量也更精確Or弱工具變量：如果雖然Cov(Zi. Xi)主0 c但是 Cov(Zi, X) q 0 r弱工具變量幾乎不能解釋X的變動。弱工具變量檢驗準則r 1.偏R2 (Shea's partial R2)廣含義：在

10、第一階段回歸中，在控制外生變量 影響的前提下，看其它變量對某內(nèi)生變量的 解釋力，或者說，在第一階段回歸中，剔除 掉外生變量的影響。曠2最小特征值統(tǒng)計量F：經(jīng)驗上F應(yīng)該大于10。Stata命令：r estat firststagezall forcenonrobust廣 3 Cragg-Donald Wald F 統(tǒng)計量 r 4 Kleibergen-Paap Wald rk F 統(tǒng)計量”r Stata命令：ivreg2=J廣1.如果有很多工具變量，有部分強工具變量和部分 弱工具變量，可以舍棄較弱的工具變量而選用相關(guān)性 較強的工具變量子集。在stata中，可以使用ivreg2 命令進行“冗余檢驗

11、”，以決定選擇舍棄哪個工具變 量。（直觀上，冗余工具變量是那些第一階段回歸中 不顯著的變量。）2.如果系數(shù)是恰好識別的，則你不能略去弱工具變量。在這種情況下，有兩個選擇: 廣第一個選擇是尋找其他較強的工具變量。（難度較大） 第二個選擇是利用弱工具變量繼續(xù)進行實證分 析，但采用的方法不再是TSLS。而是對弱工 具變量不太敏感的有限信息極大似然法(LIML)o在大樣本下，LIML與2SLS是漸近 等價的，但在存在弱工具變量的情況下，LIML的小樣本性質(zhì)可能優(yōu)于2SLS。LIML的Stata命令為 ivregress liml depvar varlistl (varlist2 =instlist)

12、Q工具變量外生性的檢驗=廣剛才我們提到：只有恰好識別和過度識別才 能用IV方法估計。=1=1曠一個很重要的命題是：只有過度識別情況下 才能檢驗工具變量的外生性，而恰好識別情 況下無法檢驗。廣基本思想:假設(shè)有一個內(nèi)生回歸變量，兩個工具變量且沒 有包含的外生變量。則你可以計算兩個不同的 TSLS估計量：其中一個利用第一個工具變量， 而另一個利用第二個工具變量。由于抽樣變異 性，這兩個估計量不會相同，但如果兩個工具 變量都是外生的，則這兩個估計量往往比較接 近。如果由這兩個工具變量得到估計非常不同, 則你可以得出其中一個或兩個工具變量都有內(nèi) 生性問題的結(jié)論。識別標準：廠Sargan統(tǒng)計量 廣J統(tǒng)計量

13、 廣C統(tǒng)計量 曠過度識別檢驗的Statar estat over id命令:曠豪斯曼檢驗 廠原假設(shè)為: 廠H0 :所有解釋變量均為外生變量reg y xl x2est store ols廣 ivregress 2sls y xl (x2=zl z2) est store ivr hausman iv olsz sigmamore=j=1力上述檢驗的缺點是，它假設(shè)在HO成立的情況三 下，OLS最有效率。但如果存在異方差， OLS并不最有效率(不是BLUE)O故傳統(tǒng)的 豪斯曼檢驗不適用于異方差的情形。了此時可以使用杜賓-吳-豪斯曼檢驗(DWH), 該檢驗在異方差的情況下也適用，更為穩(wěn)健。stata

14、 命令：r estat endogenous廣義矩估計法？ GMM基本思想：求解如下一般化目標函數(shù)，使之最小化J(b_GMM) = n*g(b_GMM),*W*g(b_GMM)其中，W為權(quán)重矩陣 廣在球型擾動項的假定下，2SLS是最有效的。但如果擾動項存在異方差或自相關(guān)，則廣義矩估計方法效 果更好。r GMM方法又分為兩步GMM法和迭代GMM方法。曠有關(guān)GMM的Stata命令為r ivregress gmm y xl （x2=zl z2）（兩步 GMM）r ivregress gmm y xl （x2=zl z2）figmm （迭代GMM）r estat overid （過度識別檢驗）Minc

15、er (1958)最早研究了工資與受教育年限的正相關(guān)關(guān)系，但遺漏了 “能力”這個變量，導(dǎo)致遺漏變量偏差。針對美國面板調(diào)查數(shù)據(jù)中的年輕男子組群(Young Men5sCohort of the National Longitudinal Survey,簡記 NLS-Y), Griliches (1976) 采用工具變量法對遺漏變量問題進行了校正O Blackburn and Neumark (1992)更新r 了 Griliches (1976)的數(shù)據(jù)，即這個例子中 將要使用的數(shù)據(jù)集grilic.dta。力該數(shù)據(jù)集中包括以下變量:（工資對數(shù)rH|S（受教育年限），age（年齡），exp（工齡），

16、 tenure（在現(xiàn)革位的工作年數(shù)），iq（智商）， med（母親的受教育年限），kww（社“knowledge of the World of Work”測試中的成績），mrt（婚姻虛擬變量，已婚"）， ns（美國南方虛擬變量，住在南方=1）, smsa（大城市虛擬變量，住在大城市=1）, year （有數(shù)據(jù)的最早年份，19661973年中 的某一年）。LU.。這是一個兩期面板數(shù)據(jù)，初始期為當以上變量 有數(shù)據(jù)的最早年份，結(jié)束期為1980年。不帶 80字樣的變量名為初始期，帶80字樣的變量名為1980年數(shù)據(jù)。比如，iq指的是初始期的 智商，而lw80指的是1980年的工資對數(shù)。use

17、 grilic.dta,clear sumr (2)考察智商與受教育年限的相關(guān)關(guān)系。pwcorr iq szsig (3)建立如下方程:Zw80 = 0S8O + 02 exp r80 + j33tenure80 + wreg lw80 s80 expr80 tenure80刖我們發(fā)現(xiàn)了如下問題；'rlo遺漏變量問題：認為方程遺漏了 “能力” 這個變量，加入iq （智商）作為“能力”的代 理變量。reg lw80 s80 iq expr80 tenure80在誤差。3。變量內(nèi)生性問題：S80可能與擾動項中除“能力” 以外的其他因素相關(guān)，因此是內(nèi)生變量。解決方法：引入四個變量med，kw

18、w, mrt, age, 作為內(nèi)生解釋變量iq與s80的工具變量。r然后使用TSLS方法進行回歸。ivregress 2sls lw80 expr80 tenure80 (s80 iq=med kww mrt age), first廣使用兩步GMM oivreg (s80ress gmm lw80 expr80 tenure80 iq=med kww mrt age)廠使用迭代GMM oivreg (s80ress gmm lw80 expr80 tenure80 iq=med kww mrt age)zigrnm-勺幾點注意事“ Srio first選項的目的是顯示TSLS第一階段的 結(jié)果，

19、如果省略，則僅顯示第二階段的結(jié)果。曠2。命令的用法比較嚴格，將被解釋變量和 所有外生解釋變量放到括號外面，內(nèi)生解釋 變量放到括號里面，等號后面為所有工具變r3o 2SLS只能通過stata完成，利用定義手 動計算的結(jié)果是錯誤的，因為殘差序列是錯 誤的。的工具變量，而是給所有內(nèi)生變量指定一系列工具變量O 廣5。所有外生變變量都作為自己的工具變量。 曠6。為了檢驗工具變量的外生性，本題為過度 識別。<7o在大樣本下，IV估計是一致的，但在小 樣本下，IV估計并非無偏估計量，有些情況 下偏誤可能很嚴重。鄉(xiāng)X弱工具變量檢驗=;廣檢驗方法：rlo初步判斷可以用偏R2（partial IV）（剔除掉

20、模型中原有外生變量的影響）。2o Minimum eigenvalue statistic（最小 特征值統(tǒng)計量），經(jīng)驗上此數(shù)應(yīng)該大于10。 這個方法類似于與書上的“第一階段F統(tǒng)計O么乞壬宣變量外生性礎(chǔ)曠我們一般稱為過度識別約束J檢驗。廣檢驗工具變量是否與干擾項相關(guān)，即工具變量 是否為外生變量。TSLS根據(jù)Sargan統(tǒng)計量進行過度識別檢驗。 命令為：estat overid 檢驗工具變量的外H0：所有工具變量都是外生的。H1：至少有一個工具變量不是外生的，與擾 動項相關(guān)。ivregress 2sls lw80 expr80 tenure80 (s80 iq=med kww mrt age)f

21、firstestat firststagefall forcenonrobustestat firststage estat overid么廠究竟該用OLS還是IV曠解釋變量是否真的存在內(nèi)生性？假設(shè)能夠找到方程外的工具變量。廣1。如果所有解釋變量都是外生變量，貝！IOLS比IV更有效。在這種情況下使用IV,雖然估 計量仍然是一致的，會增大估計量的方差。2O如果存在內(nèi)生解釋變量，則OLS是不一 致的，而IV是一致的。檢驗方法：豪斯曼檢驗檢驗二* 曠豪斯曼檢驗(Hausman specification test) HO：所有解釋變量均為外生變量。Hl：至少有一個解釋變量為內(nèi)生變量。quietly

22、 reg lw80 s80 expr80 tenure80 iq est store olsquietly ivregress 2sls lw80 expr80 tenure80 (s80 iq=med kww mrt age) est store ivhausman iv olsIw = 0S + 02 exp r + tenure + J34rns + /35smsa + wreg Iw s expr tenure rns smsa,r引入智商(iq)作為“能力”的代理變量，再 進行OLS回歸。reg Iw s iq expr tenure rns smsafr7 r(2)由于用iq來度量

23、能力存在“測量誤差”, 敲iq是內(nèi)生交量，考慮使用變量(me* kww, mrt, age)作為iq的工具變量，建行2SLS回 歸，并使用穩(wěn)健標準誤。r ivregress 2sls lw s expr tenure rns smsa (iq=med kww mrt age)fr first廣(3)進行過度識別檢驗，考察是否所有工具變量均外生，即與擾動項不相關(guān)。r estat overid/ (4)我們懷疑(m九age)不滿足外生性，故使用C統(tǒng)計量檢驗這兩個工具變量的外生性。findit ivreg2廠 ivreg2 lw s expr tenure rns smsa (iq=med kww

24、mrt age)zr orthog(mrt age)f (5)考慮僅使用變量(med丿kww)作為iq的 工具變量，再次進行2SLS回歸。ivregress 2sls lw s expr tenure rns smsa (iq=med kww),r first2再次進行過度識別檢驗：estat overidr(6)弱工具變量檢驗estat firststage,all forcenonrobust廠(7)為了穩(wěn)健起見，下面使用對弱工具變量更 不敏感的有限信息最大似然法(LIML)：ivregress liml lw s expr tenure rns smsa (iq=med kww),rf ' (8)進一步考察翡工具變量問題，對工具變 量kww進行冗奈檢驗r ivreg2 lw s expr tenure rns smsa (iq=med kww)fr redundant(kww)廣(9)利用豪斯曼檢驗判斷是否存在內(nèi)生解釋 變量。廣 qui reg lw iq s expr tenure rns smsa rest store olslrqui ivregress 2sls lw s expr tenure rns smsa (iq=med kww)estimates store ivl么No）由于穆統(tǒng)的豪斯曼檢驗在異方差的情形*