文科一輪學(xué)學(xué)案53平面向量的數(shù)量積

1、第二章 函數(shù)與基本初等函數(shù)學(xué)案5.3 平面向量的數(shù)量積自主預(yù)習(xí)案 自主復(fù)習(xí) 夯實(shí)基礎(chǔ)【雙基梳理】1.兩個(gè)向量的夾角(1)定義已知兩個(gè) 向量a，b，作a，b，則 稱作向量a和向量b的夾角，記作a，b.(2)范圍向量夾角a，b的范圍是0，且a，bb，a.(3)向量垂直如果a，b，則a與b垂直，記作ab.2.向量在軸上的正射影已知向量a和軸l(如圖)，作a，過(guò)點(diǎn)O，A分別作軸l的垂線，垂足分別為O1，A1，則向量叫做向量a在軸l上的正射影(簡(jiǎn)稱 )，該射影在軸l上的坐標(biāo)，稱作a在軸l上的 或在軸l的方向上的 .a在軸l上正射影的坐標(biāo)記作al，向量a的方向與軸l的正向所成的角為，則由三角函數(shù)中的余弦定

2、義有al|a|cos .3.向量的數(shù)量積(1)平面向量的數(shù)量積的定義|a|b|cosa，b叫做向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b|a|b|cosa，b.(2)向量數(shù)量積的性質(zhì)如果e是單位向量，則a·ee·a|a|cosa，e；aba·b0；a·a|a|2，|a|；cosa，b (|a|b|0)；|a·b| |a|b|.(3)數(shù)量積的運(yùn)算律交換律：a·bb·a.對(duì)R，(a·b)(a)·ba·(b).分配律：(ab)·ca·cb·c.

3、(4)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a(a1，a2)，b(b1，b2)，則a·b 2；ab ；|a|；cos a，b.【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量.()(2)向量在另一個(gè)向量方向上的正射影為數(shù)量，而不是向量.()(3)在四邊形ABCD中，且·0，則四邊形ABCD為矩形.()(4)兩個(gè)向量的夾角的范圍是0，.()(5)由a·b0可得a0或b0.()(6)(a·b)ca(b·c).()考點(diǎn)探究案 典例剖析 考點(diǎn)突破考點(diǎn)一 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例1(

4、1)(2015·四川)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|6，|4，若點(diǎn)M，N滿足3，2，則·等于()A.20 B.15 C.9 D.6(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為 ；·的最大值為 .變式訓(xùn)練：(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB8，AD5，3，·2，則· .(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則· . 考點(diǎn)二 用數(shù)量積求向量的模、夾角命題點(diǎn)1求向量的模例2(1)已知向量a，b均為單位向量，它們的夾角為，則|ab|等于()A.1 B.C. D.2(2)(2014&#

5、183;湖南)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，動(dòng)點(diǎn)D滿足|1，則|的最大值是 .命題點(diǎn)2求向量的夾角例3(1)(2015·重慶)若非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為()A. B.C. D.(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是 . 變式訓(xùn)練：(1)已知單位向量e1與e2的夾角為，且cos ，向量a3e12e2與b3e1e2的夾角為，則cos .(2)在ABC中，若A120°，·1，則|的最小值是()A. B.2C. D.6考點(diǎn)三：

6、平面向量與三角函數(shù)例4(2015·廣東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值. 變式訓(xùn)練：已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量(3sin ，cos )，(2sin ，5sin 4cos )，且，則tan 的值為()A. B.C. D.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)：1.已知向量a與b的夾角為30°，且|a|1，|2ab|1，則|b|等于()A. B. C. D.2.(2015·山東)已知菱形ABCD 的邊長(zhǎng)為a，ABC60°，則·等于()A.a2 B.a2C.a2 D.a2 3.已

7、知單位向量e1，e2的夾角為，且cos ，若向量a3e12e2，則|a| .4.已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若()，則與的夾角為 .5.(教材改編)已知|a|5，|b|4，a與b的夾角120°，則向量b在向量a方向上的正射影的數(shù)量為 .鞏固提高案 日積月累 提高自我1.若向量a，b滿足|a|b|2，a與b的夾角為60°，則|ab|等于()A.2 B.2C.4 D.122.已知向量a(1，)，b(3，m).若向量a，b的夾角為，則實(shí)數(shù)m等于()A.2 B.C.0 D.3.設(shè)向量e1，e2是夾角為的單位向量，若a3e1，be1e2，則向量b在a方向上的正射影的數(shù)量為()A.

8、B. C. D.14.若O為ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足()·(2)0，則ABC的形狀為()A.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形5.ABC的外接圓圓心為O，半徑為2，0，且|，則在方向上的正射影的數(shù)量為()A.1 B.2 C. D.36.在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM3，點(diǎn)P在AM上，且滿足2，則·()的值為 .7.如圖，在ABC中，O為BC中點(diǎn)，若AB1，AC3，60°，則| .8.在ABC中，若···，則點(diǎn)O是ABC的 (填“重心”、“垂心”、“內(nèi)心”、“外心”).9.已知|a|4，|b|3，(2a3

9、b)·(2ab)61.(1)求a與b的夾角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面積.10.在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且m·n.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的正射影的數(shù)量.學(xué)案5.3 平面向量的數(shù)量積自主預(yù)習(xí)案 自主復(fù)習(xí) 夯實(shí)基礎(chǔ)【雙基梳理】1.兩個(gè)向量的夾角(1)定義已知兩個(gè)非零向量a，b，作a，b，則AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作a，b.(2)范圍向量夾角a，b的范圍是0，且a，bb，a.(3)向量垂直如果a，b，則a與b垂

10、直，記作ab.2.向量在軸上的正射影已知向量a和軸l(如圖)，作a，過(guò)點(diǎn)O，A分別作軸l的垂線，垂足分別為O1，A1，則向量叫做向量a在軸l上的正射影(簡(jiǎn)稱射影)，該射影在軸l上的坐標(biāo)，稱作a在軸l上的數(shù)量或在軸l的方向上的數(shù)量.a在軸l上正射影的坐標(biāo)記作al，向量a的方向與軸l的正向所成的角為，則由三角函數(shù)中的余弦定義有al|a|cos .3.向量的數(shù)量積(1)平面向量的數(shù)量積的定義|a|b|cosa，b叫做向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b|a|b|cosa，b.(2)向量數(shù)量積的性質(zhì)如果e是單位向量，則a·ee·a|a|cosa，e

11、；aba·b0；a·a|a|2，|a|；cosa，b (|a|b|0)；|a·b| |a|b|.(3)數(shù)量積的運(yùn)算律交換律：a·bb·a.對(duì)R，(a·b)(a)·ba·(b).分配律：(ab)·ca·cb·c.(4)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a(a1，a2)，b(b1，b2)，則a·ba1b1a2b2；aba1b1a2b20；|a|；cos a，b.【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果

12、是向量.()(2)向量在另一個(gè)向量方向上的正射影為數(shù)量，而不是向量.(×)(3)在四邊形ABCD中，且·0，則四邊形ABCD為矩形.(×)(4)兩個(gè)向量的夾角的范圍是0，.(×)(5)由a·b0可得a0或b0.(×)(6)(a·b)ca(b·c).(×)考點(diǎn)探究案 典例剖析 考點(diǎn)突破考點(diǎn)一 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例1(1)(2015·四川)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|6，|4，若點(diǎn)M，N滿足3，2，則·等于()A.20 B.15 C.9 D.6(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E

13、是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為 ；·的最大值為 .答案(1)C(2)11解析(1)，·(43)·(43)(16292)(16×629×42)9，故選C.(2)方法一以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，設(shè)E(t,0)，t0,1，則(t，1)，(0，1)，所以·(t，1)·(0，1)1.因?yàn)?1,0)，所以·(t，1)·(1,0)t1，故·的最大值為1.方法二由圖知，無(wú)論E點(diǎn)在哪個(gè)位置，在方向上的正射影都是，

14、83;|·11，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，在方向上的正射影的數(shù)量最大即為DC1，(·)max|·11.變式訓(xùn)練：(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB8，AD5，3，·2，則· .(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則· .答案(1)22(2)2解析(1)由3，得，.因?yàn)?#183;2，所以()·()2，即2·22.又因?yàn)?25，264，所以·22.(2)由題意知：·()·()()·()2·24022. 考點(diǎn)二 用數(shù)量積求向量的模、夾角命題點(diǎn)1求向量的

15、模例2(1)已知向量a，b均為單位向量，它們的夾角為，則|ab|等于()A.1 B.C. D.2(2)(2014·湖南)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，動(dòng)點(diǎn)D滿足|1，則|的最大值是 .答案(1)C(2)1解析(1)因?yàn)橄蛄縜，b均為單位向量，它們的夾角為，所以|ab| .(2)設(shè)D(x，y)，由(x3，y)及|1知(x3)2y21，即動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為以點(diǎn)C為圓心的單位圓.又O(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓(x3)2y21上的點(diǎn)與點(diǎn)P(1，)的距離的最大值.圓心C(3,0)與點(diǎn)P(1，)之間的距離為，故的最大值為1.命題

16、點(diǎn)2求向量的夾角例3(1)(2015·重慶)若非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為()A. B.C. D.(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是 .答案(1)A(2)解析(1)由(ab)(3a2b)得(ab)·(3a2b)0，即3a2a·b2b20.又|a|b|，設(shè)a，b，即3|a|2|a|·|b|·cos 2|b|20，|b|2|b|2·cos 2|b|20，cos .又0，.(2)2a3b與c的夾角為鈍角，(2a3b)·c0，

17、即(2k3，6)·(2,1)0，4k660，k3.又若(2a3b)c，則2k312，即k.當(dāng)k時(shí)，2a3b(12，6)6c，即2a3b與c反向.綜上，k的取值范圍為. 變式訓(xùn)練：(1)已知單位向量e1與e2的夾角為，且cos ，向量a3e12e2與b3e1e2的夾角為，則cos .(2)在ABC中，若A120°，·1，則|的最小值是()A. B.2C. D.6答案(1)(2)C解析(1)|a| 3，|b| 2，a·b(3e12e2)·(3e1e2)9e9e1·e22e99×1×1×28，cos .(2)&

18、#183;1，|·|·cos 120°1，即|·|2，|2|222·22|·|2·6，|min.考點(diǎn)三：平面向量與三角函數(shù)例4(2015·廣東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值.解(1)因?yàn)閙，n(sin x，cos x)，mn.所以m·n0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因?yàn)閨m|n|1，所以m·ncos，即sin xcos x，所以sin，因?yàn)?/p>

19、0<x<，所以<x<，所以x，即x. 變式訓(xùn)練：已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量(3sin ，cos )，(2sin ，5sin 4cos )，且，則tan 的值為()A. B.C. D.答案A解析由題意知6sin2cos ·(5sin 4cos )0，即6sin25sin cos 4cos20，上述等式兩邊同時(shí)除以cos2，得6tan25tan 40，由于，則tan 0，解得tan ，故選A.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)：1.已知向量a與b的夾角為30°，且|a|1，|2ab|1，則|b|等于()A. B. C. D.答案C解析由題意可得a·b|b|cos 30

20、76;|b|,4a24a·bb21，即42|b|b21，由此求得|b|，故選C.2.(2015·山東)已知菱形ABCD 的邊長(zhǎng)為a，ABC60°，則·等于()A.a2 B.a2C.a2 D.a2 答案D解析如圖所示，由題意，得BCa，CDa，BCD120°.BD2BC2CD22BC·CD·cos 120°a2a22a·a×3a2，BDa.·|cos 30°a2×a2.3.已知單位向量e1，e2的夾角為，且cos ，若向量a3e12e2，則|a| .答案3解析|a|2

21、a·a(3e12e2)·(3e12e2)9|e1|212e1·e24|e2|2912×1×1×49.|a|3.4.已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若()，則與的夾角為 .答案90°解析由()可知點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，即BC為圓O的直徑，又因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角為直角，所以BAC90°，所以與的夾角為90°.5.(教材改編)已知|a|5，|b|4，a與b的夾角120°，則向量b在向量a方向上的正射影的數(shù)量為 .答案2解析由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的正射影的數(shù)量為|b|cos 4×cos 12

22、0°2.鞏固提高案 日積月累 提高自我1.若向量a，b滿足|a|b|2，a與b的夾角為60°，則|ab|等于()A.2 B.2C.4 D.12答案B解析|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 60°442×2×2×12，|ab|2.2.已知向量a(1，)，b(3，m).若向量a，b的夾角為，則實(shí)數(shù)m等于()A.2 B.C.0 D.答案B解析a·b(1，)·(3，m)3m，a·b××cos ，3m××cos ，m.3.設(shè)向量e1，e2是夾角為的單位向量，若a3e

23、1，be1e2，則向量b在a方向上的正射影的數(shù)量為()A. B. C. D.1答案A解析向量e1，e2是夾角為的單位向量，|e1|e2|1，e1·e21×1×cos .又|a|3e1|3，a·b3e1·(e1e2)3e3e1·e233×，向量b在a方向上的正射影的數(shù)量為.故選A.4.若O為ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足()·(2)0，則ABC的形狀為()A.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形答案C解析因?yàn)?)·(2)0，即·()0，所以()·()0，即|，所以A

24、BC是等腰三角形，故選C.5.ABC的外接圓圓心為O，半徑為2，0，且|，則在方向上的正射影的數(shù)量為()A.1 B.2 C. D.3答案C解析如圖，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，由0，得2，點(diǎn)A、O、D共線且|2|，又O為ABC的外心，AO為BC的中垂線，|2，|1，與的夾角為30°，|cos 30°，在方向上的正射影的數(shù)量為.6.在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM3，點(diǎn)P在AM上，且滿足2，則·()的值為 .答案4解析由題意得，AP2，PM1，所以·()·22×2×1×cos 180°4.7.如圖，在ABC中，O為BC中點(diǎn)，若AB1，AC3，60°