定積分和微積分基本定理知識點及題型歸納總結

1、定積分和微積分基本定理知識點及題型歸納總結知識點精講一、基本概念1. 定積分的極念般地，設函效/(X)在區(qū)間a, b上連續(xù).用分點a = x0 <xi<x2<-<xi_l <x,=b將區(qū)間a,b等分成"個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為(* = 2二空)，在每個小區(qū)間XgX,上任取一點 n刃n h a§(i = l,2,/),作和式：S“ = D3c= 工當無限接近于0 (亦即A?T*o) j=l1=1 "時，上述和式s “無限趨近于常數(shù)S,那么稱該常數(shù)S為函數(shù)于(x)在區(qū)間ci,b ±的定積分.記為：S = ：/(xMx,于(兀)

2、為被積函數(shù)，尤為積分變量，&上為積分區(qū)間，b為積分上限，a為積分下限.需要注意以下幾點：(1) 定積分j(x)dx是一個常數(shù)，即S”無限趨近的常數(shù)S 5t2時)，稱為fx)dx，而不是S”.(2) 用定義求定積分的一般方法.n h _ a分割：”等分區(qū)間ayb ；近似代替：取點兀十兀;求和：工 /()；取極限： /=1 n(3) 曲邊圖形面積：S = f(x)dx；變速運動路程S = pv(r>/r；變力做功S =F(x)心2. 定積分的幾何意義從幾何上看，如果在區(qū)間a,b上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有/(x)>0,那么定積分j(x)dx表示由直線x = a,x = b(ab),

3、y = 0和曲線y = f(x)所圍成的曲邊梯形(如圖3-13中的陰影部分所示)的面積，這 就是定積分£7( 的幾何意義.一般情況下，定積分f(x)dx的值的幾何意義是介于x軸、函數(shù)于(切的圖像以及直線x = a,x=b之 間各部分面積的代數(shù)和，在x軸上方的面積取正號，在x軸下方的面積取負號.二、基本性質性質 1 jhldx = b-a.性質2 kf(x)dx = k f(x)dx (其中R是不為0的常數(shù))(定積分的線性性質).性質 3 £Z(x)i(x)dx = £/(x)dx±£ f2(x)dx (定積分的線性性質).性質4 f(x)dx=

4、 P fx)dx+ C fx)dx (其中a <c<b)(定積分對積分區(qū)間的可加性)JaJaJc推廣 1 bfM±f2(x)±-± fm(x)dx = f/；(x)dx± f6 f2(x)dx±.± f" fm(x)JaJaJ aa推廣 2 J fx)dx = j * /(x)t/r+j ' f(x)dx+ + j fx)dx .三、基本定理設函數(shù)于(兀)是在區(qū)間a,b上連續(xù)，且F(x)是于(x)是在a.b ±的任意一個原函數(shù)，即 F (%) = /(%),則 Jba fx)dx = F(b)-

5、F(a),或記為 ba f x)dx = Fx) = F(b)-F(a),稱為牛頓一 萊布尼茲公式，也稱為微積分基本定理.該公式把計算定積分歸結為求原函數(shù)的問題，只要求出被積函數(shù)/(x)的一個原函數(shù)F(x).然后計 算原函數(shù)F(x)在區(qū)間a,b上的增量F(b)-F(a)即可，這一定理提示了定積分與不定積分之間的內在聯(lián) 系題型歸納及思路提示題型1定積分的計算思路提示對于定積分的計算問題，若該定積分具有明顯的幾何意義，如圓的面積等(例及其變式)，則利用圓面積計算，否則考慮用牛頓-萊布尼茨公式計算.例計算( x2 4- siii x)dx =.A. B. C. D.變式1J；撲=()A. -2111

6、2 B. 21n2 C. -In2 D. 1112 變式 2 (ex + 2x)dx = )Be-1. C. e D. e+1變式 3 設函數(shù)/(x) = oy24-c(<70),若f(x)dx= /(x0) (O<xo <1),則兀的值為變式4設函數(shù)y = /(x)的定義域為R,若對于給定的正數(shù)R,k, f(x)<kf(x)9 f(x)>k當函數(shù)/(劇二丄,k = 1時，定積分fk(x)dx的值為( )A. 21112+2 B. 21112-1 C. 21n2 D. 21112+1例根據(jù)定積分的幾何意義計算下列定積分(1) £(2-x) Jx； (2)

7、 f i Jl_Fdx分析根據(jù)定積分的幾何意義，利用圖形的面積求解.解析根據(jù)定積分的幾何意義，所求的定積分是直線所圍成圖形(如圖314所示)的面積的代數(shù)和，很顯 然這是兩個面積相等的等腰直角三角形，如圖3-14所示，其面積代數(shù)和是0,故(2 x)dx = O.圖 3-14、圖 3-15(2)根據(jù)定積分的幾何意義，所求的定積分是曲線x2 + y2=l(y>0)和X軸圍成圖形(如圖3-15所示)的面積，顯然是半個單位圓，其面積是蘭，故4idx=-.2 兒2評注定積分的幾何意義是函數(shù)和直線x = a,x = b以及X軸所圍成的圖形面積的代數(shù)和，面積是正值，但積分值卻有正值和負值之分，當函數(shù)時，

8、/(x)>0面積是正值，當函數(shù)f(x)vO時，積分值是負 值.3/T(4) j* ； sin.xdx.4變式1根據(jù)定積分的幾何幾何意義計算下列定積分.(1) £ (x + 2)Jx；(2) J y4-x2dx ；(3) £ sillxdx ；題型52求曲邊梯形的面積思路提示函數(shù)y = f(x),y = g(x)與直線x = a,x = b (a <b)圍成曲邊梯形的面積為 S = J：|f(x) g(x)|dx,具體思路是：先作出所涉及的函數(shù)圖象，確定出它們所圍成圖形的上、下曲線所對應函數(shù)，被積函數(shù)左、右邊界分別是積分下、上限. 例由曲線y = x2, y =

9、x5圍成的封閉圖形的面積為（）兀=0或y = 1,則由y = F 和y = x圍成的封閉圖形的面積為1 2.有一條直線與拋物線y = F相交于A, B兩點，線段AB與拋物線所圍成圖形的面積恒等于扌，求丄，故選A.變式1 （2012湖北理3）0 3 412已知二次函數(shù)y = /（x）的圖象如圖3-16所求，則它與x軸所圍成圖形的面積為()7tD.A. B. - C.-1yQ1 、03-17變式2由曲線y = F和直線x=0,x=l,y = r2,re（0,l）所圍成的圖形（如圖3-17中陰影部分所示）面積的最小值為（）A. -B. -C. -D.-3324變式3求拋物線y2=4x與y =4圍成的

10、平面圖形的面積.變式4求由兩條曲線y = 4x2,y = -x2和直線y = 4所圍成的面積.最有效訓練題1. 已知函數(shù)/(x) = x2-2x-3,則f/(x)dr=(A. -2“16“ 16B.D.332. 定積分 訛-(2)龍一2，托、小龍一 1A, B.1 C.4243.x1 線段AB的中點P的軌跡方程., xeO,l2 x, x G (1,23 45A. - B. - C. - D.不存在4 564.£ xdx, = £ exdx, £ sinxdx ,則 a,b,c 的大小關系是(A, a <c <b B. a <b<c C. c <b<a D. c <a<b5. 曲線j = sinx, y = cosx與直線x = O,x =彳所圍成的平面區(qū)域的面積為(A, 1 B. 2 C. >/2-l D. 2(血-1)6. 由直線x = -j,x = j,y = 0與曲線y = cos&所圍成的平面圖形的面積為( A,丄 B. 1 C. D.2 27. 拋物線y2=2x與直線y = 4-x圍成的平面圖形的面積為.8. 已知于(兀)是偶函數(shù)，且f(x)dx = 6,則f(x)dx =9. (2-|l-x|陽10.已知函數(shù)y = f(x)的圖象是折線段A