復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)建模與控制研究報(bào)告——BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的牽制控制

1、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)建模與控制期末研究報(bào)告BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的牽制控制 姓名： 學(xué)號(hào)： 專(zhuān)業(yè)：摘要本文首先簡(jiǎn)要介紹了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)知識(shí)，其次構(gòu)造了一個(gè)BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并給出了網(wǎng)絡(luò)的具體結(jié)構(gòu)參數(shù)；然后以構(gòu)造的BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)為研究對(duì)象，分析了耦合強(qiáng)度、牽制密度以及牽制強(qiáng)度三個(gè)參數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響；最后，分析和比較了特定牽制控制和隨機(jī)牽制控制策略對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響。20目錄摘要1目錄21 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)介31.1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的介紹31.2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的常見(jiàn)網(wǎng)絡(luò)模型31.2.1 規(guī)則網(wǎng)絡(luò)模型31.2.2 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型31.2.3 小世界網(wǎng)絡(luò)模型41.2.4 無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型41.3 網(wǎng)絡(luò)牽制控制52 牽制控制穩(wěn)定性條件5

2、3 BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)造54 不同參數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響84.1 對(duì)網(wǎng)絡(luò)施加牽制控制84.1.1 Lorenz系統(tǒng)84.1.2 BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程94.2 耦合強(qiáng)度對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響94.3 牽制密度對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響124.4 牽制強(qiáng)度對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響145 不同控制方法對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響156 總結(jié)191 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)介1.1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的介紹復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是具有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和/或具有復(fù)雜的節(jié)點(diǎn)行為的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的復(fù)雜性主要體現(xiàn)在：結(jié)構(gòu)復(fù)雜性、節(jié)點(diǎn)復(fù)雜性、結(jié)構(gòu)與節(jié)點(diǎn)之間的相互影響、網(wǎng)絡(luò)之間的相互影響。人們生活在一個(gè)充滿(mǎn)著各種各樣的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的世界中，例如：生命科學(xué)領(lǐng)域的各種網(wǎng)絡(luò)（如細(xì)胞

3、網(wǎng)絡(luò)、蛋白質(zhì)蛋白質(zhì)作用網(wǎng)絡(luò)、蛋白質(zhì)折疊網(wǎng)絡(luò)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生態(tài)網(wǎng)絡(luò)）、Internet/WWW網(wǎng)絡(luò)、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)、流行性疾病的傳播網(wǎng)絡(luò)、科學(xué)家合作網(wǎng)絡(luò)、語(yǔ)言學(xué)網(wǎng)絡(luò)，等等。人類(lèi)社會(huì)的網(wǎng)絡(luò)化是一把雙刃劍：它既給人類(lèi)社會(huì)的生產(chǎn)與生活帶來(lái)了極大的便利，提高了生產(chǎn)效率和生活水準(zhǔn)，但也帶來(lái)了一定的負(fù)面沖擊，如局部動(dòng)蕩或傳染病等更容易向全球擴(kuò)散。學(xué)術(shù)界關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究方興未艾。特別是國(guó)際上有兩項(xiàng)開(kāi)創(chuàng)性工作掀起了一股不小的研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的熱潮。一是1998年Watts和Strogatz在Nature雜志上發(fā)表文章，引入了小世界(Small-World)網(wǎng)絡(luò)模型，以描述從完全規(guī)則網(wǎng)絡(luò)到完全隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)變。小世界網(wǎng)絡(luò)既具

4、有與規(guī)則網(wǎng)絡(luò)類(lèi)似的聚類(lèi)特性，又具有與隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)類(lèi)似的較小的平均路徑長(zhǎng)度。二是1999年Barabási和Albert在Science上發(fā)表文章指出，許多實(shí)際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的連接度分布具有冪律形式。由于冪律分布沒(méi)有明顯的特征長(zhǎng)度，該類(lèi)網(wǎng)絡(luò)又被稱(chēng)為無(wú)標(biāo)度(Scale-Free)網(wǎng)絡(luò)。1.2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的常見(jiàn)網(wǎng)絡(luò)模型1.2.1 規(guī)則網(wǎng)絡(luò)模型比較常見(jiàn)的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)有全局耦合網(wǎng)絡(luò)、最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)以及星形耦合網(wǎng)絡(luò)。如果一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都有邊直接相連，那么就稱(chēng)該網(wǎng)絡(luò)為全局耦合網(wǎng)絡(luò)；如果一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)只和它周?chē)泥従庸?jié)點(diǎn)相連，那么就稱(chēng)該網(wǎng)絡(luò)為最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)；如果一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中有一個(gè)中心節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)都

5、只與這個(gè)中心節(jié)點(diǎn)連接，而它們彼此之間不連接，則稱(chēng)該網(wǎng)絡(luò)為星形耦合網(wǎng)絡(luò)。這三種規(guī)則網(wǎng)絡(luò)如圖1-1所示。圖1-1 三種規(guī)則網(wǎng)絡(luò)（）1.2.2 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型最經(jīng)典的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型是ER隨機(jī)圖，分為具有固定邊數(shù)的ER隨機(jī)圖和具有固定連邊概率的ER隨機(jī)圖。后者的構(gòu)造算法如下：1) 初始化：給定個(gè)節(jié)點(diǎn)以及連邊概率。2) 隨機(jī)連邊：1 選擇一對(duì)沒(méi)有邊相連的不同的節(jié)點(diǎn)。2 生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)。3 如果，那么在這對(duì)節(jié)點(diǎn)之間添加一條邊；否則就不添加邊。4 重復(fù)步驟，直至所有的節(jié)點(diǎn)對(duì)都被選擇過(guò)一次。圖1-2 和時(shí)所生成的隨機(jī)圖的三個(gè)實(shí)例圖1-2表示的是取節(jié)點(diǎn)數(shù)和概率時(shí)，所生成的ER隨機(jī)圖的三個(gè)實(shí)例。1.2.3 小世界網(wǎng)絡(luò)

6、模型作為從完全規(guī)則網(wǎng)絡(luò)向完全隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的過(guò)度，只要在規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中引入少許的隨機(jī)性就可以產(chǎn)生具有小世界特征的網(wǎng)絡(luò)模型，現(xiàn)在常稱(chēng)為WS小世界模型。其構(gòu)造算法如下：1) 從規(guī)則圖開(kāi)始：初始有數(shù)目固定的個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有個(gè)最近鄰，構(gòu)成一個(gè)規(guī)則的一維圓環(huán)。2) 隨機(jī)化重連：以概率對(duì)圓環(huán)中的每一條邊進(jìn)行重新連接。這個(gè)過(guò)程不能自身連接和重復(fù)連接。WS小世界網(wǎng)絡(luò)模型具有明顯的聚類(lèi)和小世界特征，克服了規(guī)則網(wǎng)絡(luò)模型和ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型的不足。WS小世界網(wǎng)絡(luò)模型如圖1-3所示。圖1-3 WS小世界網(wǎng)絡(luò)模型1.2.4 無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)造BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型算法如下：1) 增長(zhǎng)：從一個(gè)具有個(gè)節(jié)點(diǎn)的連通網(wǎng)絡(luò)開(kāi)始，每次引入一個(gè)新的

7、節(jié)點(diǎn)并且連到個(gè)已存在的節(jié)點(diǎn)上，這里。2) 優(yōu)先連接：一個(gè)新節(jié)點(diǎn)與一個(gè)已經(jīng)存在的節(jié)點(diǎn)相連接的概率正比于節(jié)點(diǎn)的度：經(jīng)過(guò)個(gè)時(shí)間步之后，BA模型演化成一個(gè)具有個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)。圖1-4顯示了參數(shù)為、的BA網(wǎng)絡(luò)的演化過(guò)程。圖1-4 BA模型的演化（參數(shù)）1.3 網(wǎng)絡(luò)牽制控制所謂牽制控制，就是對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的少部分節(jié)點(diǎn)施加控制而使得整個(gè)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到所期望的行為。其核心思想是網(wǎng)絡(luò)中小部分節(jié)點(diǎn)能夠“領(lǐng)導(dǎo)”網(wǎng)絡(luò)的其他節(jié)點(diǎn)逐漸實(shí)現(xiàn)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的同步。牽制控制的優(yōu)勢(shì)是控制器個(gè)數(shù)少，計(jì)算量小，資源花費(fèi)少。這種“牽一發(fā)而動(dòng)全身”的思想已在實(shí)際眾多復(fù)雜系統(tǒng)中得到證實(shí)。牽制控制分為特定牽制和隨機(jī)牽制。特定牽制是根據(jù)節(jié)點(diǎn)的某些具體特性，比如節(jié)

8、點(diǎn)的度，有選擇地選取部分節(jié)點(diǎn)進(jìn)行控制。隨機(jī)牽制是在網(wǎng)絡(luò)中以某一概率隨機(jī)選擇部分節(jié)點(diǎn)進(jìn)行控制。對(duì)于BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)而言，特定牽制控制效果和隨機(jī)牽制控制效果差異較大，因此，本文主要以BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)為研究對(duì)象，來(lái)探討不同的參數(shù)、不同的控制方法對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響。2 牽制控制穩(wěn)定性條件設(shè)控制網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程為 （2-1）分析可知，當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)，使得是Hurwitz穩(wěn)定矩陣時(shí)，只要耦合強(qiáng)度滿(mǎn)足下面的條件： （2-2）網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（2-1）就可以被牽制控制到平衡點(diǎn)，這里是在平衡點(diǎn)的Jacobian矩陣，是矩陣的最小特征值；矩陣，L為網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的Laplacian矩陣，矩陣稱(chēng)為控制增益矩陣，為牽制密度（受控節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)

9、），矩陣的所有特征值均大于0；矩陣為內(nèi)耦合矩陣。3 BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)造按照1.2.4節(jié)的算法構(gòu)造BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，其MATLAB程序代碼如下：%m0=3;m=2;N=40;%網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)randnum=rand(2,N)*100;x=randnum(1,:);y=randnum(2,:);plot(x,y,'r.','Markersize',20);%產(chǎn)生N=40個(gè)隨機(jī)點(diǎn)hold on;Adjacent=zeros(N);%初始化鄰接矩陣%for i=1:m0%開(kāi)始三個(gè)節(jié)點(diǎn)兩兩相連 for j=i+1:m0 Adjacent(i,j)=1;Adjacent(

10、j,i)=1; endendnum=m0;for i=m0+1:N S=func(Adjacent,num); Q=zeros(1,num); for P=2:num+1 Q(1,P-1)=S(1,P)/S(1,num+1); end for j=1:m%輪盤(pán)賭 random_data=rand(1); a=find(Q>=random_data); p=a(1);%利用輪盤(pán)賭選出節(jié)點(diǎn)p與新的節(jié)點(diǎn)相連 Adjacent(i,p)=1;Adjacent(p,i)=1; end num=num+1;endfor i=1:N%根據(jù)鄰接矩陣連接各個(gè)節(jié)點(diǎn) for j=1:N if Adjacent

11、(i,j)=1 plot(x(i),x(j),y(i),y(j),'linewidth',1); hold on; end endendhold off%Degree=zeros(N);%初始化度矩陣for i=1:N Adjacent_du=0; for j=1:N Adjacent_du=Adjacent(i,j)+Adjacent_du; Degree(i,i)=Adjacent_du; endend%Laplacian=Degree-Adjacent;%得到拉氏矩陣save 'E:MyDiraaaa.m' Laplacian -asciiL=log(N)

12、/log(log(N);%網(wǎng)絡(luò)參數(shù)平均路徑長(zhǎng)度Lc=(log(N-m0)2/(N-m0);%網(wǎng)絡(luò)參數(shù)聚類(lèi)系數(shù)cPP=tabulate(sum(Degree,2);%網(wǎng)絡(luò)參數(shù)度分布通過(guò)MATLAB運(yùn)行得到一個(gè)參數(shù)為的BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，如圖3-1所示。MATLAB返回的數(shù)據(jù)還有Laplacian矩陣、平均路徑長(zhǎng)度、聚類(lèi)系數(shù)、度分布等網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)。圖3-1 MATLAB返回的BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖平均路徑長(zhǎng)度聚類(lèi)系數(shù)度分布（第一列為節(jié)點(diǎn)的度，第二列為節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，第三列為所占百分比）：4 不同參數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響4.1 對(duì)網(wǎng)絡(luò)施加牽制控制4.1.1 Lorenz系統(tǒng)對(duì)于如下?tīng)顟B(tài)方程描述的Lorenz

13、系統(tǒng)： （4-1）當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)為時(shí)，它是一個(gè)混沌吸引子。由所求的為平衡狀態(tài)，那么，由可知，該系統(tǒng)具有以下三個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)：求Lorenz系統(tǒng)的Jacobian矩陣的MATLAB代碼如下：syms x1 x2 x3;b1=0;0;0;b2=6*sqrt(2);6*sqrt(2);27;b3=-6*sqrt(2);-6*sqrt(2);27;%b1,b2,b3為系統(tǒng)的三個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)Jcb=jacobian(10*x2-10*x1;28*x1-x2-x1*x3;x1*x2-8/3*x3,x1 x2 x3);Jcb1=subs(Jcb,'x1',b1(1);%第一個(gè)平衡點(diǎn)的Jacobi

14、an矩陣Jcb1=subs(Jcb1,'x2',b1(2);Jcb1=subs(Jcb1,'x3',b1(3);lambda1=eig(Jcb1);%特征根lambda1=double(lambda1);Jcb2=subs(Jcb,'x1',b2(1);%第二個(gè)平衡點(diǎn)的Jacobian矩陣Jcb2=subs(Jcb2,'x2',b2(2);Jcb2=subs(Jcb2,'x3',b2(3);lambda2=eig(Jcb2);lambda2=double(lambda2);Jcb3=subs(Jcb,'x1

15、',b3(1);%第三個(gè)平衡點(diǎn)的Jacobian矩陣Jcb3=subs(Jcb3,'x2',b3(2);Jcb3=subs(Jcb3,'x3',b3(3);lambda3=eig(Jcb3);lambda3=double(lambda3);求出的結(jié)果為（lambda=）：， ， ， 4.1.2 BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程現(xiàn)在假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)都是Lorenz系統(tǒng)。設(shè)受控網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程為 （4-2）每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有3個(gè)分量，則受控網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程為 （4-3）4.2 耦合強(qiáng)度對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響從拉氏矩陣中可看到度最大的節(jié)點(diǎn)為第1個(gè)節(jié)點(diǎn)（度為14），下面首先以第1個(gè)

16、節(jié)點(diǎn)作為牽制控制對(duì)象，來(lái)研究耦合強(qiáng)度c對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，取。由Jcb1和lambda1可知，當(dāng)=11.8277時(shí)，即可保證為Hurwitz穩(wěn)定矩陣。為了研究耦合強(qiáng)度對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響，分別取固定不變，選擇控制目標(biāo)為。求取的臨界值的MATLAB程序代碼如下：%求取耦合強(qiáng)度ccN=40;l=1;d=10;D=zeros(N);for i=1:l D(i,i)=d;endB=Laplacian+D;cc=max(lambda1)/min(eig(B);求得的臨界值。下面分別令取不同的值來(lái)研究耦合強(qiáng)度對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響。受控網(wǎng)絡(luò)的MATLAB程序代碼如下：function f=zhuan

17、gtaifangcheng(t,x)%N=40;l=1;d=10;cc=50;%sigma=zeros(3*N,1);f=zeros(3*N,1);Laplacian=load ('E:MyDiraaaa.m');balance=0;0;0;%for i=1:l %施加控制節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程 for j=1:N sigma(3*(i-1)+1)=Laplacian(i,j)*x(3*(j-1)+1)+sigma(3*(i-1)+1); sigma(3*(i-1)+2)=Laplacian(i,j)*x(3*(j-1)+2)+sigma(3*(i-1)+2); sigma(3*(i

18、-1)+3)=Laplacian(i,j)*x(3*(j-1)+3)+sigma(3*(i-1)+3); end f(3*(i-1)+1)=10*x(3*(i-1)+2)-10*x(3*(i-1)+1)-cc*sigma(3*(i-1)+1)-cc*d*(x(3*(i-1)+1)-balance(1); f(3*(i-1)+2)=28*x(3*(i-1)+1)-x(3*(i-1)+2)-x(3*(i-1)+1)*x(3*(i-1)+3)-cc*sigma(3*(i-1)+2)-cc*d*(x(3*(i-1)+2)-balance(2); f(3*(i-1)+3)=x(3*(i-1)+1)*x(

19、3*(i-1)+2)-(8/3)*x(3*(i-1)+3)-cc*sigma(3*(i-1)+3)-cc*d*(x(3*(i-1)+3)-balance(3);endfor i=l+1:N %其余節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程 for j=1:N sigma(3*(i-1)+1)=Laplacian(i,j)*x(3*(j-1)+1)+ sigma(3*(i-1)+1); sigma(3*(i-1)+2)=Laplacian(i,j)*x(3*(j-1)+2)+ sigma(3*(i-1)+2); sigma(3*(i-1)+3)=Laplacian(i,j)*x(3*(j-1)+3)+ sigma(3*(

20、i-1)+3); end f(3*(i-1)+1)=10*x(3*(i-1)+2)-10*x(3*(i-1)+1)-cc*sigma(3*(i-1)+1); f(3*(i-1)+2)=28*x(3*(i-1)+1)-x(3*(i-1)+2)-x(3*(i-1)+1)*x(3*(i-1)+3)-cc*sigma(3*(i-1)+2); f(3*(i-1)+3)=x(3*(i-1)+1)*x(3*(i-1)+2)-(8/3)*x(3*(i-1)+3)-cc*sigma(3*(i-1)+3);endend對(duì)受控系統(tǒng)進(jìn)行求解，并畫(huà)出相應(yīng)的狀態(tài)圖，MATLAB程序如下：%N=40;l=1;d=10;cc

21、=50;x0=3*ones(3*N,1); %微分方程的初值t,x=ode45(zhuangtaifangcheng,0 5,x0);%四五階龍格-庫(kù)塔解常微分方程hold onfor i=1:3:(3*N-2) plot(t,x(:,i),'r')endfor i=2:3:(3*N-1) plot(t,x(:,i),'b')endfor i=3:3:(3*N) plot(t,x(:,i),'g')endxlabel('t')ylabel('xi(i=1,.,N)')分別取三個(gè)值（臨界值為96.7822）時(shí)，相應(yīng)的

22、狀態(tài)圖如圖4-1到圖4-3所示。圖4-1 c=50,l=1,d=10控制到的仿真圖圖4-2 c=100,l=1,d=10控制到的仿真圖圖4-3 c=110,l=1,d=10控制到的仿真圖總結(jié)：由圖4-1可以看到，當(dāng)時(shí)，無(wú)法將網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)控制到平衡點(diǎn)；圖4-2說(shuō)明當(dāng)稍大于96.7822時(shí)，幾乎等于臨界值，要較長(zhǎng)的時(shí)間才能把節(jié)點(diǎn)狀態(tài)控制到平衡點(diǎn)；圖4-3說(shuō)明當(dāng)時(shí)，可以很快將網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)控制到到平衡點(diǎn)。4.3 牽制密度對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響將和的取值固定，選擇控制目標(biāo)為，分別取不同的值來(lái)研究牽制密度對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響。由于控制目標(biāo)改變，需要對(duì)程序稍加改動(dòng)。在計(jì)算的臨界值的程序里需將改為，值改變的時(shí)候矩陣也要

23、改變。計(jì)算的臨界值的程序如下：%N=40;l=1;d=100;D=zeros(N);for i=1:l D(i,i)=d;endB=Laplacian+D;cc=max(real(lambda2)/min(eig(B);取固定不變，MATLAB返回的的臨界值為0.4529。取不同值時(shí)，MATLAB返回的仿真圖如圖4-4到圖4-6所示。圖4-4 c=2,l=1,d=100控制到的仿真圖圖4-5 c=2,l=5,d=100控制到的仿真圖圖4-6 c=2,l=10,d=100控制到的仿真圖圖4-4、圖4-5和圖4-6可以說(shuō)明，牽制密度越大，即受控節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)就越快的收斂到平衡狀態(tài)。實(shí)際

24、上，當(dāng)時(shí)，的臨界值為0.4529，當(dāng)取時(shí)，矩陣B的最小特征值已改變，此時(shí)的臨界值變?yōu)?.1531；當(dāng)取時(shí)，的臨界值變?yōu)?.1052。隨著的增大，對(duì)的要求越來(lái)越低，如果保持不變，則必然會(huì)更快到達(dá)平衡點(diǎn)。4.4 牽制強(qiáng)度對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響將和固定取值為，控制目標(biāo)仍然為。分別取不同的值來(lái)研究牽制強(qiáng)度對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響。當(dāng)取不同值時(shí)的仿真圖如圖4-7到4-9所示。圖4-7 c=5,l=1,d=10控制到的仿真圖圖4-8 c=5,l=1,d=30控制到的仿真圖圖4-9 c=5,l=1,d=50控制到的仿真圖總結(jié)：圖4-7、圖4-8和圖4-9可以說(shuō)明，牽制強(qiáng)度d越大，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)就越快被控制到平衡點(diǎn)。實(shí)際上

25、，當(dāng)時(shí)，的臨界值為0.7688，而時(shí)，的臨界值降低為0.5317，時(shí)，c的臨界值降低為0.4862。隨著的增大，對(duì)的要求越來(lái)越低，在保持不變的情況下，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)必然會(huì)更快的收斂到平衡點(diǎn)。5 不同控制方法對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響度最大的節(jié)點(diǎn)是第1個(gè)節(jié)點(diǎn)，度為14，因此選用節(jié)點(diǎn)1作為特定牽制的控制對(duì)象，控制目標(biāo)仍然是，系統(tǒng)參數(shù)為。仿真圖如圖5-1所示。圖5-1 c=5,l=1,d=30控制到的仿真圖（特定牽制）為了比較隨機(jī)牽制和特定牽制對(duì)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響，需要進(jìn)行隨機(jī)牽制控制的仿真。隨機(jī)找到一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為控制對(duì)象，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)方程的MATLAB代碼要稍微進(jìn)行改動(dòng)，改動(dòng)后如下：function f=zhua

26、ngtaifangcheng1(t,x)%N=40;l=1;d=30;cc=5;%sigma=zeros(3*N,1);f=zeros(3*N,1);Laplacian=load ('E:MyDiraaaa.m');balance=6*sqrt(2);6*sqrt(2);27;%rr=load ('E:MyDirbbbb.m')for i=1:N if i=rr %施加控制節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程 for j=1:N sigma(3*(i-1)+1)=Laplacian(i,j)*x(3*(j-1)+1)+sigma(3*(i-1)+1); sigma(3*(i-1)+

27、2)=Laplacian(i,j)*x(3*(j-1)+2)+sigma(3*(i-1)+2); sigma(3*(i-1)+3)=Laplacian(i,j)*x(3*(j-1)+3)+sigma(3*(i-1)+3); end f(3*(i-1)+1)=10*x(3*(i-1)+2)-10*x(3*(i-1)+1)-cc*sigma(3*(i-1)+1)-cc*d*(x(3*(i-1)+1)-balance(1); f(3*(i-1)+2)=28*x(3*(i-1)+1)-x(3*(i-1)+2)-x(3*(i-1)+1)*x(3*(i-1)+3)-cc*sigma(3*(i-1)+2)-

28、cc*d*(x(3*(i-1)+2)-balance(2); f(3*(i-1)+3)=x(3*(i-1)+1)*x(3*(i-1)+2)-(8/3)*x(3*(i-1)+3)-cc*sigma(3*(i-1)+3)-cc*d*(x(3*(i-1)+3)-balance(3); else%其余節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程 for j=1:N sigma(3*(i-1)+1)=Laplacian(i,j)*x(3*(j-1)+1)+ sigma(3*(i-1)+1); sigma(3*(i-1)+2)=Laplacian(i,j)*x(3*(j-1)+2)+ sigma(3*(i-1)+2); sigma(3*(i-1)+3)=Laplacian(i,j)*x(3*(j-1)+3)+ sigma(3*(i-1)+3); end f(3*(i-1)+1)=10*x(3*(i-1)+2)-10*x(3*(i-1)+1)-cc*sigma(