第三章3.1.4《空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示》

1、3. 1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解空間向量基本皚理，并能用基本左理解決一些幾何問題：2理解基底、基 向量及向量的線性組合的概念： 3掌握空間向量的坐標(biāo)表示， 能在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中寫出向量 的坐標(biāo). 問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一空間向呈基本定理 思考平面向量基本左量的內(nèi)容是什么？ 答案如果引，02 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平而內(nèi)的任一向量心有 且只有一對(duì)實(shí)數(shù)小，X2,使 fl=zie/-Fx2e2,其中，不共線的勺，佇叫做表示這一平而內(nèi)所有 向量的一組基底. 梳理（1）如果三個(gè)向量 a, b, c 共而，那么對(duì)空間任一向量”，存在有序?qū)崝?shù)組x, y, z, 使

2、得p=xa+yb+zc,把a(bǔ), b, c叫做空間的一個(gè)基底，b, c叫做基向量，空間中任何 三個(gè)不共而的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底. （2） 基底選定后，空間所有向量均可由基底唯一表示，構(gòu)成基底的三個(gè)向量 a, b, c 中，沒有 零向量. （3） 單位正交基底：如果s，s，巧為單位正交基底，則這三個(gè)基向量的位置關(guān)系是兩兩垂宣, 長(zhǎng)度為 1：且向量有公共的起點(diǎn). 知識(shí)點(diǎn)二空間向呈的坐標(biāo)表示 思考平而向量的坐標(biāo)是如何表示的？ 答案 在平而直角坐標(biāo)系中，分別取與 x軸、y 軸方向相冋的兩個(gè)單位向疑 i，/作為基底， 對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向雖：“由平面向雖:基本泄理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) x, y,使

3、“=燈+0, 這樣，平面內(nèi)的任一向疑都可由 x, y 唯一確左，我們把有序數(shù)對(duì) y）叫做向量的坐標(biāo), 記作a=（x, y）,英中 x叫做 a 在 x 軸上的坐標(biāo)，y 叫做 a 在），軸上的坐標(biāo). 設(shè)OA=xi+yj,則向量頁(yè)的坐標(biāo)（x, y）就是點(diǎn) A 的坐標(biāo)，即若OA=（x, v）則人點(diǎn)坐標(biāo)為（x， ）反之亦成立（0 是坐標(biāo)原點(diǎn)）. 梳理 設(shè) 0,陽(yáng)為有公共起點(diǎn)0的三個(gè)兩兩垂直的單位向量（我們稱它們?yōu)閱挝徽换?底），以們，兔，勺的公共起點(diǎn) 0 為原點(diǎn)，分別以勺，5, 的方向?yàn)?x軸、y 軸、z 軸的正方 向建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz,那么對(duì)于空間任意一個(gè)向量 p一泄可以把它平移，使它的起

4、 點(diǎn)與原點(diǎn) O 重合， 得到向OP=p,由空間向量基本泄理可知， 存在有序?qū)崝?shù)組 X,） ， ,乃， 使得P=“I+M2+Z03，我們把 X, y z 稱作向量在單位正交基底勺，e2t 下的坐標(biāo)，記作 p=(x，V, z),此時(shí)向量p的坐標(biāo)恰是點(diǎn)P在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)(X, y, z) (2)向量 p 的坐標(biāo)是把向量 p 的起點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)O,則麗的終點(diǎn)P的坐標(biāo)就是向量的 坐標(biāo)，這樣就把空間向量坐標(biāo)化了. 題型探究 類型一空間向量的基底 例 1 若小b, C是空間的一個(gè)基底.試判斷 S+b, b+c, c+a能否作為該空間的一個(gè)基 底？ 解 假設(shè) a+0, b+c, c+a共面，

5、則存在實(shí)數(shù)久、“使得 a+b=2(b+c)+“(c+a), &+ = b, c為基底，a, b, c 不共面. 1= “， 1=2, 0=2+“，此方程組無(wú)解./+，+c, c+a 不共面. “+工 b+c, c+a可以作為空間的一個(gè)基底. 反思與感悟空間向量有無(wú)數(shù)個(gè)基底.判斷給出的菜一向董組中的三個(gè)向量能否作為基底， 關(guān)鍵是要判斷它們是否共面，如果從正面難以入手，常用反證法或是一些常見的幾何圖形幫 助我們進(jìn)行判斷. 跟蹤訓(xùn)練 1 以下四個(gè)命題中正確的是 _ 空間的任何一個(gè)向雖都可用三個(gè)給垃向量表示： 若a, b, C為空間的一個(gè)基底，則 d, b, C 全不是零向量； 如果向疑 a，

6、b 與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則一泄有“與 b 共線; 任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底. 答案 解析 因?yàn)榭臻g中的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)不共面的向量來(lái)表示，故不正確；正 確；由空間向量基本定理可知只有不共線的兩向量才可以做基底，故正確；空間向量基底 是由三個(gè)不共面的向量組成的，故不正確. 類型二用基底表示向量 例 2 如圖所示，在平行六面體ABCD-Af Br C D 中，AB=a, AD =b. AA1 =c, P是 C7T 的中點(diǎn)，M 是 CD的中點(diǎn)，N 是Dr的 中點(diǎn)，點(diǎn) 0在CA1上，且 Q2 ： QA，=4 : 1,用基底a, c表示 以下向量. (l) A

7、P； (2)AM： (3)AN； (4)/40. 解連接 AC, ADf * I 1 * * * (3) AN=ACf +AD )=(AB+ADAAr ) + (AD+AAr )=尹+b+c. * * 4 * 4 | * 4 1 * 4 * (4) AQ=AC+CQ=AC+ CAr =4C+ (AAr AC)=rAC+AAr =mAB+AD)+ AAz =丁 反思與感悟 求解空間向量在菜基底下的坐標(biāo)的關(guān)鍵：一是運(yùn)用空間向量的基本定理，二是 理解空間向量的坐標(biāo)表示的意艾. 跟蹤訓(xùn)練 2 如圖所示，空間四邊形OABC中，G、H分別是 zMBC、AOBC 的重心，設(shè)OA=a. OB=b OC=c.試

8、用向雖：a, b. c 表示向量麗 ：.OD=OB+OC). OH=ldb. f 2f 2 1 f 從而 O H=-jOD=X(OB-OC) =*+c). * 2 又 OG=OA+AG=OA+ AD, AD=OD-OA. .dG=dA+|x|(0B+dc)-|dA 1 * * 1 = g(OA + OB+OC)=*a+c) 9：GH=OH-OG. 11 1 . GH=(+c)尹+ +c)=尹 類型三應(yīng)用空間向量坐標(biāo)表示解題 例 3 棱長(zhǎng)為 1 的正方體ABCD-A1 B C D中，E、F、G 分別為棱 DZT、D C、BC 的中點(diǎn)，以而，AD, AA 為基底，求下列向量的坐標(biāo). (1 涎 AG

9、, AF； 解 TH 為 AOBC 的重心，D 為 BC 的中點(diǎn), 麗，EG, DG 解 ()AE=AD+DE=Ab+Dbf +BG=/W+|Ab=(l, I，o), AF=AAr +AF F=AAf +AD+|AB=(|, 1, 1). 麗=石應(yīng)=(AA，+Ab+殛)_(喬+并，)=并，+ 麵=(g ，尋, * 1 1 EG=AGAE=(ABA-AD)-(AD+AA,) =AB-*A -扣，=lj, _*, _*), 5d=花-喬=而+昴-Ab=而-尿 =（1, -扌，0）. 反思與感悟（1）注意向量的坐標(biāo)順序必須與基底中的基向量對(duì)應(yīng)，即若基底為，勺，, Q=&I+“2+龐 3,則

10、a 的坐標(biāo)為（2, “，k）. （2）而的坐標(biāo)等于終點(diǎn) B 的坐標(biāo)減去起點(diǎn) A 的坐標(biāo). 跟蹤訓(xùn)練 3 空間四邊形OABC中，OA=a. OB=b, OC=c.點(diǎn) M 在 OA 上，且 0A/=2MA, N為BC的中點(diǎn),MN基底a, k c下的坐標(biāo)為_ 2 1 5* r 解析OM=2MA，點(diǎn) M 在 OA 上， :.OM = OA , 渝=顯 + 麗=一商 + (麗 + 5t)= -討 + 爲(wèi) + * = I 3 T 2) 當(dāng)堂訓(xùn)練 1. 在以下三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（） 三個(gè)非零向量 a、b、c 不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則 a、b、c 共而： 若兩個(gè)非零向量 a、與任何一個(gè)向雖都不能構(gòu)成

11、空間的一個(gè)基底，則 a、b 共線： 若 a、是兩個(gè)不共線的向量，而 c=M+妙（久、“WR 且 2“工 0）,則a, b, c構(gòu)成空間的 一個(gè)基底. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案 C 解析 正確.基底的量必須不共面；正確：不對(duì)，a, b 不共線.當(dāng)c=為+迪時(shí)，a、 b、c 共面，故只有正確.答案 2已知 A(345), B(021)，0(0AO),若疋=誣，則 C 的坐標(biāo)是( ) 解析設(shè)點(diǎn) C 坐標(biāo)為(x, y9 z), 則 OC=(x9 y. z) 又 A5=(-3, -2, 一 4), OC=IAB9 6 4 8 =-,尸 z=- 3. 0、A、B、C 為空間四點(diǎn)，且向O

12、A, OB.疋不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，貝 M ) A. OA. OB.疋共線 B頁(yè)、麗共線 C. OB,冼共線 D. 0、A. B、C 四點(diǎn)共而 答案 D 解析 由鬲、0B.疋不能構(gòu)成基底知頁(yè)、0B.冼三向量共面，所以 0、A、B、C 四點(diǎn)共 面. 4. 設(shè)“，b, c 是三個(gè)不共面向量，現(xiàn)從ab,a+b_c 中選出一個(gè)使其與 a, 構(gòu)成空 間的一個(gè)基底，則可以選擇的向量為 _ (填寫代號(hào)). 答案 解析 一方與 a, 共面， :.a-b與“，方不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底. :a+b-c與 a, 不共面，.a+b-c 與 a, 構(gòu)成空間的一個(gè)基底. 5. 已知點(diǎn) A 在基底a, b, c下的坐標(biāo)為

13、(8,6.4),其中 a= i+j, b=j+k, c=k+i,則點(diǎn) A 在基底i, j,燈下的坐標(biāo)是 _ . 答案(12,14,10) (6 4 5， 5， 5) 8 8- -5 5 4 4- -5*5* 6_ 6_ 4 4- -5 5 6 6- -5 5 C 解析 設(shè)點(diǎn) A 在基底a, b, c下對(duì)應(yīng)的向量為 p, 則 p = 8/z + 0+4c = 8i+可+ +M+4i = 12i+l 引+10R,故點(diǎn) A 在基底匕幾 燈下的坐標(biāo)為(12J4J0). , - 規(guī)律與方法 - ) (1) 基底中不能有零向量.因零向量與任意一個(gè)非零向雖都為共線向量，與任意兩個(gè)非零向量 都共而，所以三個(gè)向

14、疑為基底隱含著三個(gè)向量一定為非零向疑. (2) 空間幾何體中，欲得到有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，一般選擇兩兩垂直的三條 線段為坐標(biāo)軸，然后選擇基向量，根據(jù)已知條件和圖形關(guān)系將所求向雖用基向量表示，即得 所求向量的坐標(biāo). (3) 用基底表示空間向量，一般要用向雖的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算法則，及加法的平行四邊 形法則，加法、減法的三角形法則.逐步向基向量過(guò)渡，直到全部用基向量表示. 40分鐘課時(shí)作業(yè) 一、選擇題 1. 以下四個(gè)命題中正確的是() A. 基底a, b, c中可以有零向量 B. 空間任何三個(gè)不共而的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底 C. AABC為直角三角形的充要條件是喬屁=0

15、D. 空間向量的基底只能有一組 答案 B 解析 使用排除法.因?yàn)榱阆虺逝c任意兩個(gè)非零向量都共面，故 A 不正確；AABC 為直角三 角形并不一定是喬花=0,可能是BC BA=0,也可能是CA CB=O,故 C 不正確；空間基底 可以有無(wú)數(shù)多組，故 D 不正確. 2. 下列說(shuō)法中不正確的是() A. 只要空間的三個(gè)向量的模為 1,那么它們就能構(gòu)成空間的一個(gè)單位正交基底 B. 豎坐標(biāo)為 0 的向量平行于 x軸與 y 軸所確定的平面 C. 縱坐標(biāo)為 0 的向量都共而 D. 橫坐標(biāo)為 0 的向量都與 x軸上的基向量垂直 答案 A 解析 單位正交基底除要求模為 1 外，還要求三個(gè)向量?jī)蓛纱怪? 強(qiáng)化訓(xùn)練

16、拓展提升 3. 若向蚩:加，勵(lì)，伉的起點(diǎn) M 和終點(diǎn) A, B, C 互不重合且無(wú)三點(diǎn)共線，則能使向量加, /麗，歷匕成為空間一組基底的關(guān)系是() C.OM=OA + OB-OC 答案 C 解析 對(duì)于選項(xiàng) A,由結(jié)論鬲=水筋+.y 麗+zO&x+y+z=l)nM, A, B, C 四點(diǎn)共面知, MA. MB. MC共面；對(duì)于 B, D 選項(xiàng)，易知加，勵(lì)，歷匕共面，故只有選項(xiàng) C 中加，勵(lì), ，尿 7 不共面. 4. 若勺,s 勺是空間的一個(gè)基底，又a=ei+e2+e39 b=e+e2e c=ee2+e d= S + 22+3S，d=xa+y+zc則 x, y9 z 分別為( ) 5 ,

17、 1 A.j 1, 2 B.#, 1, 5 C.號(hào)，L -* D.|, 1, - 答案 A 角軍析 xa -yb+zc =x(e +02+纟 3)+$(6 +0203)+2(6 02+e3)= (x+y+zWi +(x+yz)02+ (xy+z)3=ei+2e2+3e3,由空間向量基本定理， 得x+y+z=l, x+yz=2, xy+z=3, 1 * +AC)=(OB-2OA-iOC). * 2 1 * * AGI=AE=(OB-2OA + OC)9 OG=3GG1 = 3(OG】一 OG), OG=dGi=(OA+AGi) 3 1 2 * 1 * =彳(OA+ 0B _ 丁 0 人+0C)

18、故選 A. 二 填空題 7. 如圖所示，在正方體ABCD-AiC中建立空間直角坐標(biāo)系，若正 方體的棱長(zhǎng)為 1，則喬的坐標(biāo)為 _ ，氐|的坐標(biāo)為_ ,祗的 坐標(biāo)為 _ 答案(1Q0) (L0J) (一 1，1) 解析 DC=AA+AB,岳 b= +圧乙+而=一乙+命一芯 i 8. e b, c為空間的一個(gè)基底，且存在實(shí)數(shù) X, y, Z 使得 m+M+zc=0,貝 ij x= _ y=_ ，: 答案 0 0 0 解析 若 X, y. z 中存在一個(gè)不為 0 的數(shù)，不妨設(shè) xHO,則“=“，c 共面.這 與, b, c是基底矛盾，故x=y=z=0. 9. 已知四而體ABCD中，AB=a-2c. C

19、D=5a6b-Sc9對(duì)角線 AG BD 的中點(diǎn)分別為, 答案 3a + 3b_5c 解析 如圖所示，取 BC 的中點(diǎn) G,連接 EG, FG,則厲=GF-GE=CD _B4=*CD+如召 =#( 5a+6 - 8c)+蘇2c) = 3a + 3b5c 三、解答題 10. 已知向量卩在基底 a, b, c 下的坐標(biāo)是(2,3, 1),求任基底a, a+b, a+c下的 坐標(biāo). 解由已知p=2a-3bc, 設(shè) p=M+y(a+b)+z(a+b+c)=(x+y+z)a + (y+z)b+zc, 則有x+y+z=2, y+z=3, z= 1, 解得x= 1, y=4, z= l, 故在基底a, a+b, a+b+c下的坐標(biāo)為(-1,4. 一 1) 11如圖所示，M, N 分別是四而體OABC的邊 04, EC 的中點(diǎn)，P