正余弦定理知識點及題型歸納

1、解三角形.正弦定理:a b csin A =sin B = sin C =2R,其中R是三角形外接圓半徑正弦定理的如下變形常在解題中用到1. (1) a=2Rsi nA(2) b=2Rs inB(3) c=2Rs inC2. (1) si nA=a/2R(2) si nB=b/2R(3) si nC=c/2R3. a : b: c=sinA : sinB:sinC余弦定理:1.aA2 =bA2 + cA2 -2 b -c -cosA2.bA2 =aA2 + cA2 -2 a -c -cosB3.cA2 =aA2 + bA2 -2 a -b -cosC余弦定理的如下變形常在解題中用到-b)-c)

2、-c)1. cosC=(aA2 + bA2 - "2)/(2a2. cosB=(aA2 +。人2 -匕人2) / (2a3. cosA=(cA2 + bA2 -玄人2) / (2b三余弦定理和正弦定理的面積公式1 1 1Saabc= 2 absinC= 2 bcsinA= 2 acsinB（常用類型：已知三角形兩邊及其夾角）衛(wèi)丸純:ffi或直：®c圖形C社AH*A2_ABC<r AA*AB¥歹于 a=b5inA 戲bsjnA<a<fca<-bsnAa>bab一解兩解無解-B無解判斷三角形的形狀有兩種途徑：(1) 將已知的條件統(tǒng)一化成邊

3、的關(guān)系，用代數(shù)求和法求解(2) 將已知的條件統(tǒng)一化成角的關(guān)系，用三角函數(shù)法求解三解三角形的實際應(yīng)用測量中相關(guān)的名稱術(shù)語仰角：視線在水平線以上時，在視線所在的垂直平面內(nèi)，視線與水平線所成的角叫做仰角。俯角：視線在水平線以下時，在視線所在的垂直平面內(nèi)，視線與水平線所成的角叫俯角方向角：從指定方向線到目標方向的水平角（一）已知兩角及一邊解三角形例 1 已知在 ABC 中，c= 10, A = 45° C= 30° 求 a、b 和 B.（二）已知兩邊和其中一邊對角解三角形例2在厶ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b , C，若a=2 V3, b=V 6 , A=45。，求

4、邊長 C（三）已知兩邊及夾角，解三角形例3 ABC中，已知 b= 3，c= 3.3，B = 30° 求角 A，角C和邊a.例四：在厶ABC中，若/ B=30° , AB=2, AC=2, 則厶ABC的面積是例五判斷三角形的形狀（1 ）正弦定理判斷在厶ABC中，若aanB = b2tanA，試判斷 ABC的形狀.（2）余弦定理判斷在 ABC 中，若 b2sin2C+ c2sin2B = 2bccosBcosC，試判斷三角形的形狀.例六判斷解得個數(shù)不解三角形，判斷下列三角形的解的個數(shù):（1）a=5,b=4,A=120 度（2）a=7,b=14,A=150 度（3）a=9,b=1

5、0,A=60 度（4）c=50,b=72,C=135 度考試類型 一、求解斜三角形中的基本元素指已知兩邊一角（或二角一邊或三邊），求其它三個元素問題，進而求出三角形的三 線（高線、角平分線、中線）及周長等基本問題.1、 ABC中，A - , BG 3，則 ABC的周長為（）3A .4.3sin B3 b .4 - 3sin B3C . 6sin B3363D. 6sin B2、在厶ABC中，已知AB 土2,cosB , AC邊上的中線 BD= 5，求si nA的值. 363、在厶ABC中，角A,B, C所對的邊長分別為a, b,若/ C=120°, c= 2 a,則A.a >

6、bB.av b C. a = bD.a與b的大小關(guān)系不能確定4、在厶ABC中，內(nèi)角 A,B,C的對邊分別是 a,b,c，若b2. 3bc , si nC 2.3 si n B ,則A=(A) 300(B) 600(C)1200(D)15005、在ABC中,a=15,b=10,A=60 °，則cosB =Q6、在厶 ABC中，若 b = 1 , c = . 3 , C 一，貝V a =3在厶ABC中，已知 B=45° ,D是BC邊上的一點，AD=10,AC=14,DC=6求AB的長.7、AC8、在銳角 ABC中，BC 1,B 2代則的值等于cosA，AC的取值范圍9、A AB

7、C中，代B, C所對的邊分別為a,b,c，tanC SinA SinB , sin( B A) cosC. cosA cosB(1)求 A,C ；(2)若 S abc 33 ,求 a,c.二、判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀.1、在 ABC 中，已知 2s in AcosB si nC,那么 ABC 一定是（）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等腰直角三角形D 正三角形2、 18.若厶 ABC 的三個內(nèi)角滿足 si nA:si n B :si nC 5:11:13，則 ABC（A） 定是銳角三角形.（B） 定是直角三角形.（C） 一定是鈍角三角形（D）可能是銳角

8、三角形，也可能是鈍角三角形三、解決與面積有關(guān)問題：主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來解題.1、在 ABC 中，若 A 120o, AB 5, BC 7,貝U ABC 的面積 S=， 四、求值問題1、在 ABC中， A、 B、C所對的邊長分別為a、b、c,c 1設(shè)a、b、c滿足條件b2 c2 bc a2和3，求 A和tanB的值.b 22、在銳角三角形ABC,A、B、C的對邊分別為a、b、c,-a6cosC ,則abtanC ta nCtan A tan B3、在 ABC 中，a,b, c 分別為內(nèi)角 A, B, C的對邊，且2asin A (2 a c)sin B(2 cb)sin C.（I）求A的大?。?n)求sin B sin C的最大值.五、正余弦定理解三角形的實際應(yīng)用利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等 方面都要用到解三角形的知識，例析如下：A（一.）測量問題1、如圖1所示，為了測河的寬度，在一岸邊選定 A、B兩點, 望對岸標記物 C,測得/ CAB=30 ,/ CBA=75 , AB=120cm求河D B的寬度。（二 ）遇險問題2、某艦艇測得燈塔在它的東15°北的方向，此艦艇以