淺談數(shù)學教學中如何培養(yǎng)學生的數(shù)學解題能力

1、淺談數(shù)學教學中如何培養(yǎng)學生的數(shù)學解題能力學生姓名： 指導老師： 一、引言數(shù)學是一門源于生活，又回歸于生活，服務于生活的學科，它能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)，進行計算、推理和證明，并為其他學科提供了語言、思想和方法，是人們勞動、生活和學習不可或缺的工具，是一切重大技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)。鑒于數(shù)學在生活中的重要性，數(shù)學教學也越來越受到教師、家長和學生的重視，中學的數(shù)學教學尤為如此。中學數(shù)學教學包括很多方面的工作，其中，最重要的是得搞清楚它的目的其目的歸根結(jié)底在于培養(yǎng)學生的解題能力。在如今的應試教育教學中，我們常?？吹竭@樣一種現(xiàn)象，就是許多學生和老師都喜歡搞題海戰(zhàn)術(shù)，整天沉沒于習題的海洋中，但是學習成績卻任然提不上

2、去，考試成績也不理想，其原因就是沒有掌握科學的解題方法，忽視了解題能力的培養(yǎng)。多做題目固然不錯，但也應做得有方法、懂規(guī)律。在推進素質(zhì)教育的今天，作為中學數(shù)學教學，應當以知識的理解和掌握為基礎(chǔ)，重點培養(yǎng)學生的數(shù)學解題能力。因此，提高學生解題能力始終貫穿于教學始終，我們必須把它放在十分重要的位置。那么，教師在數(shù)學教學中應如何培養(yǎng)學生的解題能力呢？我將在接下來的這篇文章中提出一些淺顯的見解。二、數(shù)學教育和數(shù)學能力（一）數(shù)學教育及其目的數(shù)學教育是研究數(shù)學教學的實踐和方法的學科1。它是一種文化素質(zhì)的教育，不單純是為了使學生掌握數(shù)學這一工具，其根本目的在于培養(yǎng)和提高人的素質(zhì)。也就是說發(fā)展學生的科學素質(zhì)，培

3、養(yǎng)學生的數(shù)學能力，是數(shù)學教育的重要目標之一。具體表現(xiàn)為：一、它是一種精神和態(tài)度，使人實事求是，鍥而不舍地追求自己的人生理想；二、它是一種方法，使人善于處世和做事，提高工作效率；三、它是一種文化（數(shù)學文化），使人得到數(shù)學方面的修養(yǎng)，更好地理解、領(lǐng)略和創(chuàng)造現(xiàn)代社會文明；四、它用自己學科特有的優(yōu)良品質(zhì)陶冶人、啟迪人、充實人，促使人的素質(zhì)全面發(fā)展；五、它是“思維的體操”，使人思維敏銳，表達清晰。（二）數(shù)學能力學生的數(shù)學能力是在學生參與數(shù)學活動過程中逐漸發(fā)展鞏固起來的，不是一朝一夕就可以提高的。那么，什么是數(shù)學能力呢？一般地，一個學生解一道數(shù)學題，在解題的過程中，所應用的公理、定義、公式等屬于知識，而在

4、解題過程中思維活動的嚴密性和靈活性則屬于能力。我們把“運用數(shù)學基本知識和基礎(chǔ)技能來解決數(shù)學問題的本事大小”稱為數(shù)學能力2。它是數(shù)學素質(zhì)的重要表現(xiàn)，是衡量對數(shù)學學科掌握程度的標準，也是目前中學數(shù)學教育的最初和最終目標。 （三）數(shù)學能力的種類數(shù)學能力不是唯一的，不僅僅有一種、一類，它有不同的分類標準和分類類別。就教育目標來說，可分為數(shù)學知識、公民意識、社會需要、語言交流四個方面。這是著重從個人生活的實際需要出發(fā)而提出來的。就目前我國教育學家的一些研究來看，可分為：數(shù)學運算能力、空間想象能力、邏輯思維能力、廣泛數(shù)學能力、數(shù)學解題能力、數(shù)學語言能力以及數(shù)學建模能力。下面，我將就學生的數(shù)學解題能力這一點

5、，和大家一起進行一下學習和研究。三、數(shù)學解題能力（一）數(shù)學解題能力的重要性 美國著名數(shù)學家波利亞說過“問題是數(shù)學的心臟”，“掌握數(shù)學意味著什么？那就是善于解題?！?但數(shù)學問題無窮無盡，而且千變?nèi)f化，要想使中學生身居考場而處之泰然，身臨題海能隨機應變，就得努力培養(yǎng)他們的數(shù)學解題能力，使他們能夠面對題目時得心應手。由此，我們可以看到熟悉解題能力的重要性。 （二）學生數(shù)學解題能力差的原因45 中學生數(shù)學解題能力差有好多方面的原因，具體可概括如下：1被動學習 大部分學生對于數(shù)學學習有很強的依賴心理，不懂掌握學習的主動權(quán)，而是跟著老師慣性運轉(zhuǎn)，不能很好的掌握所學的內(nèi)容。其表現(xiàn)為課前不預習，不定計劃，對老

6、師將要講的內(nèi)容沒有基本的了解，上課時只是忙于記筆記，沒有聽懂門道。2學不得法許多學生上課不專心聽講，對老師講的要點沒聽到或聽不全，筆記記了一大本，問題卻依然是一大堆，課后又不屑于總結(jié)鞏固，只是忙于趕作業(yè)，對概念、公式、定理一知半解，機械模仿，結(jié)果往往是收效甚微，事倍功半。3不重視基礎(chǔ) 常常有一些“好學生”自我感覺良好，輕視基礎(chǔ)知識和基本技能的學習和訓練，對學習方法也不重視。對一些基礎(chǔ)題經(jīng)常是知道怎么做就行了，不去認真演算書寫；對難題卻很感興趣，認為是顯示實力的象征，往往是好高騖遠，眼高手低。到正經(jīng)考試或做題中，不是出錯就是出現(xiàn)卡殼現(xiàn)象。4進一步學習條件不具備 中學數(shù)學與小學數(shù)學相比，不論是知識

7、的深度、廣度，還是數(shù)學能力的要求方面都有很大的飛躍。在很多方面，中學數(shù)學都表現(xiàn)為方法新、難度大、能力要求高。因此，許多學生會出現(xiàn)學習能力和條件的欠缺。（三）提高數(shù)學解題能力的關(guān)鍵是什么61要充分認識數(shù)學學科特點，緊緊抓住學科特點數(shù)學學科不同于其他學科，有它獨特而顯著的學科特點。換句話說，也就是數(shù)學的題目和知識往往有數(shù)學獨特的味道。比如：（1）概念性強。我們所有數(shù)學的內(nèi)容都是以概念作為它的基本元素的，由概念組成命題，由命題組成整個邏輯系統(tǒng)。（2）充滿思辨性。也就是說數(shù)學最重要的是要對問題做出具體問題具體分析。（3）量化突出。我們看到平時的計算題都不是簡單地套一個公式來完成一個計算，這就顯示了數(shù)學

8、的這一大特征。（4）解法多樣。相當一部分題目都是一道題有多種解法，而每一種解法往往出現(xiàn)解題所耗用的時間、解題的速度等等各個方面的差異。如此，要想提高數(shù)學解題能力，首先就必須懂得、理解、抓住數(shù)學的這些學科特點。當然，數(shù)學學科的特點不僅僅是這些，筆者在這就列出這么多。2要經(jīng)?？偨Y(jié)數(shù)學思想方法，提升數(shù)學思想7所謂思想就是指導我們實踐的理論方法，這里主要指想法或方法。靈活應用數(shù)學思想方法是提高解題能力的關(guān)鍵，我們的先輩數(shù)學家們，已經(jīng)為我們創(chuàng)造出了很多的數(shù)學思想方法，我們應該很好地理解它們、體會它們，并且要靈活地應用它們。對于中學數(shù)學，主要是以下七類數(shù)學思想：（1）函數(shù)與方程的思想所謂函數(shù)和方程的思想就

9、是學會用函數(shù)和變量來思考，學會轉(zhuǎn)化已知與未知的關(guān)系。在解題的過程中，用函數(shù)思想做指導就需要把代數(shù)式看作函數(shù)，把字母看作變量，利用函數(shù)的性質(zhì)做工具進行分析?；蛘邩?gòu)造一個函數(shù)，把表面上不是函數(shù)的問題化歸為函數(shù)問題。用方程思想做指導就需要把含字母的等式看作方程，研究方程的根有什么要求。著名數(shù)學家克萊因說“一般受教育者在數(shù)學課上應該學會的重要事情是用變量和函數(shù)來思考”。一個學生僅僅學習了函數(shù)的知識，他在解決問題時往往是被動的，而當他建立了函數(shù)思想以后，就能主動地去思考一些問題?？疾旌瘮?shù)和方程思想時,主要是考查能不能用函數(shù)和方程思想指導解題8,在這過程中要注意經(jīng)常思考下面的一些問題:a、是不是需要把字母

10、看作變量？b、是不是需要把一個代數(shù)式看成一個函數(shù)?c、如果把一個或幾個字母看成了變量,把一個代數(shù)式看成了函數(shù)，那么這個函數(shù)有什么性質(zhì)？d、如果一個問題從表面上看不是一個函數(shù)問題，能不能構(gòu)造一個函數(shù)來幫助解題？e、是不是需要把一個等式看作為一個含未知數(shù)的方程？f、如果是一個方程，那么這個方程的根（例如根的正負、虛實、范圍等）有什么要求？（2）數(shù)形結(jié)合的思想 中學數(shù)學研究的對象可分為兩大部分，一部分是數(shù)，一部分是形，但數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非?！薄皵?shù)”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。我們認為，數(shù)形結(jié)合，主要

11、指的是數(shù)與形之間的一一對應關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。（3）分類與整合的思想分類是自然科學和社會科學研究中的基本研究方法。在解題中我們會解到某一步后，不能再用統(tǒng)一的式子和方法繼續(xù)解了，以為這時所要解的問題包含了至少兩種情形，這就要求在題中條件所給的總區(qū)域內(nèi)，劃分若干個分區(qū)域，然后在各個分區(qū)域內(nèi)分別求解，其研究方法就叫“分”。但劃分只是手段，分類研究解出題目才是目的，這就要求我們在分類之后再把它們“合”起來。這種“合分

12、合”的解題方法就叫分類與整合的思想方法。（4）化歸與轉(zhuǎn)化的思想轉(zhuǎn)化與化歸思想是指把待解決的問題通過轉(zhuǎn)化歸結(jié)為在已有范圍內(nèi)可解的問題的一種思維方式。應用轉(zhuǎn)化化歸思想解題的原則應是化難為易、化生為熟、化繁為簡，盡可能是等價轉(zhuǎn)化。常見的轉(zhuǎn)化有：正與反的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、相等與不等的轉(zhuǎn)化、整體與局部的轉(zhuǎn)化、空間與平面的轉(zhuǎn)化、常量與變量的轉(zhuǎn)化、數(shù)學語言的轉(zhuǎn)化等。（5）特殊與一般的思想由特殊到一般再由一般到特殊反復認識的過程是人們認識世界的基本過程之一。數(shù)學研究也不例外，這種由特殊到一般，由一般到特殊的研究數(shù)學問題的基本認識過程就是數(shù)學研究中特殊與一般的思想。它能反映出考生的數(shù)學素養(yǎng)和一般能力，所以考查

13、特殊與一般的思想在平時解題以及高考中都占有重要位置。特殊與一般的思想方法是廣泛適用的一種重要的數(shù)學思想方法，對于一般性問題、抽象問題、運動變化問題和不確定問題都可考慮運用特殊與一般的思想方法去探求解題途徑。（6）有限與無限的思想 數(shù)學研究的對象中有數(shù)量關(guān)系,既一個量隨另一個量的變化,這種變化可能是有限的,也可能是無限的。有限與無限相比,有限顯得具體,無限顯得抽象,對有限個對象的研究往往有章法可循,并積累了一定的經(jīng)驗,而對無限個對象的研究,卻往往不知如何下手,顯得經(jīng)驗不足。于是將對無限的研究對比借鑒于對有限的研究，將有限推廣到無限，這就是有限與無限的思想。（7）或然與必然的思想 隨機現(xiàn)象具有兩個

14、最基本的特征，一是結(jié)果的隨機性，二是頻率的穩(wěn)定性。概率知識在現(xiàn)實生活中常常用到，在數(shù)學解題中也越來越倍受關(guān)注，概率所研究的過程是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規(guī)律去解決“偶然”的問題，這其中所蘊涵的數(shù)學思想就是必然與或然的思想。以上是中學數(shù)學解題中應用比較多的一些思想，只要我們能夠深入地理解它們，并能靈活地應用到具體的解題實踐中，就能極大地提高你的解題能力。此外，在此介紹陜西師范大學數(shù)學系教授羅增儒的研究成果9。他將數(shù)學思維與數(shù)學活動結(jié)合起來，恰如慢鏡頭一樣呈現(xiàn)一個解題思維過程。層次為：浮現(xiàn)數(shù)學表象產(chǎn)生數(shù)學直觀展開數(shù)學想象反思數(shù)學過程展開動態(tài)想象。（四）怎樣提高中學生數(shù)學解題能力

15、數(shù)學的真正部分是問題和解。教師在教學中如何更好地引導學生解答數(shù)學問題，不斷提高學生的數(shù)學解題能力，是長期而艱巨的工作。那么，在實際教學過程中，教師該如何提高學生的數(shù)學解題能力呢？我認為應該注意到一下幾點：1培養(yǎng)學生的學習興趣，深入探討習題。數(shù)學是雙邊的活動，只有教師的教沒有學生的學，不起效果。充分調(diào)動學生的主觀能動性，調(diào)動學生配合老師上課是關(guān)鍵，通過教師的導與學生的練，同學互相討論，加強對問題的研討，歸納和總結(jié)。在具體教學過程中，教師首先要抓住學生“好奇”的心理特征，創(chuàng)設(shè)最佳的學習環(huán)境，提高學生的學習興趣。其次要堅持直觀形象這一原則，即用具體、形象、生動的事物充分調(diào)動他們的多種感官，讓他們有充

16、分的看一看、摸一摸、聽一聽、說一說的機會，以豐富深化感知。教師通過數(shù)學或數(shù)學史學的故事等，來讓學生了解數(shù)學的發(fā)展、演變及其作用，了解數(shù)學家們是如何發(fā)現(xiàn)數(shù)學原理及他們的治學態(tài)度等，也是非常好的方法。比如：給學生講“數(shù)學之王高斯”、 “幾何學之父歐幾里德”、“代數(shù)學之父韋達”、“數(shù)學之神阿基米德”等數(shù)學家的故事，不僅能使學生對數(shù)學產(chǎn)生極大的興趣，同時從中也可以受到教育。這樣就能起到“動之以情，曉之以理，引之以悟，導之以行”的作用。如此培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣，既有助于提高我們的數(shù)學教學質(zhì)量，又有助于學生素質(zhì)的發(fā)展。2正確理解基本概念及性質(zhì)。學習了用字母表示數(shù)以后，有一些同學認為一定是正數(shù)，是負數(shù)。之

17、所以出現(xiàn)這種錯誤，就是因為對正數(shù)、負數(shù)和代數(shù)式的概念沒有正確理解。有的同學解“”時，錯解成“”，是由于對不等式的基本性質(zhì)不熟悉造成的。3要讓學生學會解題的基本方法。10解題的思想方法，在初中階段通常有綜合法、分析法、反證法等。利用綜合法解題，考慮問題是從已知條件出發(fā)，逐步推導出未知；而利用分析法則以未知條件出發(fā)，逐步推導出解決問題所需的已知條件，探索由已知向未知的道路，這兩種方法一般是在題目的條件較少，難度較低時運用，對于較為復雜的綜合性題目，我們應學會分析和綜合法，同時以已知及未知條件出發(fā)，尋求解題途徑，即所謂的分析綜合法。解題是有方法的，但沒有一種應付各種一成不變的方法，我們不應死記各種類

18、型題的解法，應該培養(yǎng)自己的分析能力，善于分析各種問題的特點，能以題目的特點出發(fā)探索解題的方法，以而積累解題經(jīng)驗。下面來給大家舉個例子。例1 方程的解是（ ）方法一：解 去分母，得關(guān)于的一元二次方程：整理得 解方程得 或（舍去）再解得 方法二：解 分子分母同乘得得 即解之得方法三：解 分子分母同時提取得等價于 即 解之得 4教會學生注意解題技巧積累。一些難度中上的題目，一般需要一些處理過程才可應用書本的有關(guān)知識解決。例如幾何中的輔助線問題通常結(jié)合定理進行，運用不同定理解題的技巧也不同。又如代數(shù)，學生若不理解并熟記一些解題技巧，即使概念、定理、公式學得再熟，也難以用得上，也只能解一些較為基礎(chǔ)的題。

19、因此要想做好難題，技巧題的筆記是有必要的，這樣能加深各種類型題的認識。中學數(shù)學中常用的解題技巧有：（1） 判別式法例2 求方程的所有實數(shù)解。解 方程可化為方程有實數(shù)根（2） 抽屜原理例3 邊長為的正方形內(nèi)任放點，討論在以這些點為頂點的各三角形中，必有一三角形面積不大于。解 如圖：圖將正方形四等分，則因為（代表小正方形的個數(shù)，表示每個小正方形中擁有點的個數(shù)），根據(jù)抽屜原理得，必有一個小正方形中有大于三個點故（3） 換元法（等量替換）換元法的理論基礎(chǔ)是“等量代換”，其本質(zhì)是引進一個“對應”。但由于換元法一般應用于較難的題目，教學中一般不做要求，所以只需稍作了解就可以了。（4） 配方法配方法的基本配

20、方單元為，其特點是目標明確、途徑多向、對象多樣、應用廣泛。例4 解 原方程變形為（5） 舉反例法例5 無理數(shù)的無理數(shù)次冪任是無理數(shù)。 （）解 舉反例若為無理數(shù)，則也為無理數(shù)。但故原命題不成立。5培養(yǎng)學生良好的思維習慣，通過練習鞏固知識。思維的嚴密性是思維能力的重要方面，在解題中不考慮得周密則顧此失彼，妨礙了數(shù)學水平的進一步提高，不少學生在教師評講完試卷后總覺得自己懂得解題知識卻不會解題方法，就認為自己笨，理解能力差，卻沒從自己的學習方法去找原因，知識是有層次，還未達到靈活運用層次，因此遇到一些陌生的題目就束手無策，要真正把握知識，只有通過適量的練習加以認識鞏固，找出知識的內(nèi)涵和外延，從而在解題

21、過程聯(lián)系上已學的有關(guān)知識，再構(gòu)思解題思路方法，平時多積累不同類型的解題經(jīng)驗，才能在考試中提高解題效率和準確性，從而得心應手。在此，為大家舉一個實例：例6 解不等式 分析：這是一道簡單的不等式證明問題，但是又有它獨特的地方，它具有一題多解的特點。要鞏固和加強解題思維的嚴密性，通過解這道題，我們就可以在這方面有一定的鍛煉。方法一：（作差法） 由、知原不等式成立。方法二：（作商法） 由、知原不等式成立。方法三：（綜合法）要證即證即證因為所以即故原不等式成立。方法四：（分析法）因為所以有即即方法五：（增加參數(shù)法）因為所以可設(shè)使得所以即方法六：（構(gòu)造函數(shù)法）令則又所以即在定義域上是增函數(shù)又因為所以有即方

22、法七：（反證法）假設(shè)則有即又因為推出與題設(shè)矛盾故原假設(shè)不成立。方法八：(定比分點法)由可知分與1的定比所以得證。方法九：（放縮法）將原式右邊進行放縮，得方法十：（坐標法）建立直角坐標系如下：設(shè)連線中點， 所以三點位置如圖： 圖由圖可知即 方法十一：（坐標法）建立直角坐標系如下：圖連接，交軸負軸于點為的一個外角所以有故有即所以即除此之外，這道題還有許多種不同的解法，筆者就不一一累述了?？傊?，要想提高學生的解題能力，是一項重要而艱巨的任務，但不能盲目急于求成，必須做到記憶基礎(chǔ)知識應用練習綜合鞏固提高總結(jié)方法技巧，提高升華，要有鉆研精神及決心毅力，并做好解題方法摘錄，積累解題經(jīng)驗，提高解題效率。此外

23、，關(guān)于怎樣解題，筆者在此向大家介紹卓越的數(shù)學教育家G·波利亞的一項研究成果3：他把自己幾十年教學和科研的經(jīng)驗集中體現(xiàn)在一張“怎樣解題表”中。這張解題表是根據(jù)一般人們在解題過程中的心理活動特征和邏輯思維順序出現(xiàn)的可能性，科學地列出來的。全表共四部分，第一部分是“弄清問題”，第二部分是“擬定計劃”，第三部分是“實現(xiàn)計劃”，第四部分是“回顧”。在第一部分和第二部分中，G·波利亞都指出了“怎樣審題”這樣一個關(guān)鍵問題。我們不妨摘錄其中一部分?！暗谝荒惚仨毰鍐栴}”“未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù),，畫張圖引入適當?shù)姆?。把條件各部分分開，你能

24、否把它們寫出來？” 進一步的審題是：“你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？” “你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？” “看著未知數(shù)！試想出一個具有相同的未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉問題”，“這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題?！薄澳隳懿荒軓囊阎獢?shù)導出某些有用的東西？”“你是否利用了所有已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要概念？”四、結(jié)束語數(shù)學學習離不開解題，數(shù)學能力的培養(yǎng)和訓練更離不開解題。解題是使學生牢固掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本技能的必要途徑，是訓練學生數(shù)學能力的重要手段，也是檢驗學生學習知識、運用知識以及發(fā)展能力的基本形式。解決數(shù)學問題是數(shù)學教育的核心，學數(shù)學就意味著解題，中學數(shù)學教學的目的，歸根結(jié)底在于培養(yǎng)學生的解題能力，提高數(shù)學解題能力是數(shù)學教學中一項十分重要的任務。教師在教學中如何更好地引導學生解答數(shù)學問題,不斷提高學生的數(shù)學解題能力,是學生牢固掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本技能的重要途徑 ,也是訓練學生數(shù)學能力的重要手段，它不僅直接關(guān)系到學生學習數(shù)學成功與否，而