數(shù)值積分的計(jì)算方法論

1、.摘要本文應(yīng)用插值積分法和逼近論的思想，簡(jiǎn)單重述了推導(dǎo)Newton-Cotes公式和Gauss-Legendre求積公式的過(guò)程，以及這兩個(gè)公式的系數(shù)、精度等問(wèn)題。并以這兩種數(shù)值積分的求解方法為基礎(chǔ)，應(yīng)用quad、guass函數(shù)編寫具體Matlab程序，通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件計(jì)算出所給題目的近似數(shù)值積分。對(duì)二者所得的結(jié)果進(jìn)行比較，從而研究了用Newton-Cotes和Gauss-Legendre公式求積分的方法和二者的精確度問(wèn)題。得知，這兩種求積公式所得的結(jié)果在精度上的確存在差異，結(jié)合理論部分更加充分地說(shuō)明了，n相同時(shí)Gauss-Legendre公式比Newton-Cotes公式具有更高的代數(shù)精度，但當(dāng)

2、代數(shù)精度相同時(shí)，二者計(jì)算的結(jié)果仍存在細(xì)微的差異。關(guān)鍵字：插值積分、Newton-Cotes公式、Gauss-Legendre公式數(shù)值積分1 理論依據(jù) 逼近論構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)p(x)近似表示f(x),然后對(duì) p(x)求積分得到 f(x)的積分的近似值?；诓逯翟?，推導(dǎo)出數(shù)值積分的基本公式。1.1插值求積公式 為了用數(shù)值方法求，對(duì)被積函數(shù)f(x)在給定的n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上作Lagrange插值，用插值函數(shù)Pn(x)代替f(x)，就可用I（Pn(x)）構(gòu)造求積公式，近似地計(jì)算定積分I(f(x)。2 NewtonCotes公式2.1 NewtonCotes公式的推導(dǎo)當(dāng)§1.1插值求積公式的插值

3、節(jié)點(diǎn)為等距節(jié)點(diǎn)時(shí)，就得到NewtonCotes公式。將區(qū)間a,bn等分，n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)為xk=a+kh (k=0,1,n)在節(jié)點(diǎn)上對(duì)f(x)的Lagrange插值多項(xiàng)式是：用Pn(x)代替f(x)構(gòu)造求積公式：記，(k=0,1,n)作代換x=a+th帶入上式，變?yōu)椋浩渲校?(k=0,1,n) （1-1）這個(gè)積分是有理多項(xiàng)式積分，它與被積函數(shù)f(x)和區(qū)間a,b無(wú)關(guān)。只要確定n就能計(jì)算出系數(shù)。于是得到稱為NewtonCotes公式的求積公式： （1-2）其中稱為NewtonCotes系數(shù)。如表1所示。表1 NewtonCotes系數(shù)n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847

4、/9032/9012/9032/907/90519/28825/9625/14425/14425/9019/288641/8409/359/28034/1059/2809/3541/840 2.2NewtonCotes公式誤差和穩(wěn)定性在積分公式中用插值多項(xiàng)式Pn(x)代替f(x)的插值誤差是因此，NewtonCotes公式的截?cái)嗾`差是 （1-3）討論舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生的影響，設(shè)（1-2）式近似計(jì)算其中計(jì)算函數(shù)值f(xn)有誤差值（k=0,1,2, ,n）。在（1-2）式中令設(shè)計(jì)算無(wú)誤差，舍入誤差也忽略，則，由（1-2）式計(jì)算時(shí)引式的誤差為如果皆為正，并設(shè)，則，故有界，即引起的誤差受控制，不

5、超過(guò)倍。保證了數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。但當(dāng)n8時(shí)，將出現(xiàn)負(fù)數(shù)，這時(shí)，數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性不能保證，所以節(jié)點(diǎn)超過(guò)8時(shí)NewtonCotes公式不能用。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，NewtonCotes積分公式具有n+1次代數(shù)精度。2.3經(jīng)典NewtonCotes公式當(dāng)n=4,5點(diǎn)公式稱為經(jīng)典NewtonCotes公式其中 (k=0,1,4)，它具有5次代數(shù)精度。3 Gauss-Legendre求積公式 在積分區(qū)間a,b內(nèi)對(duì)積分節(jié)點(diǎn)不作限制，不取等距，積分節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)都作為待定未知量。通過(guò)適當(dāng)選擇節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)，能構(gòu)造更有效的高精度求積公式。3.1計(jì)算n階求積公式若有m次代數(shù)精度，對(duì)(k=0,1,)應(yīng)有而。3.2 Ga

6、uss求積公式的基本原理更一般形式： （2-1）為權(quán)函數(shù)，設(shè)>0，且在a,b上可積，構(gòu)造n階求積公式： （2-2）積分點(diǎn)使得（2-2）式達(dá)到2n+1次代數(shù)精度，則積分點(diǎn)稱為Gauss點(diǎn)，（2-2）式稱為Gauss求積公式。3.3 Gauss-Legendre求積公式求積分，權(quán)數(shù)=1，其中（i=0，1，n）是n+1階Legendre多項(xiàng)式的零點(diǎn)，求積系數(shù)為：（i=0，1，n）具體Gauss-Legendre公式的插值節(jié)點(diǎn)和系數(shù)見表2（其中n為插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，為積分點(diǎn)，為對(duì)應(yīng)積分點(diǎn)的系數(shù)）。表二Gauss-Legendre公式的插值節(jié)點(diǎn)和系數(shù)對(duì)一般區(qū)間a,b上的積分，通過(guò)代換： 將轉(zhuǎn)換到。再用

7、Gauss-Legendre求積公式：進(jìn)行積分求解 題目給出的是用NewtonCotes公式、Gauss-Legendre求積分的問(wèn)題，為了實(shí)現(xiàn)題目要求，應(yīng)編寫Matlab程序，實(shí)現(xiàn)計(jì)算被積函數(shù)在積分區(qū)間0,1的積分，得到最終結(jié)果。最后將二者得到的結(jié)果進(jìn)行比較，得出關(guān)與NewtonCotes公式、Gauss-Legendre求積公式精確度的結(jié)論。4 結(jié)論通過(guò)以上變成和計(jì)算，得到所求的兩組積分： ， 應(yīng)用NewtonCotes積分公式所求的結(jié)果分別是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而應(yīng)用Gauss-Legendre方法所求得的結(jié)果分別是y1=1.5705 和y2= 1.3508。單

8、從結(jié)果上看，我們也能看出，NewtonCotes積分公式和Gauss-Legendre積分公式在精度上的確存在著差異（兩者n的取值不同）。而結(jié)果上的差異來(lái)源很明顯是插值積分在近似替代時(shí)產(chǎn)生的，結(jié)合第1章理論依據(jù)的內(nèi)容，Newton-Cotes積分公式的精度最高可達(dá)n+1次，Gauss-Legendre積分公式的精度為2n+1次，由此可知，當(dāng)n相同時(shí)， Gauss -Legendre積分公式比NewtonCotes積分公式具有更高的代數(shù)精度。而就本題而言Gauss -Legendre積分公式具有5次代數(shù)精度，NewtonCotes積分公式也具有5次代數(shù)精度。因此二者所求積分只存在微小的差異，結(jié)果

9、都比較準(zhǔn)確。附 錄1 NewtonCotes公式求解的Matlab程序1.1方法1：（1）在Matlab工作窗口中：fn=inline('2/(1+x.2)');y1=quad8('fn',0,1)運(yùn)行結(jié)果為：y1=1.5078（2）在Matlab工作窗口中：fn=inline('(1-1/2*(sin(x).2).(1/2)');y2=quad8('fn',0,pi/2)運(yùn)行結(jié)果為：y2 = 1.3506§1.2方法2：（1）建立M文件：function f=fn(x)f=2./(1+x.2)在Matlab工作窗口中調(diào)

10、用函數(shù)：y1=quad8('fn',0,1)運(yùn)行結(jié)果為y1=1.5078（2）建立M文件：function f=fn(x)f=(1-1/2*(sin(x).2).(1/2)在Matlab工作窗口中調(diào)用函數(shù)：y2=quad8('fn',0,pi/2)運(yùn)行結(jié)果為：y2 = 1.35062 Gauss-Legendre求積公式求解的Matlab程序2.1Gauss-Legendre方法的一些準(zhǔn)備Gauss-Legendre：具有2n+1次代數(shù)精度。當(dāng)n=2時(shí)，3階Gauss-Legendre公式在-1，1上有三個(gè)零點(diǎn)：x0=0.7745967 x1=0 x2=-0.7

11、745967即為高斯點(diǎn)發(fā)，對(duì)應(yīng)的Gauss求積系數(shù)為： 對(duì)于任意區(qū)間（有界區(qū)間）a,b,將轉(zhuǎn)換到。再用Gauss-Legendre求積公式： 進(jìn)行積分求解§2.2 n=2的Gauss-Legendre方法（1）先建立M文件：function g=gauss2(fun,a,b)h=(b-a)/2;c=(a+b)/2;x=h*(-0.7745967)+c,c,h*0.7745967+c;g=h*(0.55555556*(gaussf(x(1)+gaussf(x(3)+0.88888889*gaussf(x(2);function y=gaussf(x);y=2./(1+x.2);在Matlab工作窗口中調(diào)用函數(shù)：y1=gauss2('gaussf',0,1)運(yùn)行結(jié)果為：y1=1.5705（2）先建立M文件：function g=gauss2(fun,a,b)h=(b-a)/2;c=(a+b)/2;x=h*(-0.7745967)+c,c,h*0.7745967+