高中數(shù)學(xué)選修4-5知識點(diǎn)(最全版)

1、高中數(shù)學(xué)選修4-5知識點(diǎn)1. 不等式的基本性質(zhì)1. 實(shí)數(shù)大小的比較(1) 數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間具有一一對應(yīng)關(guān)系.(2) 設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，它們在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)分別是人b.當(dāng)點(diǎn)力在點(diǎn)的左邊時(shí)，a<b；當(dāng)點(diǎn)力在點(diǎn)的右邊時(shí)，a>b.(3) 兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小與這兩個(gè)實(shí)數(shù)差的符號的關(guān)系(不等式的意義)(a>bav a=bab=ozko(4) 兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的步驟作差；變形；判斷差的符號；結(jié)論.2. 不等關(guān)系與不等式(1) 不等號有工，>,<,w共5個(gè).(2) 相等關(guān)系和不等關(guān)系 任意給定兩個(gè)實(shí)數(shù)，它們之間要么相等，要么不相等.現(xiàn)實(shí)生活中的兩個(gè)量從嚴(yán)格意義上說相等是特殊的

2、、相對的，不等是普遍的、絕對的，因此絕大多數(shù)的量都是以不等關(guān)系存在的.(3) 不等式的定義：用不等號連接起來的式子叫做不等式.(4) 不等關(guān)系的表示：用不等式或不等式組表示不等關(guān)系.3. 不等式的基本性質(zhì)(1) 對稱性：a>b<b<a；(2) 傳遞性:a>b, b>c=a>c(3) 可加性：a>by cgroq+c>z?+q；(4) 加法法則：a>b9 c>d=a-c>b-d；(5) 可乘性：a>b9 c>qac>bc； a>b9 co=ac<bc；(6) 乘法法則：a>b>09 c&g

3、t;d>oac>bd；(7) 乘方法則：qbo, 且 n2a>b 開方法則：a>b>09刀gn且z2m2=>蒂細(xì).(9)倒數(shù)法則，即a>b>0-<7.a d2. 基本不等式1. 重要不等式定理1：如果a, bgr,那么a-l)2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)， 等號成立.2. 基本不等式定理2:如果b>0,那么a + b>2yab (號迪從當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立.(2) 定理2的應(yīng)用：對兩個(gè)正實(shí)數(shù)舟y,如果它們的和s是定值，貝！j當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，它們的積f取得最大值,如果它們的積尸是定值，貝！j當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，它們的和s取得最小

4、值，最小值為2羽3. 基本不等式佰w字的幾何解釋b俎+0_2_, rt如圖，曲是的直徑，c是曲上任意一點(diǎn)，加是過q點(diǎn)垂直m 的弦.若 ac=a9 bc=b,則 ab=a+b, 00 的半徑= acds毗dcb, c=ac bc=ab, cd=yab, cdrab- 當(dāng)且僅當(dāng)q點(diǎn)與0點(diǎn)重合時(shí)，cd=r=,即寸矗=號£4. 幾個(gè)常用的重要不等式如果ar,那么a20,當(dāng)且僅當(dāng)0=0時(shí)取等號;立.(2)如果 0 b>0,那么 abw q+r24-，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成如果q0,那么卄護(hù),當(dāng)且僅當(dāng)0=1時(shí)等號成立.o b(4)如果動(dòng)0,那么尹訐2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立.3. 三個(gè)正

5、數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式1. 如果2、b、cwr+,那么當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號成立.o| a| c2(定理 3)如果曰、b、cgr+,那么 a + b-c> 3 y/abc(- mq abc),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號成立即三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不 小于它們的幾何平均.3女口果 51,爲(wèi)，禺丘只+，那么m 編1日2孫刀v當(dāng)且僅當(dāng)0 =曰2=禺時(shí)，等號成立.即對于刀個(gè)正數(shù)爲(wèi)1, 52，, 朗 它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均.二絕對值不等式1.絕對值三角不等式1. 絕對值及其幾何意義(1)絕對值定義:|a| =a (ao)a (a<0)(2)絕對值幾何意義：實(shí)數(shù)a的絕對值|韻表示

6、數(shù)軸上坐標(biāo)為的點(diǎn)力到原點(diǎn)0的距離|創(chuàng)|(3) 數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)數(shù)軸上任意兩點(diǎn)4 分別對應(yīng)實(shí)數(shù)x, x2,貝!) |m| = |曷一衛(wèi)|2. 絕對值三角不等式(1) 定理1：如果0 b是實(shí)數(shù)，則|卄引切| + |引,當(dāng)且僅當(dāng) abo時(shí),等號成立.推論1：如果竝，b是實(shí)數(shù)，那么|曰| | b| w |曰一b| w |曰| + |引.推論2：如果a, b是實(shí)數(shù)，那么|引一|方| w | $+方| w | q| + |方|.(2) 定理2：如果日,b, c是實(shí)數(shù)，那么| ac | ab + | bc|,當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(b"2 0時(shí)，等號成立.2. 絕對值不等式的解法1. x<

7、;a與| x| >0型不等式的解法設(shè) a>0,則(1) | x <ao(2) |x|(3) | x a 或(4) |x| mao點(diǎn)一曰或 xa.2. | ax+b wc(c>0)與 | ax+b mc(c>0)型不等式的解法(1) | ax+b wc<cwox+bwc； | ax- b | 2 cax- bw c 或 ax-c.3. xa + xb wc與xa + xb me型不等式的解法 (1)利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，3解絕對值的幾何意義，給絕對值不等式以準(zhǔn)確的幾何解釋.(2) 以絕對值的零點(diǎn)為分界點(diǎn)，將數(shù)軸分為幾個(gè)區(qū)間，利用“零

8、 點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)分類討論的思想.確定各個(gè)絕對值號內(nèi)多項(xiàng)式 的正、負(fù)號，進(jìn)而去掉絕對值號.(3) 通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.正確求出函數(shù)的零點(diǎn)并畫出函數(shù)圖象(有時(shí)需要考察函數(shù)的增 減性)是關(guān)注：絕對值的幾何意義(1) |t|的幾何意義是數(shù)軸上點(diǎn)x與原點(diǎn)0的距離;(2) xa+ x-b的幾何意義是數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)日和點(diǎn)&的距離之和;-x-b的幾何意義是數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)曰和點(diǎn)b的距離之差.2. 絕對值不等式的幾何意義(l) k|a(a>0)的幾何意義是以點(diǎn)曰和一0為端點(diǎn)的線段，“(2) |>a(a>0)的幾何意義是數(shù)軸除去以點(diǎn)曰和一曰為端點(diǎn)

9、的線段后剩下的兩條射線，"|冷的解集是(-oo, -a) u (a, +oo).3. 解含絕對值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對值變形為不含絕對值的不等式(組)求解.例題：例如：分類討論法：即通過合理分類去絕對值后再求解。例1：解不等式卜一1| + |x + 2|<5 o分析：由|兀一1| = 0,卜+ 2| = 0,得兀=1和兀=2。一2和1把實(shí)數(shù)集 合分成三個(gè)區(qū)間，即x<-2 , -2<x< , x> 9按這三個(gè)區(qū)間可去 絕對值，故可按這三個(gè)區(qū)間討論。解:當(dāng)x<-2時(shí)，得x < 2(% 1)(兀 + 2) < 5解得：一3vxv2當(dāng)兀>

10、1時(shí),x> 1,（兀一1） + （兀 + 2） < 5.解得：1< x<2綜上，原不等式的解集為x|-3<x<2o例2：解不等式2x4 |3t+9|<1解：當(dāng)x>2時(shí)，原不等式可化為jt>2,“ (2x-4) 一 (3x+9) <1,解得x>2. 當(dāng)一3w點(diǎn)2時(shí)，原不等式可化為j3wa2,“ 一 (2t-4) 一(3卄9) <1,6解得一-<a<2. 當(dāng)x-3時(shí)，原不等式可化為fx 3,i- (2x-4) + (3x+9) <1,解得處一12綜上所述，原不等式的解集為x|k 12或x>尋.第二講證明

11、不等式的基本方法一比較法比較法主要有1.作差比較法2作商比較法1. 作差比較法(簡稱比差法)(1)作差比較法的證明依據(jù)是：qbab>0； a=bab=q；a<ba kq.(2) 基本步驟是：作差；變形；判號；結(jié)論.2. 作商比較法(簡稱比商法)作商比較法的證明依據(jù)是：當(dāng)b>0時(shí)，=l<f>aa=b；(2)基本步驟是：作商；變形；比較與1的大??；結(jié)論.注意：對作差比較法的理解(1)在證明不等式的各種方法中，作差比較法是最基本、最重要的方法作差比較法是通過確定不等式兩邊的差的符號來證明不等式 的，因而其應(yīng)用非常廣泛.(2)不等式差的符號是正是負(fù)，一般必須利用不等式的性

12、質(zhì)經(jīng)過 變形才能判斷，其中變形的目的在于判斷差的符號，而不必考慮差的 值是多少.變形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等.(3) 作差比較法，主要適用于不等式兩邊是整式或分式型的有理不等式的證明.(4) 在判定不等式兩邊的式子同號的條件下，如果直接作差不易變形，可以借助不等式性質(zhì)作平方差或立方差，進(jìn)行證明.2.對作商比較法的理解(1) 使用作商法證明不等式qb時(shí)，一定要注意b0這個(gè)前提條件.若 zko, £logzb £=10=0, £>10曰方. bbb(2)當(dāng)欲證明的不等式的兩邊是乘積形式、指數(shù)幕形式，不同底 的對數(shù)式形式時(shí)，常用作商法證明.二綜合法

13、與分析法1. 綜合法一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng) 過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法綜 合法又叫順推證法或由因?qū)Ч?2. 分析法證明命題時(shí)，從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件, 直到所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證 明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做 分析法.這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法.注意：1. 用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系4wb戸呂b冷b由已知逐步推演不等式成立的必要條件，從而得結(jié)論.2. 用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系能酢皓ub汗b由結(jié)論步步尋求不等式成立的充分條件，從而

14、到已知.3. 綜合法和分析法的比較(1) 相同點(diǎn)：都是直接證明.(2) 不同點(diǎn)：綜合法：由因?qū)Ч问胶啙?，易于表達(dá)；分析法：執(zhí)果索因，利于思考，易于探索.4. 證明不等式的通常做法常用分析法找證題切入點(diǎn)，用綜合法寫證題過程.三反證法與放縮法1. 反證法證明不等式時(shí)，首先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié) 合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得 到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的 結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立.我們把它稱之為反 證法.2. 放縮法證明不等式時(shí)，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目

15、的，我們把這種方法稱為放縮法.3. 換元法將所證的不等式的字母作適當(dāng)?shù)拇鷵Q，以達(dá)到簡化證題過程的目 的，這種方法稱為換元法.注意:1. 關(guān)于反證法(1) 反證法的原理是否定之否定等于肯定. 即i第一次否定11在假設(shè)中，否定了結(jié)論第二次否定一通過推理論證，又否定了假設(shè)(2) 反證法的使用范圍一般以下幾種情況適宜使用反證法： 結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題； 有關(guān)結(jié)論是以“至多”或“至少”的形式出現(xiàn)的一類命題; 關(guān)于唯一性.存在性的命題； 結(jié)論的反面是比原結(jié)論更具體、更容易研究的命題.(3) 使用反證法的主要步驟(4) 準(zhǔn)確地作出反設(shè)是反證法證題的前提，下面是常用詞語的反原結(jié)論反設(shè)原結(jié)論反設(shè)是

16、不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒有都是至少有一個(gè)不是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)大于小于等于至少有n個(gè)至多有(力一1)個(gè)小于大于等于至多有n至少有5+1)個(gè)個(gè)對所有x成立至少有一個(gè)x不成立p或q非p且非q對任何x不成立至少有一個(gè)x成立。且q非p或非q（5）運(yùn)用反證法的五點(diǎn)說明 反設(shè)時(shí)一定不能把“假設(shè)”寫成“設(shè)” 當(dāng)結(jié)論的反面有多種可能時(shí)，必須全部列出，否則證明是不完整的. 必須從結(jié)論的否定出發(fā)進(jìn)行推理，就是一定把結(jié)論的否定作為 推理的條件，只要推理中沒有用到“假設(shè)”就不是反證法. 最后導(dǎo)出的矛盾是多樣的，可能與已知矛盾、與假設(shè)矛盾、與 定義、定理、公式矛盾、與己知的事實(shí)矛盾等，但矛盾必須是明顯的. 反證法是一種

17、間接證明的方法.2. 關(guān)于放縮法 （1）放縮法證明不等式的理論依據(jù)有:不等式的傳遞性；等量加不等量為不等量.其中減去一個(gè)正數(shù)值變?。s），加上一個(gè)正數(shù)值變大（放）;同分子（分母）異分母（分 子）的兩個(gè)分式大小的比較；基本不等式與絕對值三角不等式； 三角函數(shù)的有界性等.（2）運(yùn)用放縮法證題的關(guān)鍵是:放大或縮小要適當(dāng)，千萬不能放（縮）過頭，否則問題無法獲證.（3）使用放縮法的常用變形放縮法是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮必須有目標(biāo),而且要恰到好處，目標(biāo)往往從要證明的結(jié)論考慮.常用的放縮法有增項(xiàng).減項(xiàng)、利用分式的性質(zhì)、利用不等式的性質(zhì)、利用已知不等式、利用函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行放縮.比如<

18、p2 3< n 卄0+ 4>2 1；177±17（“劭且后2）；如鼎莎企叭土霸+仟！(z?gn 且 772), 斗廠i | ；當(dāng) a>b>09 22?>0 時(shí), yjn 丫卄丫卄1m a a+m ni b b+m等.第三講柯西不等式與排序不等式1. 二維形式的柯西不等式若0 b, c, d都是實(shí)數(shù)，則ch 當(dāng)且 僅當(dāng)ad=bc時(shí)，等號成立.2. 柯西不等式的向量形式是兩個(gè)向量，則i 0|w| a|g|,當(dāng)且僅當(dāng)b是零向量，或存在實(shí)數(shù)比使a=kb時(shí)，等號成立.3. 二維形式的三角不等式設(shè)石，71 , x2 ,乃w r ,那么心+m + 7疋+顯$ v （丹

19、衛(wèi)）'+ （戸乃）1注意：1. 二維柯西不等式的三種形式及其關(guān)系定理1是柯西不等式的代數(shù)形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式.根據(jù)向量的意義及其坐標(biāo)表示不難發(fā)現(xiàn)二維形式的柯西不等式 及二維形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐標(biāo) 表示.2. 理解并記憶三種形式取的條件(1) 代數(shù)形式中當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)取等號.(2) 向量形式中當(dāng)存在實(shí)數(shù)匕a=kb或0=0時(shí)取等號.(3) 三角形式中當(dāng)p” p2, 0三點(diǎn)共線且p” p2在原點(diǎn)0兩旁時(shí)取等號.3. 掌握二維柯西不等式的常用變式(1) yj£+用 v圧+ 孑i(2) 寸才+ p$ | a

20、c| + | bd (3) v£+甘寸 d + / $bd.(4) (q+)(c+ d) 2 (yfac-hbc/)2.4. 基本不等式與二維柯西不等式的對比(1) 基本不等式是兩個(gè)正數(shù)之間形成的不等關(guān)系.二維柯西不等式是ui個(gè)實(shí)數(shù)之間形成的不等關(guān)系，從這個(gè)意義上講，二維柯西不等式是比基本不等式高一級的不等式.(2) 基本不等式具有放縮功能，利用它可以比較大小，證明不等式，當(dāng)和(或積)為定值時(shí)，可求積(或和)的最值，同樣二維形式的柯 西不等式也有這些功能，利用二維形式的柯西不等式求某些特殊函數(shù) 的最值非常有效.二一般形式的柯西不等式1. 三維形式的柯西不等式設(shè)曰1,越，越，b, b“

21、厶是實(shí)數(shù)，貝ij （云+£+云）（公+總+氏）$ 仏+竝2矗+&03）2,當(dāng)且僅當(dāng)=0（7=1, 2, 3）或存在一個(gè)數(shù)使 得ai=kbi（i=, 2, 3）時(shí)，等號成立.2. 一般形式的柯西不等式設(shè)爲(wèi)，越，a., h, ih, bx，人是實(shí)數(shù)，貝!（云+£ +云）（氏+$ 怎）$（日1方1 +日2厶 anby,當(dāng)且僅當(dāng)b】=0（i= 1, 2,，刀）或存在一個(gè)數(shù)匕使得ai=kbxi=.y 2,，z?）時(shí)，等 號成立.注意：1. 對柯西不等式一般形式的說明：一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣，其特點(diǎn)可類比二維形式的柯西不等式來

22、總結(jié), 左邊是平方和的積，右邊是積的和的平方.運(yùn)用時(shí)的關(guān)鍵是構(gòu)造出符 合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式.2. 關(guān)于柯西不等式的證明：對于函數(shù) fx） = （aixz?i）2+ （a2tz）2 h anxby,顯然f （力三0時(shí)xer恒成立，即 fx）=（云+云+ 云）#2（2ia + 82z+ + 3a）x+ （z>i +出疋）m0對xer恒成立，/ a = 4（21/?1 +日2厶+4（云+矗+云）（/+總+ b：） wo,除以4得(才+滋+云) (/+氏e) m(01厶+日2厶+ anb)2.3. 一般形式柯西不等式成立的條件：由柯西不等式的證明過程可知 hoohrminhooqix厶=砂：k

23、 =anx bn=0ub = bz =bn=o, 或辛=¥=襄 bi bzbn4. 柯西不等式的幾種常見變形：設(shè)云+£+云=/+£+方：=1,則一1001方1 +日2矗+禺人01；(2) 設(shè) a；er(y=l, 2, 3,z?),則旦土吐二±色冬njai+a：a：2 22(3) 設(shè)昂 wr, >0(7=1, 2, 3,，n),則¥+辛辛mb bibn($1 +越+禺)2a +伐+爲(wèi) (4) 設(shè) ax) (7=1, 2 , 3 ,，n),則辛 + 魯d 02bn(+爲(wèi)+)2&161 +日2血+ 8丄三排序不等式1. 亂序和.反序和.

24、順序和設(shè)awa2wwa“ bwhwwbn為兩組實(shí)數(shù)，c“ c29，cn為b,伐，a,的任一排列，稱qc + gq+qg禺©為亂序和，aibn+ a2bn-1 + a?,bn-2hanb 為反序和，aiz>i + a2 + a3hanbn為順序和.2. 排序不等式(又稱排序原理)設(shè)w盛bwhwwbn為兩組實(shí)數(shù)，ci, c29，cn是方1,，人的任一排列，那么a、bn+我-anbxaxcx + a2c2 + + ancnw 51 b + 02厶 + + anbn，當(dāng)且僅當(dāng)日1 = 02=禺或b = £= = bn時(shí)，反序和等于順序 和.3. 排序原理的簡記反序和w亂序和w

25、順序和.第四講用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式一數(shù)學(xué)歸納法1. 數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對于不小于某正整數(shù)z7o的所有正整數(shù)力都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟:(1) 證明當(dāng)n=n°時(shí)命題成立.(2) 假設(shè)當(dāng)z?=£(&gn+且&三刀0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+l時(shí)命題也成立.在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對于不小于弘的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.2. 數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍適用于證明一個(gè)與無限多個(gè)正整數(shù)有關(guān)的命題.3. 數(shù)學(xué)歸納法的步驟(1)(歸納奠基)驗(yàn)證當(dāng)/?=z2o(/?o為命題成立的起始自然數(shù))時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推

26、)假設(shè)當(dāng)n=m+,且£血時(shí)命題成立，推導(dǎo)z7=a+1時(shí)命題也成立.(3) 結(jié)論：由(1) (2)可知，命題對一切的自然數(shù)都成立.注意：用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵在于兩個(gè)步驟要做到“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”，因此必須注意以下三 點(diǎn):(1)驗(yàn)證是基礎(chǔ).數(shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一個(gè)步驟是要找一個(gè)數(shù)加 這個(gè)必就是我們要證明的命題對象的最小自然數(shù)，這個(gè)自 然數(shù)并不一定就是“1”，因此“找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)”是正確運(yùn)用 數(shù)學(xué)歸納法要注意的第一個(gè)問題.(2)遞推是關(guān)鍵數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“斤”到“點(diǎn)+ 1”的過程，必須把歸納假設(shè)時(shí)命題成立作為條件來導(dǎo)出an=k+r時(shí)命

27、題成立，在推導(dǎo)過程中，要把歸納假設(shè)用上一次或 幾次，沒有用上歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法.(3) 正確尋求遞推關(guān)系數(shù)學(xué)歸納法的第二步遞推是至關(guān)重要的,那么如何尋找遞推關(guān)系呢？在第一步驗(yàn)證時(shí)，不妨多計(jì)算幾項(xiàng)，并正確寫出來，這樣對發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系是有幫助的；探求數(shù)列的通項(xiàng)公 式時(shí)，要善于觀察式子或命題的變化規(guī)律，觀察處在哪個(gè)位置；在書寫h&+1)時(shí)，一定要把包含f(g)的式子寫出來，尤其是f(&) 中的最后一項(xiàng).除此之外，多了哪些項(xiàng)，少了哪些項(xiàng)都要分析清楚.二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例1. 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的不等式的步驟. 證明：當(dāng)?shù)度〉谝粋€(gè)值刀0時(shí)結(jié)論成立； 假設(shè)當(dāng)27=£(&wn+,且時(shí)結(jié)論成立，證明當(dāng)n=k+l 時(shí)結(jié)論也成立.由可知命題對從心開始的所有正整數(shù)z?都成立.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的重點(diǎn).用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的重點(diǎn)在第二步(同時(shí)也是難點(diǎn)所在), 即假設(shè)fgg成立，證明