線性代數(shù)特征值與特征向量自測題

1、第五章特征值與特征向量自測題（100分鐘）一、填空題：（共18分，每小題3分）1、設三階矩陣 的特征值為1，1，2，則1的特征值為（ ）；*的特征值為（ ）；（3+）的特征值為（ ）。2、設三階矩陣0，則的全部特征向量為（ ）。3、若E，則（ ）。4、已知與相似，則=（ ），=（ ）。5、設三階實對稱矩陣的特征值是1，2，3，矩陣的屬于特征值1，2的特征向量分別是，則的屬于特征值3的特征向量是（ ）。6、設n階方陣A有n個特征值分別為2，3，4，n，n+1，且方陣B與A相似，則|B-E|=_二、選擇題（共18分，每小題3分）1、已知三階矩陣A的特征值是0，-2，2，則下列結(jié)論中不正確的是（A）

2、矩陣A是不可逆矩陣（B） 矩陣A的主對角線元素之和為0（C） 特征值2和-2所對應的特征向量是正交的（D） AX=0的基礎解系由一個向量組成 2、矩陣A與矩陣（ ）相似。（A）； （B）； （C）； （D）3、下述結(jié)論正確的有（ ）。（A）階矩陣可對角化的充分必要條件是有個互不相同的特征值；（B）階矩陣可對角化的必要條件是有個互不相同的特征值；（C）有相同特征值的兩個矩陣一定相似；（D）相似的矩陣一定有相同的特征值。4、下述結(jié)論正確的有（ ），其中為階矩陣。（A）方程的每一個解向量都是對應于特征值的特征向量；（B）若為方程的一個基礎解系，則（為非零常數(shù)）是的屬于特征值的全部的特征向量；（C）與

3、有相同的特征值和相同的特征向量；（D）與有相同的特征多項式。5、設有3個線性無關(guān)的特征向量，則應滿足條件（ ）（A）；（B）；（C）；（D）。6、已知,其中,是屬于特征值的特征向量. 是屬于特征值的特征向量,則矩陣P不能為 三、計算題（共49分）1、（共15分）設A為三階矩陣，是線性無關(guān)的三維列向量，且滿足： （5分）求矩陣B，使得：（，）=（，）B；（5分）求矩陣的特征值；（5分）求可逆矩陣，使得為對角形矩陣。2、（共10分）設三階實對稱矩陣的秩為2，是的二重特征值。若，都是的屬于特征值6的特征向量。（5分）求的另一特征值和對應的特征向量；（5分）求矩陣。3、（共15分）設三階實對稱矩陣的各

4、行元素之和均為3，向量，是齊次線性方程組的兩個解。（5分）求的特征值與特征向量； （5分）求正交矩陣和對角矩陣，使；（5分）求及，其中為三階單位矩陣4、（共9分）設。求 。四、證明題（共15分，每小題5分）1、（5分）設是n階正交矩陣，且，則是的一個特征值。2、（5分）設是矩陣的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為，則， 線性無關(guān)的充分必要條件是：。3、（5分）設為階矩陣，且存在向量，有，令：，,討論線性相關(guān)性，并加以證明。 自測題參考答案一、填空題1、；。2、，其中，（為不全為零的任意常數(shù)）。3、。4、5、，（為非零常數(shù)）。6、n！二、選擇題1、C 2、C 3、D 4、D 5、B 6、 D

5、三、計算題： 1、解：（ ）（ ） =（+ 2+ 2+3） =（ ） =（ ） （ ）（ ）又, ,線性無關(guān)，（ ）可逆，（ ）（ ），與相似，即與有相同的特征值，而的特征值為：1，1，4 當解之，一個基礎解系為： 當解之，一個基礎解系為：令（，）則令（ ）（ ） =（2- 2- +）則2、解：是的二重特征值，的屬于特征性6的線性無關(guān)的特征向量有2個，由題設知：，為的屬于特征值6的線性無關(guān)的特征向量。又r， ，的另一特征值，設的所對應的特征向量為：，則有：即：（）解（），得一基礎解系為：，故的屬于特征值的全部特征向量為：，令,則有：= = =3、解： 是的特征向量。又都是的解，說明它們也都是的

6、特征向量，特征值為0；由于線性無關(guān)，特征值0的重數(shù)大于1，于是的特征值為：3，0，0；屬于3的特征向量為：；屬于0的特征向量為：不全為零）； 將單位化，得：，對施密特正交化，得：，令：，則是正交矩陣，并且（，）=（3，） 即：=解上面這個矩陣方程，得： 另外， 4、解 A有特征值-2和2（三重）。對 ，解 得基礎解系 故3重特征值有3個線性無關(guān)的特征向量，由此得A可對角化。對 ，解 得基礎解系 。令 ，則 。由此得 。于是，四、證明題：（1）證明： 是正交矩陣，又 ，即：是的一個特征值。 （2）證明：設有一組數(shù)，使 即：又， 式為： 由于已知線性無關(guān)，式成立當且僅當： 解齊次線性方程組，由于其系數(shù)行列式為： ，由于當且僅當僅有零解：故線性無關(guān)的充分必要條件是（3）證明： ， 1，2，是階矩陣的個不同的特征值，而是 的分別屬于1，2，的線性無關(guān)的特征向量。又 設有一組數(shù)：使得： 即：也即： 由于線性無關(guān)，故式成立當且僅當：