相似三角形證明技巧(共8頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上相似三角形證明技巧 姓名：_一、相似、全等的關(guān)系 全等和相似是平面幾何中研究直線形性質(zhì)的兩個(gè)重要方面，全等形是相似比為1的特殊相似形，相似形則是全等形的推廣因而學(xué)習(xí)相似形要隨時(shí)與全等形作比較、明確它們之間的聯(lián)系與區(qū)別；相似形的討論又是以全等形的有關(guān)定理為基礎(chǔ) 二、相似三角形(1)三角形相似的條件： ； ； .三、兩個(gè)三角形相似的六種圖形：只要能在復(fù)雜圖形中辨認(rèn)出上述基本圖形，并能根據(jù)問(wèn)題需要舔加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出基本圖形，從而使問(wèn)題得以解決.四、三角形相似的證題思路：判定兩個(gè)三角形相似思路：1）先找兩對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等(對(duì)平行線型找平行線)，因?yàn)檫@個(gè)條件最簡(jiǎn)單；2）再而

2、先找一對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，且看夾角的兩邊是否對(duì)應(yīng)成比例； 3）若無(wú)對(duì)應(yīng)角相等，則只考慮三組對(duì)應(yīng)邊是否成比例；a)已知一對(duì)等角角找另一角 兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似找?jiàn)A邊對(duì)應(yīng)成比例 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似 b)己知兩邊對(duì)應(yīng)成比例找?jiàn)A角相等 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似找第三邊也對(duì)應(yīng)成比例 三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似找一個(gè)直角 斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似 c)己知一個(gè)直角 找另一角 兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似 找兩邊對(duì)應(yīng)成比例 判定定理1或判定定理4d)有等腰關(guān)系 找頂角對(duì)應(yīng)相等 判定定理1 找底角對(duì)應(yīng)相等 判定定理1 找底和腰對(duì)應(yīng)成比例 判定定理3 e)相

3、似形的傳遞性 若12，23，則13五、確定證明的切入點(diǎn)。幾何證明題的證明方法主要有三個(gè)方面。第一，從“已知”入手，通過(guò)推理論證，得出“求證”；第二，從“求證”入手，通過(guò)分析，不斷尋求“證據(jù)”的支撐，一直追溯回到“已知”；第三，從“已知”及“求證”兩方面入手，通過(guò)分析找到中間“橋梁”，使之成為清晰的思維過(guò)程。六、證明題常用方法歸納：（一）、總體思路:“等積”變“比例”，“比例”找“相似”（二）、證比例式和等積式的方法：對(duì)線段比例式或等積式的證明：常用“三點(diǎn)定形法”、等線段替換法、中間比過(guò)渡法、面積法等若比例式或等積式所涉及的線段在同一直線上時(shí)，應(yīng)將線段比“轉(zhuǎn)移”(必要時(shí)需添輔助線)，使其分別構(gòu)成

4、兩個(gè)相似三角形來(lái)證明 可用口訣： 遇等積，改等比，橫看豎看找關(guān)系； 三點(diǎn)定形用相似，三點(diǎn)共線取平截； 平行線，轉(zhuǎn)比例，等線等比來(lái)代替； 兩端各自找聯(lián)系，可用射影和園冪1、“三點(diǎn)定形法”：通過(guò)“橫找”“豎看”尋找三角形，由有關(guān)線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)來(lái)確定三角形的方法。具體做法是：先看比例式前項(xiàng)和后項(xiàng)所代表的兩條線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)能否分別確定一個(gè)三角形，若能，則只要證明這兩個(gè)三角形相似就可以了，這叫做“橫定”；若不能，再看每個(gè)比的前后兩項(xiàng)的兩條線段的兩條線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)能否分別確定一個(gè)三角形，則只要證明這兩個(gè)三角形相似就行了，這叫做“豎定”。例1、已知:如圖,ABC中,CEAB,BFAC.求證

5、: 例2、如圖，CD是RtABC的斜邊AB上的高，BAC的平分線分別交BC、CD于點(diǎn)E、F，求證：AC·AE=AF·AB例3、已知：如圖，ABC中，ACB=900，AB的垂直平分線交AB于D，交BC延長(zhǎng)線于F。 求證：CD2=DE·DF。 例3、如圖在ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，DFAB于F，交AC的延長(zhǎng)線于H，交BE于G，求證：(1)FG / FAFB / FH (2)FD是FG與FH的比例中項(xiàng)AEFBDGCH說(shuō)明：證明線段成比例或等積式，通常是借證三角形相似找相似三角形用三點(diǎn)定形法(在比例式中，或橫著找三點(diǎn)，或豎著找三點(diǎn))，若不能找到相似三角

6、形，應(yīng)考慮將比例式變形，找等積式代換，或直接找等比代換例4、如圖6，ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，已知BE：EC3：1， CADBEF圖6 SFBE18，求：(1)BF：FD (2)SFDA 說(shuō)明：線段BF、FD三點(diǎn)共線應(yīng)用平截比定理由平行四邊形得出兩線段平行且相等，再由“平截比定理”得到對(duì)應(yīng)線段成比例、三角形相似；由比例合比性質(zhì)轉(zhuǎn)化為所求線段的比；由面積比等于相似比的平方，求出三角形的面積 2、過(guò)渡法（或叫代換法）有些習(xí)題無(wú)論如何也構(gòu)造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運(yùn)用“過(guò)渡”，其主要類型有三種：（1）等量過(guò)渡法（等線段代換法）遇到三點(diǎn)定形法無(wú)法解決欲證的問(wèn)題時(shí)，即如果線

7、段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個(gè)三角形，但這兩個(gè)三角形并不相似，那就需要根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來(lái)代替這條線段，如果沒(méi)有，可考慮添加簡(jiǎn)單的輔助線。然后再應(yīng)用三點(diǎn)定形法確定相似三角形。當(dāng)然，還要注意最后將代換的線段再代換回來(lái)。例5：如圖3，ABC中，AD平分BAC， AD的垂直平分線FE交BC的延長(zhǎng)線于E求證：DE2BE·CEABCEDGF練習(xí)：如圖8在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BEAC交AC于F，過(guò)F作FGAB交AE于G求證：AG 2AF×FC 說(shuō)明：證明線段的等積式，可先轉(zhuǎn)化為比例式，再用等

8、線段替換法，然后利用“三點(diǎn)定形法”確定要證明的兩個(gè)三角形相似、例6如圖，已知ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，CFBA，BF交AD于P點(diǎn)，交AC于E點(diǎn)。 求證：BP2=PE·PF。 分析：因?yàn)锽P、PE、PF三條線段共線，找不到兩個(gè)三角形，所以必須考慮等線段代換等其他方法，因?yàn)锳B=AC，D是BC中點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)知AD是BC的垂直平分線，如果我們連結(jié)PC，由線段垂直平分線的性質(zhì)知PB=PC，只需證明PECPCF，問(wèn)題就能解決了。 （2）等比過(guò)渡法（等比代換法）當(dāng)用三點(diǎn)定形法不能確定三角形，同時(shí)也無(wú)等線段代換時(shí)，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為比例式搭

9、橋，并進(jìn)行代換，然后再用三點(diǎn)定形法來(lái)確定三角形。例7：如圖4，在ABC中，BAC=90°，ADBC，E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F求證：BEACDMN練習(xí)：如圖，在ABC中，AD是BC邊上的中線，M是AD的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交AB于N求：AN：AB的值； 說(shuō)明：求比例式的值，可直接利用己知的比例關(guān)系或是借助己知條件中的平行線，找等比過(guò)渡當(dāng)已知條件中的比例關(guān)系不夠用時(shí)，還應(yīng)添作平行線，再找中間比過(guò)渡例8如圖，已知：在ABC中，BAC=900，ADBC，E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延長(zhǎng)線于F。 求證： 。 （3）、等積過(guò)渡法（等積代換法）思考問(wèn)題的基本途徑是：用三點(diǎn)定形法確定兩

10、個(gè)三角形，然后通過(guò)三角形相似推出線段成比例；若三點(diǎn)定形法不能確定兩個(gè)相似三角形，則考慮用等量（線段）代換，或用等比代換，然后再用三點(diǎn)定形法確定相似三角形，若以上三種方法行不通時(shí)，則考慮用等積代換法。例9：如圖5，在ABC中，ACB=90°，CD是斜邊AB上的高，G是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)B作BEAG，垂足為E，交CD于點(diǎn)F求證：CD2DF·DG 小結(jié)：證明等積式思路口訣：“遇等積，化比例：橫找豎找定相似； 不相似，不用急：等線等比來(lái)代替?！保ㄈ┍壤龁?wèn)題：常用處理方法是將“一份”看著k;對(duì)于等比問(wèn)題，常用處理辦法是設(shè)“公比”為k。（四）對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形，通常采用將部分需要的

11、圖形（或基本圖形）“分離”出來(lái)的辦法處理。七、中考鏈接：例10（2015.資陽(yáng)）如圖10，直線yax1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線y（x0）相交于點(diǎn)P，PCx軸于點(diǎn)C，且PC=2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1）求雙曲線的解析式；（2）若點(diǎn)Q為雙曲線上點(diǎn)P右側(cè)的一點(diǎn)，且QHx軸于H，當(dāng)以點(diǎn)Q、C、H為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).同步練習(xí)：1如圖，E是平行四邊形的邊DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，EC交AB于點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)F,求證：FC²=FG·EF. 2如圖，E是正方形ABCD邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE交CD于F,過(guò)F作FMBE交DE于M.求證：FM=CF.(注：等線替代和等比替代的思想不局限于證明等積式，也可應(yīng)用于線段相等的證明。此題用等比替代可以解決。)【家庭作業(yè)】 1如圖，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且ADE=C 求證：（1）ADEACB; (2)AD·AB=AE·AC. 2、如圖，ABC中，點(diǎn)DE在邊BC上，且ADE是等邊三角形，BAC=120°求證：（1）ADBCEA;（2）DE²=BD·CE; (3)AB&#