高等數(shù)學(xué)：8-2 冪級(jí)數(shù)(1-41)

1、8.3 冪冪 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)11函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)函數(shù)序列設(shè)函數(shù)序列 , )(xun)(xun在區(qū)間在區(qū)間 I 上有定義上有定義 ,級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 121nnnxuxuxuxu)()()()(稱為定義在區(qū)間稱為定義在區(qū)間 I 上的上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 若若 x0 I 使級(jí)數(shù)使級(jí)數(shù) 收斂收斂 ,則稱則稱 x0 為函數(shù)為函數(shù) 10nnxu)(項(xiàng)級(jí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的的收斂點(diǎn)收斂點(diǎn) , 否則稱為否則稱為發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn) 1nnxu)(收斂域收斂域:級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 的收斂點(diǎn)的全體所成的的收斂點(diǎn)的全體所成的 1nnxu)(集合稱為級(jí)數(shù)集合稱為級(jí)數(shù) 的的收斂域收斂域 1nnxu)(和函數(shù)和函數(shù):在級(jí)數(shù)在級(jí)數(shù) 的收斂域上的收斂

2、域上 1nnxu)( 121nnnxuxuxuxuxS)()()()()(稱為級(jí)數(shù)稱為級(jí)數(shù) 的的和函數(shù)和函數(shù) 1nnxu)(余和余和: 1nkknnxuxSxSxr)()()()(2 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù):形如形如 nnaxcaxcaxcc)()()(2210(1)的級(jí)數(shù)稱為的級(jí)數(shù)稱為 x - a 的的冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) , a 稱為冪級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù) (1) 的的基點(diǎn)基點(diǎn) , c , , c , cn10稱為冪級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù) (1) 的的系數(shù)系數(shù) 當(dāng)當(dāng) a = 0 時(shí)時(shí) , (1) 變形為變形為 nnxcxcxcc2210(2)式式 (2) 就是以就是以 a = 0 為基點(diǎn)的為基點(diǎn)的 x 的冪級(jí)

3、數(shù)的冪級(jí)數(shù) 若令若令 t = x-a , 則冪級(jí)數(shù)則冪級(jí)數(shù) (1) 可表示為可表示為 nntctctcc2210(3)式式 (3) 就是以就是以 a = 0 為基點(diǎn)的為基點(diǎn)的 t 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù) .所以所以 ,我們只需討論以我們只需討論以 a = 0 為基點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)為基點(diǎn)的冪級(jí)數(shù) (2) 就夠了就夠了 問(wèn)題問(wèn)題:(1) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) (2) 的收斂范圍是怎樣的的收斂范圍是怎樣的 ?(2) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) (2) 的收斂范圍如何確定的收斂范圍如何確定 ?(3) 冪級(jí)數(shù)表示的和函數(shù)冪級(jí)數(shù)表示的和函數(shù) S(x) 有何性質(zhì)有何性質(zhì) ?定理定理 ( 阿貝爾定理阿貝爾定理 )(1) 如果對(duì)不等于零的值如果

4、對(duì)不等于零的值 x1 , 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 收斂收斂 , 0nnnxc則對(duì)區(qū)間則對(duì)區(qū)間 中的一切中的一切 x , 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) ) , (11xx 0nnnxc絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 (2) 如果冪級(jí)數(shù)如果冪級(jí)數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) x2 處發(fā)散處發(fā)散 , 則對(duì)滿足則對(duì)滿足 0nnnxc x x2 的一切的一切 x , 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 都發(fā)散都發(fā)散 0nnnxc證明證明 (1) 由由 收斂收斂 01nnnxc01 nnnxc lim 存在存在 M 0 , 使使M nnxc1任取任取 x ,) , (11xx 則則 . 1xx 由于由于, Mnnnnnnxxxxxcxc111 因?yàn)橐驗(yàn)?1 xx 01nnxxM收斂收

5、斂 據(jù)比較判別法知級(jí)數(shù)據(jù)比較判別法知級(jí)數(shù) 收斂收斂 , 0nnnxc(2) 利用反證法利用反證法 若若 使級(jí)數(shù)使級(jí)數(shù) 收斂收斂 , x x2 0nnnxc則由結(jié)論則由結(jié)論 (1) 可知級(jí)數(shù)可知級(jí)數(shù) 收斂收斂 , 矛盾矛盾 02nnnxc所以結(jié)論成立所以結(jié)論成立 0nnnxc從而知級(jí)數(shù)從而知級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 定理說(shuō)明定理說(shuō)明:對(duì)于冪級(jí)數(shù)對(duì)于冪級(jí)數(shù) , 只要它不是處處發(fā)散只要它不是處處發(fā)散 ( 注意注意 : 0nnnxc冪級(jí)數(shù)在基點(diǎn)處總是收斂的冪級(jí)數(shù)在基點(diǎn)處總是收斂的 ) , 則它的收斂范圍則它的收斂范圍一定是以基點(diǎn)為中心的對(duì)稱區(qū)間一定是以基點(diǎn)為中心的對(duì)稱區(qū)間 ( 含端點(diǎn)或不含含端點(diǎn)或不含端

6、點(diǎn)端點(diǎn) , 也可為無(wú)窮區(qū)間也可為無(wú)窮區(qū)間 ) , 并且在此區(qū)間的內(nèi)部并且在此區(qū)間的內(nèi)部 ,冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂?jī)缂?jí)數(shù)絕對(duì)收斂 因此因此 , 阿貝爾定理阿貝爾定理刻畫(huà)了冪級(jí)數(shù)的收斂域的特征刻畫(huà)了冪級(jí)數(shù)的收斂域的特征定義定義同時(shí)同時(shí) , 將時(shí)冪級(jí)數(shù)將時(shí)冪級(jí)數(shù) 收斂的點(diǎn)的全體收斂的點(diǎn)的全體 0nnnxc稱為此冪級(jí)數(shù)的稱為此冪級(jí)數(shù)的收斂域收斂域 r x 而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)時(shí) ,對(duì)于冪級(jí)數(shù)對(duì)于冪級(jí)數(shù) , 如果存在一正數(shù)如果存在一正數(shù) r , 0nnnxc使當(dāng)使當(dāng) 時(shí)時(shí) , 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 收斂收斂 , r x 0nnnxc級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 發(fā)散發(fā)散 , 則稱此數(shù)則稱此數(shù) r 為冪級(jí)數(shù)為冪級(jí)數(shù) 的的 0nnnxc 0nnnxc收斂

7、半徑收斂半徑 , 并稱區(qū)間并稱區(qū)間 ( - r , r ) 為此冪級(jí)數(shù)的為此冪級(jí)數(shù)的收斂收斂區(qū)間區(qū)間冪級(jí)數(shù)收斂域的確定冪級(jí)數(shù)收斂域的確定: 首先必須確定冪級(jí)數(shù)首先必須確定冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑的收斂半徑 r 0nnnxc如果如果 , 則有則有 nnncc1limxxcxcnnnnn 11lim(1) 若若 = 0 ,此時(shí)對(duì)任意的此時(shí)對(duì)任意的 x R ,0 x 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 都收斂都收斂 0nnnxc 收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?(- , + ) 收斂半徑為收斂半徑為 r = + (2) 若若 = + ,此時(shí)對(duì)任意的此時(shí)對(duì)任意的 x R , x 0 , 有有 收斂半徑為收斂半徑為 r = 0 1 x 冪級(jí)數(shù)冪

8、級(jí)數(shù) 對(duì)所有對(duì)所有 x 0 都發(fā)散都發(fā)散 0nnnxc 收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?0 (3) 若若 0 0 nnxxnn 11110即即 x 0 2 冪級(jí)數(shù)表示的和函數(shù)的性質(zhì)冪級(jí)數(shù)表示的和函數(shù)的性質(zhì)設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑的收斂半徑 R 0 , 0nnnxc其和函數(shù)其和函數(shù)為為 S(x) , 則則) , ( , )(RRxxcxSnnn 0下面我們討論冪級(jí)數(shù)表示的和函數(shù)下面我們討論冪級(jí)數(shù)表示的和函數(shù) S(x) 的函數(shù)性質(zhì)的函數(shù)性質(zhì)定理定理 ( 冪級(jí)數(shù)的連續(xù)性冪級(jí)數(shù)的連續(xù)性 )設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù) 的收的收 0nnnxc斂半徑為斂半徑為 r 0 , 則和函數(shù)則和函數(shù) S(x) 在其定義域在其定義域 (

9、即即冪級(jí)數(shù)的收斂域冪級(jí)數(shù)的收斂域 )上連續(xù)上連續(xù) 也就是也就是 limlim0 00000nnnxxnnnnnnxxxcxcxc也就是也就是)lim()(lim 0000nnnxxnnnxxxcxc說(shuō)明說(shuō)明: 上式說(shuō)明上式說(shuō)明: 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 對(duì)于收斂域中的對(duì)于收斂域中的 0nnnxc點(diǎn)點(diǎn) x0 , 可以逐項(xiàng)取極限可以逐項(xiàng)取極限 定義域中的任意一點(diǎn)定義域中的任意一點(diǎn) ,即若即若 x0 是是 0nnnxcxS)()()(lim00 xSxSxx 則有則有定理定理 ( 冪級(jí)數(shù)的可微性冪級(jí)數(shù)的可微性 )說(shuō)明說(shuō)明: (1) 上式說(shuō)明上式說(shuō)明: 冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且可以逐

10、項(xiàng)求導(dǎo)可以逐項(xiàng)求導(dǎo) 半徑為半徑為 r 0 , 則和函數(shù)則和函數(shù) S(x) 在在 ( -r , r )內(nèi)可微內(nèi)可微 , 且且 0nnnxc 0110nnnnnnnnnxncxcxc)()(設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù) 的收斂的收斂(2) 不加證明的指出不加證明的指出: 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 與級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù) 0nnnxc 11nnnxnc具有相同的收斂半徑具有相同的收斂半徑 即即 , 逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo)不改變冪級(jí)數(shù)的收斂半徑不改變冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 (3) 盡管盡管 與與 具有相同的收斂具有相同的收斂 0nnnxc 11nnnxnc半徑但收斂域未必相同半徑但收斂域未必相同 例如例如冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 與與 12nnnx, nxnn

11、11)( 12nnnx, nxnn 11對(duì)于冪級(jí)數(shù)對(duì)于冪級(jí)數(shù) , 收斂半徑為收斂半徑為 12nnnx1112 nnnrlim收斂區(qū)間收斂區(qū)間 ( -1 , 1 ) , 可知其收斂域?yàn)榭芍涫諗坑驗(yàn)?-1 , 1 對(duì)于冪級(jí)數(shù)對(duì)于冪級(jí)數(shù) , 收斂半徑為收斂半徑為 11nnnx, nrnn111 lim收斂區(qū)間收斂區(qū)間 ( -1 , 1 ) , 可知其收斂域?yàn)榭芍涫諗坑驗(yàn)?-1 , 1 ) (4) 注意注意: 在在 x = r 0 ( r 為收斂半徑為收斂半徑 ) 0nnnxcxS)(即為反例即為反例 ) ,處收斂處收斂 , 但但 S(x) 在在 x = r 處不一定可導(dǎo)處不一定可導(dǎo) ( 上面的例

12、子上面的例子即冪級(jí)數(shù)在其收斂域的端點(diǎn)處不一定即冪級(jí)數(shù)在其收斂域的端點(diǎn)處不一定具有可微性具有可微性 . 但有下性質(zhì)但有下性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)若若 在在 x = r 處處, xcxSnnn 0)( 11nnnxnc收斂收斂 , 則則 S(x) 在在 x = r 處可導(dǎo)處可導(dǎo) , 且且 11nnnrncrS)( 可逐項(xiàng)求導(dǎo)可逐項(xiàng)求導(dǎo) )證明證明)( lim)()(lim)( SrxrSxSrSrxrx 1111nnnnnnrxrncnc lim定理定理 ( 冪級(jí)數(shù)的可積性冪級(jí)數(shù)的可積性 ) 0nnnxc半徑為半徑為 r 0 , 則和函數(shù)則和函數(shù) S(x) 在其定義域上可積而在其定義域上可積而 0010001

13、nnnnxnnxnnnxncdttcdttc)()(設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù) 的收斂的收斂且對(duì)其定義域中的任一點(diǎn)且對(duì)其定義域中的任一點(diǎn) x 有有說(shuō)明說(shuō)明: (1) 上式說(shuō)明上式說(shuō)明: 冪級(jí)數(shù)在其定義域上可積而且冪級(jí)數(shù)在其定義域上可積而且可以逐項(xiàng)積分可以逐項(xiàng)積分 (2) 與與 具有相同的收斂半徑具有相同的收斂半徑 , 0nnnxc 011nnnxnc但收斂域未必相同但收斂域未必相同 關(guān)于冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算有以下性質(zhì)關(guān)于冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算有以下性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 1和函數(shù)分別為和函數(shù)分別為 S1(x) 與與 S2(x) , 則則 在在 0nnnnxba)(設(shè)設(shè) 與與 的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?I1 和和 I2 , 0nnnxa

14、 0nnnxb21II 上收斂上收斂 , 且且 0nnnnxba)( 0nnnxa 0nnnxb2121II x , xSxS )()(性質(zhì)性質(zhì) 2設(shè)設(shè) 與與 的收斂半徑為的收斂半徑為 R1 和和 R2 , 0nnnxa 0nnnxb和函數(shù)分別為和函數(shù)分別為 S1(x) 和和 S2(x) , 若記若記 R = min R1 , R2 ,則則 與與 的柯西乘積在的柯西乘積在 ( -R , R ) 內(nèi)收斂?jī)?nèi)收斂, 0nnnxa 0nnnxb且和函數(shù)等于且和函數(shù)等于 S1(x) S2(x) , 即即)()(nnnnnnnnnkknkxbxaxba 0000) , ( , )()(RRxxSxS 21

15、例例求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù) nxnnn111)(解解先求冪級(jí)數(shù)的收斂域先求冪級(jí)數(shù)的收斂域 nnncc1 lim 11 nnnlim1 r 收斂區(qū)間收斂區(qū)間 ) , (11 又當(dāng)又當(dāng) x = 1 時(shí)時(shí) , 冪級(jí)數(shù)收斂?jī)缂?jí)數(shù)收斂 當(dāng)當(dāng) x = -1 時(shí)時(shí) , 冪級(jí)數(shù)發(fā)散冪級(jí)數(shù)發(fā)散 ,收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)? , (11 設(shè)設(shè)()()( , x , nxxSnnn11111對(duì)任意的對(duì)任意的 x ( -1 , 1 ) xxSnnn1111)()( 11132 xxxx兩邊從兩邊從 0 到到 x 積分有積分有 xxdxxdxxS0011 )( 1110 xxSxS , )ln()()(11001

16、xSxxS )( )ln()(即即111111x , nxxnnn)()ln(由于由于 在在 x = 1 處收斂處收斂 nxnnn111)(nxnnnx11112)(limlnnxnnnx1111)(limnnn110 )(所以有所以有111111x , nxxnnn)()ln( 在在 x = 1 處處連續(xù)連續(xù) , 兩邊取極限有兩邊取極限有例例求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù) 112 nnxn解解1122 nnn)(lim 1 r 收斂區(qū)間收斂區(qū)間 . ) , (11 因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng) 時(shí)時(shí) , 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 1 x發(fā)散發(fā)散112 nnxn的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?( -1 , 1 ) 設(shè)設(shè)11112

17、xxnxSnn , )(當(dāng)當(dāng) x ( -1 , 1 ) 時(shí)時(shí) )()(nnxnxS 1 ) (nnxn 1)( nnnxxn 11)()( 111nnnnxxn)()(1nxxxn 11)()(nxxxn 111)()(xxxx 112311)(xx 231112)()(xx 所以有所以有11113112 xxxxnxSnn , )()(例例求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù) 11nnnnx)(解解1121 )()(limnnnnn 1 r 收斂區(qū)間收斂區(qū)間 . ) , (11 因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng) 時(shí)時(shí) , 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂 , 1 x的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?-1 , 1 11nnnnx)(設(shè)設(shè) , )()(1111 xnnxxSnn當(dāng)當(dāng) x = 0 時(shí)時(shí) , S(0) = 0 當(dāng)當(dāng) x 0 , x ( -1 , 1 ) 時(shí)時(shí) )()( 1111nnnnxxxS 101nxndtntx )(dtntxxnn 011 )(dtdssxxntn 01011 )( xtnndtdssx0011