連續(xù)函數(shù)的運算與性質(zhì)

1、定理定理2. 連續(xù)單調(diào)遞增連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù)函數(shù)的反函數(shù)xx cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的算術(shù)運算一、連續(xù)函數(shù)的算術(shù)運算定理定理1. 在某點連續(xù)的在某點連續(xù)的有限個有限個函數(shù)經(jīng)函數(shù)經(jīng)有限次有限次和和 , 差差 , 積積 ,( 利用極限的四則運算法則證明利用極限的四則運算法則證明)連續(xù)xx cos,sin商商(分母不為分母不為 0) 運算運算, 結(jié)果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù)結(jié)果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù) .例如例如,例如例如,xysin在在,22上連續(xù)單調(diào)遞增，上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)其反函數(shù)xyarcsin(遞減遞減).在在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增上

2、也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增遞增(遞減遞減)也連續(xù)單調(diào)也連續(xù)單調(diào)定理定理3. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.xey 在在),(上連續(xù)上連續(xù) 單調(diào)單調(diào) 遞增遞增,其反函數(shù)其反函數(shù)xyln在在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增上也連續(xù)單調(diào)遞增.證證: 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu,0連續(xù)在點 x.)(00ux,)(0連續(xù)在點函數(shù)uxfy . )()(lim00ufufuu于是于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故復(fù)合函數(shù)故復(fù)合函數(shù))(xf.0連續(xù)在點 x又如又如, 且且即即)(lim0 xfxx例如例如,xy1sin是由連續(xù)函數(shù)鏈?zhǔn)怯蛇B續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1

3、xu , 00 ,x因此因此xy1sin在在上連續(xù)上連續(xù) .復(fù)合而成復(fù)合而成 ,xyoxy1sinP71 例例1 例例2 , 00 ,x例例3. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36ex2習(xí)題習(xí)題. 求求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1習(xí)題：求習(xí)題：求.1lim0 xaxx解解: 令令, 1xat則則, )1 (logtxa原式原式)1 (loglim0ttataln說明說明: 當(dāng)當(dāng), ea 時時, 有有0 x)1ln(x1xexx二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、

4、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)一切初等函數(shù)在在定義區(qū)間內(nèi)定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)例如例如,21xy的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為1, 1(端點為單側(cè)連續(xù)端點為單側(cè)連續(xù))xysinln的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為Znnn, ) 12( ,2(求初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)某點的極限，只需求初求初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)某點的極限，只需求初等函數(shù)在該點的函數(shù)值。等函數(shù)在該點的函數(shù)值。P72 例例4說明說明: 若若,0)(lim0 xuxx則有則有)()(1lim0 xvxxxu,)(

5、lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxP72 例例5bxvxxxvxxxxxxxuxvxuxvxvaxuxubxvaxueexuxuxuxfxxxv)(lim)()(ln)()(ln)()(00000)()(lim)(lim,)(lim, 0)(lim)(0)()()(則有若為冪指函數(shù)。也不是指數(shù)函數(shù)，稱其既不是冪函數(shù)，函數(shù)一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即: 設(shè), ,)(baCxfxoyab)(xfy 12則, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.在該區(qū)間上一定有最大注意

6、注意: 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立 .或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷 點 ,例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無最大值和最小值 又如又如, ,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM定理定理8由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故證證: 設(shè), ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .二、介值定理二、介值定理定理定理9. ( 零點定理 ), ,)(baCxf至少有一點, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有

7、界. 的零點。為函數(shù)則稱如果)(0)(00 xfxxf定理定理10. ( 介值定理 ) 設(shè) , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf則對 A 與 B 之間的任一數(shù) C ,一點, ),(ba證證: 作輔助函數(shù)Cxfx)()(則,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零點定理知, 至少有一點, ),(ba使,0)(即.)(Cf推論推論:Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 必取得介于最小值與最大值之間的任何值 .例例6. 證明方程01423 xx一個根 .證證: 顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故據(jù)零點定理, 至

8、少存在一點, ) 1 ,0(使,0)(f即01423P74 例例7在區(qū)間)1 ,0(內(nèi)至少有0)()()(212xfxff上連續(xù) , 且恒為正 ,習(xí)題習(xí)題. 設(shè))(xf在,ba對任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一點證證:, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 則,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21時當(dāng)xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零點定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()

9、(21xfxff當(dāng))()(21xfxf時, 取1x或2x, 則有)()()(21xfxff證明:*三三. 一致連續(xù)性一致連續(xù)性已知函數(shù))(xf在區(qū)間 I 上連續(xù), 即:,0Ix ,0,0,0時當(dāng) xx)()(0 xfxf一般情形,.,0都有關(guān)與x,0無關(guān)時與若x就引出了一致連續(xù)的概念 .定義定義:, I, )(xxf對,0若,0存在, I,21xx對任意的都有,)()(21xfxf)(xf則稱在在 I 上一致連續(xù)上一致連續(xù) .顯然:上一致連續(xù)在區(qū)間 I)(xf上連續(xù)在區(qū)間 I)(xf,21時當(dāng) xx例例9,xxf1)(, 1,0(C但不一致連續(xù) .因為, ) 10(0取點, )N(,11211

10、nxxnn則 21xx 111nn) 1(1nn可以任意小但)()(21xfxf) 1( nn1這說明xxf1)(在 ( 0 , 1 上不一致連續(xù) .定理定理11.,)(上連續(xù)在閉區(qū)間若baxf,)(baxf在則上一致連續(xù).P75 例例8備用題備用題 13xex至少有一個不超過 4 的 證證：證明令且0根據(jù)零點定理 ,原命題得證 .內(nèi)至少存在一點在開區(qū)間顯然正根 .1)(3xexxf上連續(xù)，在閉區(qū)間40)(xf1)0(3ef0314)4(34eef40， 040f，使，小結(jié)：小結(jié)：)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,ba,b上連續(xù)上連續(xù)(1) 有界性有界性,0baxM Mxf )(2) 最值定理最值定理f(x)在在a,b有最大值，最小值有最大值，最小值在在a,b上至少存在兩點上至少存在兩點 ， 12bax,)()()(21 fxff (3) 零點存在定理零點存在定理若若0)()( bfaf則在（則在（a，b）內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點 ，使使0)( f(4) 介值定理介值定理M，m分別是其在分別是其在a,b上的最大、最小值上的最大、最小值Mcm 任意任意則在則在a,b內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少