淺析圓錐曲線及其性質

1、淺析圓錐曲線及其性質 羅國浩 深圳市桂園中學 摘要:圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓，通過直角坐標系，他們與二次方程對應，所以，圓錐曲線又叫做二次曲線。圓錐曲線是平面解析幾何的主要內容之一，在解析幾何中有非常重要的地位，在日常生活和科學技術上有著廣泛的應用。這里對圓錐曲線的定義、性質、標準方程及圖像.進行分析和概括。關鍵詞：圓錐曲線 性質 焦點 準線 切線 焦半徑公元前4世紀古希臘著名學者梅內克繆斯在解決 “倍立方問題”的過程中他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線取頂角為銳角、直角、鈍角的三種不同的直圓錐，用垂直于直圓錐的一條母線的平面去截它們，就得到三種不同的截線，即現(xiàn)在所說的橢圓、拋物線、雙曲線經(jīng)過了約二

2、百年的時間，圓錐曲線的研究取得了重大突破，其中研究成就最突出的是古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯(公元前262到公元前190)其巨著圓錐曲線與歐幾里得的幾何原本同被譽為古代希臘幾何的登峰造極之作圓錐曲線幾乎將圓錐曲線性質網(wǎng)羅殆盡直到16世紀，有兩件事促使了人們對圓錐曲線作進一步研究一是德國天文學家開普勒揭示出行星按圓錐曲線軌道環(huán)繞太陽運行的事實二是伽利略得出物體斜拋運動的軌道是拋物線這使人們對圓錐曲線的實際意義有了更深的認識17世紀解析幾何的創(chuàng)立為圓錐曲線的研究帶來了生機作為點運動軌跡的圓錐曲線，在引入坐標后顯示出一個更明顯的特征，它是二次方程的圖像，即它又被命名為二次曲線到了18世紀，歐拉發(fā)表了分析

3、引論，這是解析幾何發(fā)展史上的一部重要著作，也是圓錐曲線研究的經(jīng)典之作在這部著作中，歐拉給出了現(xiàn)代形式下圓錐曲線的系統(tǒng)闡述.一.圓錐曲線的定義圓錐曲線的定義有幾何直觀上的定義和數(shù)量關系上的定義.如果用一個不經(jīng)過圓錐頂點的平面去截兩邊可以無限延伸的圓錐面，那么由于截面與軸的夾角不同，他們的交線可能就是橢圓(包括圓)、雙曲線或者是拋物線，由于曲線在圓錐面上，所以我們把橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線.我們用表示圓錐的軸與截面所成的角(圖1-1)，記圓錐的半頂角為,當時，即平面與軸垂直時，則得到的截線是圓（特殊的橢圓），當時，則得到的截線是橢圓，當時，則得到的截線是拋物線，當時，則得到的截線是雙曲線

4、.圖1-1除以上定義外，橢圓、雙曲線和拋物線還有各自的定義：平面內一個動點到兩個定點的距離之和等于定長的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做焦點.平面內一個動點到兩個定點的距離之差等于定長的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做焦點.平面內一個動點到一個定點和一條定直線的距離相等的軌跡叫做拋物線，這個定點叫做焦點，這條定直線叫做準線.除圓以外，圓錐曲線有統(tǒng)一的定義：平面內的一個動點到一個定點和一條定直線的距離之比是一個常數(shù)（通常用表示），那么動點的軌跡叫做圓錐曲線，這個定點叫做焦點，這條定直線叫做準線，這個常數(shù)叫做圓錐曲線的離心率.當e<1時，軌跡是橢圓;當時，軌跡是拋物線;當e>1時，軌跡是雙曲

5、線.2. 圓錐曲線的標準方程及其圖像 .圓1. 橢圓的定義：第一定義：平面內與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.第二定義：動點到定點的距離和它到定直線的距離之比等于常數(shù)，則動點的軌跡叫做橢圓.定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準線，常數(shù)叫做橢圓的離心率.2. 橢圓的標準方程及其圖像：標準方程中心在原點，焦點在軸上中心在原點，焦點在軸上圖形范圍頂點對稱軸軸、軸；長軸長，短軸長；焦點在長軸上軸、軸；長軸長，短軸長；焦點在長軸上焦點焦距離心率準線參數(shù)方程與普通方程的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 .雙曲線1. 曲線定義第一定義：平面內

6、到兩定點、的距離之差的絕對值等于定長（小于點的軌跡叫做雙曲線。說明：（）是雙曲線；若 ，軌跡是以、為端點的射線； 若 時無軌跡。設是雙曲線上任意一點，若點在雙曲線右邊一支上，則，； 若M在雙曲線的左支上，則，故，這是與橢圓不同的地方。 第二定義：平面內動點到定點的距離與到定直線L的距離之比是常數(shù)的點的軌跡叫雙曲線，定點叫焦點，定直線叫相應的準線。2. 雙曲線的標準方程及圖像：標準方程圖形焦點頂點 對稱軸實軸，虛軸，實軸在軸上，實軸，虛軸，實軸在軸上，離心率準線方程準線間距離為準線間距離為漸近線方程3、幾個概念 等軸雙曲線：實、虛軸相等的雙曲線。等軸雙曲線的漸近線為，離心率為. 共軸雙曲線：以已

7、知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線叫原雙曲線的共軸雙曲線，例：的共軸雙曲線是. 雙曲線及其共軸雙曲線有共同的漸近線。但有共同的漸近線的兩雙曲線，不一定共軸雙曲線. 雙曲線和它的共軸雙曲線的四個焦點在同一個圓周上. .拋物線 1、拋物線定義：平面內與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點為拋物線的焦點，定直線為拋物線的準線.注： 定義可歸結為“一動三定”：一個動點設為；一定點（即焦點）；一定直線（即準線）；一定值1（即動點到定點的距離與它到定直線的距離之比1）. 定義中的隱含條件：焦點不在準線上。若在上，拋物線退化為過且垂直于的一條直線. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內與一定

8、點和定直線的距離之比為常數(shù)的點的軌跡，當時，表示橢圓；當時，表示雙曲線；當時，表示拋物線. 拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準線三者之間的距離關系，在解題中常將拋物線上的動點到焦點距離（稱焦半徑）與動點到準線距離互化，與拋物線的定義聯(lián)系起來，通過這種轉化使問題簡單化.2、拋物線的標準方程及其圖像：標準方程圖形xOFPyOFPyxOFPyxOFPyx焦點在軸上，開口向右焦點在軸上，開口向左焦點在軸上，開口向上焦點在軸上，開口向下準 線焦 點對稱軸軸軸焦半徑頂 點離心率通 徑焦點弦（為焦點弦的傾斜角,當時，為通徑）三. 圓錐曲線的性質1.圓錐曲線的基本性質在高中課本當中就對圓錐曲線的性質進行了

9、簡單的介紹，它在高中的教學和高考中都有很重的地位，是高中平面解析幾何中不可或缺的一部分并且本文后面定理的證明都利用到了圓錐曲線的基本性質，可以這樣說，圓錐曲線的其它性質都是建立在基本性質之上所以有必要對其進行一下總結建立表格如下：橢圓雙曲線拋物線標準方程圖形范圍或對稱性關于軸/軸對抽關于原點中心對稱關于軸/軸對抽關于原點中心對稱關于軸頂點離心率漸近線無無準線焦點過曲線上點的切線方程2.圓錐曲線的直徑Ox圖3.1-1y我們知道，圓的弦有一個重要的性質圓的一組平行的弦的中點的軌跡是圓的直徑，這個性質對于圓錐曲線是否還適用呢？先來探求橢圓的一組平行弦的中點的軌跡：如果弦垂直于對稱軸，很明顯弦的中點都

10、在軸上.現(xiàn)在考慮一般的情形：設橢圓的方程為. 又設一組平行弦的斜率是定值，那么這組平行弦的直線系方程是 這里是參數(shù). 若 是平行弦中的任意一條（圖3.1-1），它的方程是. (3.1.2)設弦的兩端點坐標分別為，顯然它是(3.1.1)和(3.1.2)所組成方程組的解，把(3.1.2)代入(3.1.1)得就是 (3.1.3)方程(3.1.3)的兩個根是，由方程的根與系數(shù)的關系，可知 假定是弦的中點，則，所以 (3.1.4) 又點在弦上，所以 ，就是 (3.1.5)方程(3.1.4)與(3.1.5)是用參數(shù)表示所求軌跡上任意一點的坐標和，若軌跡上任意點的坐標為,則得所求軌跡的參數(shù)方程是消去參數(shù),得

11、所求軌跡的普通方程是 這是一條直線（從幾何意義說，只是這條直線與橢圓的兩個交點之間的一段）.它的斜率是，并且經(jīng)過橢圓的中心。同樣，我們可以求得雙曲線中斜率為的平行弦的中點的軌跡是斜率為，并且經(jīng)過雙曲線中心的直線 拋物線中的斜率為的平行弦的中點的軌跡是平行于拋物線的對稱軸的直線 綜上所述可知：圓錐曲線的平行弦的中點的軌跡是一條直線，這條直線叫做圓錐曲線的直徑. 3.圓錐曲線的切線方程和切點弦方程.一般二次曲線的切線方程. 設是二次曲線 上的一點， 則過點的切線方程為所以，橢圓上一點的切線方程是； 雙曲線上一點的切線方程是； 拋物線上一點的切線方程是。 從圓錐曲線外一點向圓錐曲線引兩條切線（如果存

12、在），那么經(jīng)過兩切點的圓錐曲線的弦叫做切點弦. 我們來求切點弦的方程：設橢圓方程為，經(jīng)過橢圓外一點引橢圓的兩條切線，為兩個切點，則經(jīng)過的切線方程分別為 和.因為它們都通過這一點，所以 (3.2.1) (3.2.2) 現(xiàn)在設想一直線方程是 (3.2.3)由(3.2.1) 、(3.2.2)可知，兩點都在方程(3.2.3) 所表示的直線上，但經(jīng)過只能引一條直線，因此所求切點弦的方程就是.同理雙曲線和拋物線外一點的切點弦的方程分別是 4.與焦點弦相關的幾條性質 定理2.4.1 設為離心率是的圓錐曲線的焦點弦，且弦長，則中點到焦點相應準線的距離證明: 不妨以橢圓為例加以證明（雙曲線和拋物線同理可證）設橢

13、圓方程為，其右焦點為，右準線為，為過且中點為的焦點弦若分別過作直線的垂線段 由定義4知 即 所以到的距離為定理2.4.2 設為過圓錐曲線的一個焦點的一條弦，為到其相應準線的距離，為圓錐曲線的離心率，則證明: 以雙曲線為例進行證明（橢圓和拋物線證明同理）設弦傾斜角為，過作于，過作于，過作于，則由定義得同理 所以 定理2.4.3 圓錐曲線的離心率為，為過焦點而不垂直于曲線的對稱軸的弦，且線段的中垂線交曲線的過焦點的對稱軸于，則 證明:設圓錐曲線的焦點為，的中垂線為（如圖），過作垂直準線于，過作垂直于準線于，作垂直于， 則于是有 而 所以 所以 本文從圓錐曲線的定義入手.在圓錐曲線定義的基礎上，從四個方面對圓錐曲線的性質進行了介紹，由圓的基本性質引出與焦點弦有關的性質等.并對這些性質進行了證明.有了這些定義和性質后，可以對解有關圓錐曲線的題目起到很大的幫助，特別是教師對這個進行研究之后，從而在教學中做到有的放矢，為更好促進教學目標達成起到關鍵作用。參考文獻1 周