《二次根式》教材分析

1、本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持！二次根式教材分析1一、本章地位與作用本章內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”的基礎(chǔ)內(nèi)容，既是“整式”、 “分式”之后引入的第三類重要代數(shù)式，也是“實數(shù)”之后對“數(shù)”的認識的深化本章內(nèi)容具有極強的“工具性”，教材中安排本章在“勾股定理”之后、 “二次方程”之前，意在為解二次方程做好準備；本學期安排本章在“勾股定理”之前，能為解任意直角三角形的三邊數(shù)值掃清障礙二、知識網(wǎng)絡(luò)歸納三、課標及中考要求【課標要求】了解二次根式、最簡二次根式的概念，了解二次根式（根號下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關(guān)的簡單四則運算（不要求進行根號下含字母的二次根式的四則運算，如3a b

2、，2baba等）【中考要求】考試要求a b 二次根式及其性質(zhì)了解二次根式的概念，會確定二次根式有意義的條件能根據(jù)二次根式的性質(zhì)對代數(shù)式作簡單變形；能在給定條件下，確定字母的值二次根式的化簡和運算理解二次根式的加、減、乘、除運算法則會進行二次根式的化簡，會進行二次根式的混合運算（不要求分母有理化）四、課時安排建議211 二次根式約 2 課時212 二次根式的乘除約 2 課時213 二次根式的加減約 34 課時數(shù)學活動與小結(jié)約 2 課時五、全章教學建議1 注意本章內(nèi)容的 “工具性”二次根式相關(guān)知識的學習是為后續(xù)勾股定理、二次方程的學習打基礎(chǔ)，因此應(yīng)重點落實二次根式的性質(zhì)、化簡和計算（特別是實數(shù)的化

3、簡和計算）的準確性，提高學生的計算能力盡管課本中的例題相對簡單，但不要忽視它們在學生建立知識結(jié)構(gòu)的過程所起的過渡作用非實驗班不建議在此補充涉及代數(shù)式化簡、運算技巧的內(nèi)容（如分母有理化等），相應(yīng)地，學探診測試1參考了之前幾次同題教材分析稿，例題也大多沿用之。本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持！6 第 6 題及之后的題目可不作為基本教學要求2 從提出二次根式的概念開始，就注意強化“二次根式在一定條件下才有意義”這一觀念避免教材第7 頁小貼士“在本章中，如果沒有特別說明，所有的字母都表示正數(shù)”給學生帶來的誤解和誤導總有為數(shù)不少的學生將二次根式有意義的“非負性”條件誤記為“正性”條件，可能與此有關(guān)3

4、注意對“實數(shù)”一章知識的復習，體現(xiàn)“數(shù)式通性”的原則；注意與“整式”、 “分式”相關(guān)知識的聯(lián)系，相關(guān)結(jié)論可以類比記憶4 注意教材和學探診中，有些題目需要用到勾股定理，可先回避六、各小節(jié)教學建議211 二次根式（1）實例引入，注意復習開平方、算術(shù)平方根的概念和符號表示（2）二次根式的形式定義：建議不要把精力放在辨別一個式子是否為二次根式上，而應(yīng)該側(cè)重于理解被開方數(shù)是非負數(shù) （不要誤記為正數(shù)）的要求例如，2是二次根式嗎？按本人的理解，2作為單獨一個數(shù)應(yīng)屬于單項式，非二次根式學探診 92 頁第 6 題：下列各式中， 一定是二次根式的是： （a）23（b）2( 0.3)（ c）2（ d）x，答案 b本

5、人認為題干應(yīng)該改為“下列各二次根式一定有意義的是”總之，真正該提醒學生的是“數(shù)式通性”：如果被開方數(shù)是一個常數(shù)，那么它不可以是負數(shù)；如果被開方數(shù)含字母，那么它有取值范圍的限制（與分式類似）（3）二次根式（根號）的雙重非負性：)0(, 0 aa；（4）教材要求掌握的公式：2() (0)aaa，2 (0)aaa，建議授課時提高要求，理解并掌握)0()0(2aaaaaa?2a與2)( a的對比： 運算順序不同：2)(a是先求算術(shù)平方根再平方，2a是先平方再求算術(shù)平方根；a的取值不同：2)(a中a的取值是0a，而2a中a的取值是任意實數(shù)； 運算結(jié)果不同：2)(a=a（0a）；2a=)0()0(|aaa

6、aa（5）代數(shù)式的概念：建議適當補充一些代數(shù)式的書寫規(guī)范（如果之前沒有講過）例1 ：當 x 是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持?。?）1x； （2）1x； （3）11x； （ 4）11x答案：（1）1x； （2）1x； （3）1x； （4）0 x且1x本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持！提高題：求下列函數(shù)解析式中自變量x 的取值范圍：（1）2yxx23；（2） yx 11x；（3）21|2xyx；（4）222yxx答案：（1）322x； （2）0 x且1x； （3）12x且2x； （4）全體實數(shù)例2 ：若 x、y 為實數(shù)，且y2xx2 3求 yx的值

7、（yx=9）例3 ：判斷下列等式是否成立：(1)2( 19)19()(2)2(19)19()(3)2( 19)19()(4)2()abab(5)2()()abab(6)2(0)().aaa答案：（1）； （2）； （3）；（4）；（5）；（6）例4 ：已知cba,為三角形的三邊，則222)()()(acbacbcba= （abc）212 二次根式的乘除（1）從具體到抽象，歸納得出乘法公式：(0,0)abab ab?理解二次根式乘除運算法則的合理性：可與()nnna bab做形式上的類比；?*可以利用算術(shù)平方根的定義進行推理證明：222ababab且0,0ab，abab?從公式的適用范圍看，包括

8、了某些字母取0 的情況；為降低難度，如果遇到純二次根式化簡問題，可以默認為字母都表示正數(shù)；當涉及字母的取值范圍問題時，不能認為字母都是正數(shù)（2）公式的逆用：)0, 0(babaab；?能利用這條性質(zhì)對二次根式進行化簡注意學生不易理解“開得盡方的因數(shù)或因式”的含義，教材在第8 頁小貼士的解釋：可以開方后移到根號外的因數(shù)或因式在這里，不妨多舉一些例子，讓學生明確在化簡時，一般先將被開方數(shù)進行因數(shù)分解或因式分解，然后再將能開得盡方的因數(shù)或因式開出來?初步總結(jié)乘法運算的結(jié)果應(yīng)滿足以下兩個要求：本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持！結(jié)果是一個二次根式，或單項式乘以二次根式；也可能沒有根號，只是單項式；根號

9、下不再有 “開得盡的因數(shù)或因式”（3）除法公式及逆用：(0,0)aaabbb，)0, 0(bababa?注意0b的條件；?可以通過歸納、或證明、或類比nnnaabb得出此公式；?對于二次根式的除法運算和二次根式的化簡，應(yīng)讓學生一題多解，一方面是熟悉二次根式性質(zhì)、運算法則和方法，另一方面，通過一題多解，總結(jié)做題經(jīng)驗，使運算更靈活、更簡潔如515515555353532；515)5(155553532aaaaaaaa224222828；aaaaaaaa22222228又如222222212212212；22)2(2122122；22142122122如果學生覺得不易靈活運用，也可總結(jié)為更易操作的“

10、算法”：ab型即ab型，所有ab的轉(zhuǎn)化為aababbbbb再化簡；或者：ab型即ab型，所有的ab轉(zhuǎn)化為ababbbb再化簡?用具體的實例歸納總結(jié)出把一個二次根式化為最簡二次根式的方法技巧如：當被開方數(shù)較大時，可 用 分 解 因 數(shù) 的 辦 法 將 被 開 方 數(shù) 盡 可 能 寫 成 完 全 平 方 數(shù) 的 乘 積 形 式 至 此 學 生 應(yīng) 能 對112, 12.5,3等常見數(shù)值進行化簡總之，學生在化簡運算的簡潔性和準確性上都容易出現(xiàn)問題，因此建議在教學過程中先要求學生觀察二次根式的特點，根據(jù)其特點分析運用哪條性質(zhì)、哪種方法來解答，每步運算的根據(jù)的什么，培養(yǎng)學生的分析能力和觀察能力，以及計算

11、的目的性和條理性（4）最簡二次根式的概念：不要求學生背出定義，關(guān)鍵是遇到實際式子能夠加以判斷，讓學生在練習中熟悉這個概念，同時明確二次根式的運算結(jié)果應(yīng)化為最簡二次根式本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持！例5 ：計算：（1）35； （ 2）1273； （3）1427； （4）1455例6 ：化簡：（1）8；（ 2）12；（3）18；（4）24（5）28；（6）32；（7）48；（8）50；（9）2316ab c；（10）3 52 10例7 ：計算：（1）243；（2）31218；（ 3）3100；（4）2259yx；（5）12；（6）233；（7）18；（8）3 227；（9）82a例8 ：計算

12、：（1）12322；（2）)126(75例9 ：已知21.414，求1200,0.0002,0.728的近似值（保留3 個有效數(shù)字） 213 二次根式的加減（1）教材采用了“被開方數(shù)相同的最簡二次根式”的說法；為簡潔明了，建議還是類比同類項的概念給出“同類二次根式” 的概念，能通過實例判斷幾個二次根式是不是同類二次根式，注意強調(diào)先化簡的重要性例如，分成幾個小問題： 把被開方數(shù)都是整數(shù)的放在一個小題中， 把被開方數(shù)都是分數(shù)的放在一個小題中， 把被開方數(shù)帶有簡單字母的放在一個小題中， 把字母次數(shù)略高于2 的放在一個小題中，使問題的解決有一個由淺入深的漸進過程，最終再給出類似213aa和312a的例

13、子（2）明確二次根式的加減法運算的實質(zhì)就是合并同類二次根式，這與整式加減的實質(zhì)類似加減法的練習也同樣可細分成幾個層次進行教學例如： 不需要化簡能直接進行相加減的， 需要化簡但被開方數(shù)都是簡單整數(shù)的， 被開方數(shù)都是有理數(shù)但既有整數(shù)又有分數(shù)的， 被開方數(shù)含有字母的，等等加減運算中常出現(xiàn)的錯誤類型有： 運算結(jié)果含有28或類似的式子；本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持！ 運算過程中有3294或34143或類似的問題； 運算過程中有532或2322311或類似的問題（4）二次根式的混合運算教材利用小貼士類比了它與實數(shù)、整式運算的聯(lián)系: 第 14 頁 : “在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的運算律，在實數(shù)范圍內(nèi)仍成立”

14、；第 17 頁 : “在二次根式的運算中，多項式乘法法則和乘法公式仍然適用”?分析式子結(jié)構(gòu)，明確運算順序；?關(guān)注乘法公式和運算律的應(yīng)用；?計算少跳步，避免類似535316，2 22=8之類的典型錯誤例10 計算：（1）82（2）2484554（3）3241182182；（4）4832714122；（5）328122（6）0( 1)123（7）028185122（8）6813222124例11 計算：（1）3)154276485(（2）xxxx3)1246(（3）)65153(1051（4）2136233（5）2)32()122)(488(（6）)2332)(2332(（7）2)534(（8）)

15、3225)(65(（9）1515)103()103(（10）(233 26)(233 26)(11) ) 13(1312（12）abbaabb3)23(235（13）)93()24(3abababaabab（14）22131322（15）222212131213本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持！（16）abbaab2abba（a0，b0）例12一個長方體的長為22cm，寬為cm3，高為cm2，則它的表面積為2cm，體積為3cm（866，4 3）例13 若811的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則22abb （5）本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持！章節(jié)復習及綜合（1）條件求值類題目：例14甲、乙

16、兩人對題目“求值：21122aaa，其中51a”有不同的解答，甲的解答：2221111112492()5aaaaaaaaaaa，乙的解答：5111)1(1211222aaaaaaaaaa，誰的解答是錯誤的？為什么？例15 （1）如果524baba，那么ba2=_（2）若實數(shù)xy，滿足033222yyx，則xy的值是 例16 已知 : 101aa， 求221aa的值（6） 已知 : 5721x，5721y， 求 x2xy + y2的值（112）（2） 尋找規(guī)律、現(xiàn)場學習類：例17 已知下列等式：991910，9999199100，99999919991000， ， 根據(jù)上述等式的特點，請你寫出第

17、四個等式，并通過計算驗證等式的正確性； 觀察上述等式的規(guī)律，請你寫出第n 個等式（允許寫成99999nl1 4 2 4 3個的形式）例18 觀察下列等式：12)12)(12(12121；23)23)(23(23231；34)34)(34(34341；回答下列問題： 利用你觀察到的規(guī)律，化簡：12322； 計算：1111.12233299100 （9）本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持！例19 有這樣一類題目：將2ab化簡，若你能找到兩個數(shù)m和n，使22mna且 mnb ，則2ab可變?yōu)?22mnmn，即變成2()mn開方，從而使得2ab化簡例如：526=322 6=222( 3)(2)2 23

18、( 32)，252 6( 32)32請仿照上例解下列問題：（1）52 6； （2）42 3七、*拓展專題（1）分母有理化：例20 化簡：132，132，3131， ()ababab例21 計算：)12008)(200720081.341231121(（2）二次根式比較大?。豪?2 比較大?。海?）3 與22（平方法）（2）5 7與6 5（被開方數(shù)）（3）571與351（分母有理化）（4）20022001與20012000（倒數(shù)法 /分子有理化）例23觀察下列各式的特點：2312，3223，2532，(1) 請根據(jù)以上規(guī)律填空2006200720072008 (2) 請根據(jù)以上規(guī)律寫出第)1(nn個不等式，并證明你的結(jié)論(3) 計算下列算式：（10129）（3）化簡和運算技巧（注意隱含條件：字母的取值范圍）：例24（1）已知 a0，化簡二次根式ba3的正確結(jié)果是（） a 本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持！aabababacabadaba（2）把m