2022年經(jīng)典《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》綜合測試題(含答案)

1、精品資料歡迎下載極坐標(biāo)與參數(shù)方程綜合測試題1. 在極坐標(biāo)系中，已知曲線 c： =2cos，將曲線 c上的點向左平移一個單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原先的2 倍，得到曲線 c1，又已知直線 l 過點p（ 1,0），傾斜角為，且直線 l 與曲線 c1 交于 a， b 兩點3（ 1）求曲線 c1 的直角坐標(biāo)方程，并說明它是什么曲線；（ 2）求+2. 在直角坐標(biāo)系 xoy中，圓 c 的參數(shù)方程（為參數(shù)），以 o 為極點， x 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（1） ）求圓 c的極坐標(biāo)方程；（2） ）直線 l 的極坐標(biāo)方程是 2sin（+）=3，射線 om：= 與圓 c 的交點為 o、p，與直線 l

2、 的交點為 q，求線段 pq的長3. 在極坐標(biāo)系中，圓c 的極坐標(biāo)方程為： 2=4（cos +sin ） 6如以極點 o為原點，極軸所在直線為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系（）求圓 c的參數(shù)方程；（）在直角坐標(biāo)系中，點 p（x，y）是圓 c上動點，試求 x+y 的最大值，并求出此時點 p 的直角坐標(biāo)4. 如以直角坐標(biāo)系 xoy的 o 為極點， ox 為極軸， 挑選相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線 c的極坐標(biāo)方程是 =（1） ）將曲線 c的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出曲線是什么曲線；（2） ）如直線 l 的參數(shù)方程為（ t 為參數(shù)）， p3 ,02，當(dāng)直線 l 與曲線 c2ab相交于 a，b

3、 兩點，求.papb5. 在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，以原點 o 為極點， x 軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線 c1 的參數(shù)方程為x 3cosy 2sin為參數(shù)），曲線 c2 的極坐標(biāo)方程為（1） ）求曲線 c1 的一般方程和曲線 c2 的直角坐標(biāo)方程；（2） ）設(shè) p 為曲線 c1 上一點， q 曲線 c2 上一點，求 | pq| 的最小值及此時 p 點極坐標(biāo)6. 在極坐標(biāo)系中，曲線 c的方程為 2=，點 r（2，）（）以極點為原點，極軸為x 軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，把曲線c的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，r點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；（）設(shè) p 為曲線 c上一動點，以 pr為對

4、角線的矩形 pqrs的一邊垂直于極軸，求矩形 pqrs周長的最小值7. 已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線c1 的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系， 曲線 c2 的極坐標(biāo)方程為=2cos（）求曲線 c1 的極坐標(biāo)方程與曲線 c2 的直角坐標(biāo)方程；（）如直線 = （r）與曲線 c1 交于 p，q 兩點，求 | pq| 的長度8. 在直角坐標(biāo)系中，以原點為極點， x 軸的正半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標(biāo)系， 己知直線 l 的極坐標(biāo)方程為 cossin ，=曲2方程為 sin2=2pcos（p 0）（1） ）設(shè) t 為參數(shù)，如 x=2+t，求直線 l 的參數(shù)方程

5、；線 c的極坐標(biāo)（2） ） 已知直線 l 與曲線 c交于 p、q，設(shè) m（ 2，4），且| pq| 2=| mp| .| mq| ，求實數(shù) p 的值9. 在極坐標(biāo)系中，射線l： = 與圓 c： =2交于點 a，橢圓 的方程為2=，以極點為原點，極軸為 x 軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系 xoy（）求點 a 的直角坐標(biāo)和橢圓 的參數(shù)方程；（）如 e為橢圓 的下頂點， f為橢圓 上任意一點，求.的取值范疇10. 已知在直角坐標(biāo)系中，曲線的c 參數(shù)方程為（為參數(shù)），現(xiàn)以原點為極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l 的極坐標(biāo)方程為=（1） ）求曲線 c的一般方程和直線 l 的直角坐標(biāo)方程；（2）

6、 ）在曲線 c上是否存在一點 p，使點 p 到直線 l 的距離最??？如存在， 求出距離的最小值及點 p 的直角坐標(biāo)；如不存在，請說明理由11. 已知曲線 c1 的參數(shù)方程為（t 為參數(shù)），以原點 o 為極點，以 x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c2 的極坐標(biāo)方程為（ i）求曲線 c2 的直角坐標(biāo)系方程；（ ii）設(shè) m 1 是曲線 c1 上的點， m2 是曲線 c2 上的點，求 | m1m 2| 的最小值12. 設(shè)點 a 為曲線 c： =2cos在極軸 ox 上方的一點，且 0，以極點為原點，極軸為 x 軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系 xoy，（1） ）求曲線 c的參數(shù)方程；（2） ）以 a

7、 為直角頂點， ao 為一條直角邊作等腰直角三角形 oab（b 在 a 的右下方），求 b 點軌跡的極坐標(biāo)方程13. 在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，曲線 c1：（ 為參數(shù)，實數(shù) a 0），曲線 c2：（為參數(shù)，實數(shù) b 0）在以 o 為極點， x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：=（ 0， 0 ）與 c1 交于 o、 a 兩點，與 c2 交于 o、b 兩點當(dāng) =0時， | oa| =1；當(dāng) = 時， | ob| =2（）求 a，b 的值；（）求 2| oa| 2+| oa| .| ob| 的最大值14. 在平面直角坐標(biāo)系中， 曲線 c1：（ a 為參數(shù)）經(jīng)過伸縮變換后，曲線為 c2，以坐標(biāo)

8、原點為極點， x 軸正半軸為極軸建極坐標(biāo)系（）求 c2 的極坐標(biāo)方程；（）設(shè)曲線 c3 的極坐標(biāo)方程為 sin（）=1，且曲線 c3 與曲線 c2 相交于 p，q 兩點，求 | pq| 的值15. 已知半圓 c 的參數(shù)方程為，a 為參數(shù)， a ， （）在直角坐標(biāo)系 xoy中，以坐標(biāo)原點為極點， x 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求半圓 c的極坐標(biāo)方程；（）在（）的條件下，設(shè)t 是半圓 c 上一點，且 ot=，試寫出 t 點的極坐標(biāo)16. 已知曲線 c1 的參數(shù)方程為（t 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點， x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c2 的極坐標(biāo)方程為 =2sin（）把 c1 的參數(shù)方程

9、化為極坐標(biāo)方程；（）求 c1 與 c2 交點的極坐標(biāo)（ 0，02）極坐標(biāo)與參數(shù)方程綜合測試題答案一解答題（共 16 小題）1. 在極坐標(biāo)系中，已知曲線 c： =2cos，將曲線 c上的點向左平移一個單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原先的2 倍，得到曲線 c1，又已知直線 l 過點 p（ 1,0），傾斜角為，且直線 l 與曲線 c1 交于 a， b 兩點3（1） ）求曲線 c1 的直角坐標(biāo)方程，并說明它是什么曲線；（ 2）求+【解答】 解：（1）曲線 c的直角坐標(biāo)方程為： x2+y2 2x=0 即（ x1）2+y2=1曲線 c1 的直角坐標(biāo)方程為=1，曲線 c表示焦點坐標(biāo)為（，0），（， 0）

10、，長軸長為 4 的橢圓（2） ）將直線 l 的參數(shù)方程代入曲線 c的方程=1 中，得 13t 24t120 設(shè) a、b 兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為 t 1， t 2，+= 210 32. 在直角坐標(biāo)系 xoy中，圓 c 的參數(shù)方程（為參數(shù)），以 o 為極點， x 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（1） ）求圓 c的極坐標(biāo)方程；（2） ）直線 l 的極坐標(biāo)方程是 2sin（+）=3，射線 om：= 與圓 c 的交點為 o、p，與直線 l 的交點為 q，求線段 pq的長【解答】解：（i）利用 cos2+sin2=1，把圓 c 的參數(shù)方程為參數(shù)）化為（ x1）2+y2=1， 22cos=，0即 =2cos（

11、 ii）設(shè)（ 1， 1）為點 p 的極坐標(biāo)，由，解得設(shè)（2，2）為點 q 的極坐標(biāo)，由，解得 1=2，| pq| =| 1 2| =2| pq| =23. 在極坐標(biāo)系中，圓c 的極坐標(biāo)方程為： 2=4（cos +sin ） 6如以極點 o為原點，極軸所在直線為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系（）求圓 c的參數(shù)方程；（）在直角坐標(biāo)系中，點 p（x，y）是圓 c上動點，試求 x+y 的最大值，并求出此時點 p 的直角坐標(biāo)【解答】（本小題滿分 10 分）選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：（）由于 2=4（ cos +sin ） 6，所以 x2+y2=4x+4y6，所以 x2+y24x 4y+6=0，即（ x

12、 2） 2+（y2）2=2 為圓 c的一般方程 （4 分）所以所求的圓 c 的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（ 6 分）（）由（）可得，（ 7 分）當(dāng)時，即點 p 的直角坐標(biāo)為 （3，3）時，（9 分）x+y 取到最大值為 6（ 10 分）4. 如以直角坐標(biāo)系 xoy的 o 為極點， ox 為極軸， 挑選相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線 c 的極坐標(biāo)方程是 =（1） ）將曲線 c的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出曲線是什么曲線；（2） ）如直線 l 的參數(shù)方程為（ t 為參數(shù)）， p3 ,02，當(dāng)直線 l 與曲線 c2ab相交于 a， b 兩點，求.papb【解答】 解：（1） =， 2sin2=6

13、co，s 曲線 c的直角坐標(biāo)方程為 y2=6x曲線為以（ ，0）為焦點，開口向右的拋物線（ 2）直線 l 的參數(shù)方程可化為，代入 y2=6x 得 t24t12=0解得 t 1=2，t2=6| =| t1t2| =82ab2papb35. 在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，以原點 o 為極點， x 軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系， 曲線 c1 的參數(shù)方程為x 3cosy 2sin為參數(shù)），曲線 c2 的極坐標(biāo)方程為（1） ）求曲線 c1 的一般方程和曲線 c2 的直角坐標(biāo)方程；（2） ）設(shè) p 為曲線 c1 上一點， q 曲線 c2 上一點，求 | pq| 的最小值及此時 p 點極坐標(biāo)【解答】解：

14、（ 1）由消去參數(shù) ，得曲線 c1 的一般方程為由得，曲線 c2 的直角坐標(biāo)方程為（ 2）設(shè) p（2cos，2sin ），就點p到曲線c2的距離為當(dāng)時， d 有最小值，所以| pq| 的最小值為6. 在極坐標(biāo)系中，曲線 c的方程為 2=，點 r（2，）（）以極點為原點，極軸為x 軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，把曲線c的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程， r點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；（）設(shè) p 為曲線 c上一動點，以 pr為對角線的矩形 pqrs的一邊垂直于極軸， 求矩形 pqrs周長的最小值【解答】 解：（）由于 x=cos，y=sin，就：曲線 c的方程為 2=，轉(zhuǎn)化成 點 r的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐

15、標(biāo)為： r（2，2）（）設(shè) p（）依據(jù)題意，得到 q（2，sin ），就： | pq| =，| qr| =2sin ，所以： | pq|+| qr| =當(dāng)時，（ | pq|+| qr| ）min=2， 矩形的最小周長為 47. 已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線c1 的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c2 的極坐標(biāo)方程為=2cos（）求曲線 c1 的極坐標(biāo)方程與曲線 c2 的直角坐標(biāo)方程；（）如直線 = （r）與曲線 c1 交于 p，q 兩點，求 | pq| 的長度【解答】解：（ i）曲線 c1 的參數(shù)方程為（為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去 可得： +（y+1）

16、2=9，綻開為： x2+y22 x+2y5=0，可得極坐標(biāo)方程： cos+2sin5=0曲線 c2 的極坐標(biāo)方程為 =2cos，即 2=2cos，可得直角坐標(biāo)方程： x2+y2=2x（ ii）把直線 = （r）代入cos+2sin5=0，整理可得： 225=0， 1+2=2，1.2=5，| pq| =| 12| =28. 在直角坐標(biāo)系中，以原點為極點， x 軸的正半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，己知直線 l 的極坐標(biāo)方程為 cossin ，=2曲線 c的極坐標(biāo)方程為 sin2=2pcos（p0）（1） ）設(shè) t 為參數(shù)，如 x=2+t，求直線 l 的參數(shù)方程；（2） ）已知直線 l

17、與曲線 c交于 p、q，設(shè) m（ 2，4），且| pq| 2=| mp| .| mq| ，求實數(shù) p 的值【解答】解：（ 1）直線 l 的極坐標(biāo)方程為 cossin ，=2化為直角坐標(biāo)方程： x y 2=0x=2+t，y=x 2=4+t ，直線 l 的參數(shù)方程為：（t 為參數(shù)）（ 2）曲線 c 的極坐標(biāo)方程為 sin2=2pcos（p0），即為 2sin2=2pco（s p 0），可得直角坐標(biāo)方程： y2=2px把直線 l 的參數(shù)方程代入可得： t 2（ 8+2p）t+8p+32=0t1+t 2=（8+2p），t1t2=8p+32 不妨設(shè)| mp| =t1，| mq| =t2| pq| =|

18、t 1 t2| =| pq| 2=| mp| .| mq| ， 8p2+32p=8p+32， 化為： p2+3p 4=0， 解得 p=19. 在極坐標(biāo)系中，射線l： = 與圓 c： =2交于點 a，橢圓 的方程為2=，以極點為原點，極軸為 x 軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xoy（）求點 a 的直角坐標(biāo)和橢圓 的參數(shù)方程；（）如 e為橢圓 的下頂點， f為橢圓 上任意一點，求.的取值范疇【解答】解：（）射線 l：= 與圓 c：=2交于點 a（2，），點 a 的直角坐標(biāo)（，1）；橢圓 的方程為2=，直角坐標(biāo)方程為+y2=1，參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（）設(shè) f（cos，sin ）， e（ 0， 1），=

19、（， 2），=（cos，sin 1），.=3cos+32（sin 1）=sin（+） +5，.的取值范疇是 5，5+ 10. 已知在直角坐標(biāo)系中，曲線的c 參數(shù)方程為（為參數(shù)），現(xiàn)以原點為極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l 的極坐標(biāo)方程為=（1） ）求曲線 c的一般方程和直線 l 的直角坐標(biāo)方程；（2） ）在曲線 c上是否存在一點 p，使點 p 到直線 l 的距離最??？如存在， 求出距離的最小值及點 p 的直角坐標(biāo)；如不存在，請說明理由【解答】 解：（1）曲線的 c 參數(shù)方程為（為參數(shù)），一般方程為（ x1）2+（y 1） 2=4，直線 l 的極坐標(biāo)方程為 =，直角坐標(biāo)方程為 x

20、y4=0；（ 2）點 p 到直線 l 的距離 d=， =2k，即 =2k（kz），距離的最小值為 2 2，點 p 的直角坐標(biāo)（ 1+，1）11. 已知曲線 c1 的參數(shù)方程為（t 為參數(shù)），以原點 o 為極點，以 x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c2 的極坐標(biāo)方程為（ i）求曲線 c2 的直角坐標(biāo)系方程；（ ii）設(shè) m 1 是曲線 c1 上的點， m2 是曲線 c2 上的點，求 | m1m 2| 的最小值【解答】 解：（ i）由可得 =x2，2=（x2）2，即 y2=4（x 1）；（）曲線 c1 的參數(shù)方程為（t 為參數(shù)），消去 t 得： 2x+y+4=0曲線 c1 的直角坐標(biāo)方程為

21、2x+y+4=0m1 是曲線 c1 上的點， m 2 是曲線 c2 上的點，| m1m 2| 的最小值等于 m 2 到直線 2x+y+4=0 的距離的最小值 設(shè) m 2（r21，2r），m2 到直線 2x+y+4=0 的距離為 d，就 d=| m1m 2| 的最小值為12. 設(shè)點 a 為曲線 c： =2cos在極軸 ox 上方的一點，且 0，以極點為原點，極軸為 x 軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系 xoy，（1） ）求曲線 c的參數(shù)方程；（2） ）以 a 為直角頂點， ao 為一條直角邊作等腰直角三角形 oab（b 在 a 的右下方），求點 b 軌跡的極坐標(biāo)方程x【解答】（1）1cos0，為參數(shù)）

22、ysin2（ 2）：設(shè) a（0，0），且滿意 0=2cos0，b（，），依題意，即代入 0=2cos0 并整理得，所以點 b 的軌跡方程為，13. 在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，曲線 c1： （ 為參數(shù)，實數(shù) a 0），曲線 c2：（ 為參數(shù)，實數(shù) b0）在以 o 為極點， x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線 l：=（0，0）與 c1 交于 o、a 兩點，與 c2 交于 o、b 兩點當(dāng) =0時， | oa| =1；當(dāng) = 時， | ob| =2（）求 a，b 的值；（）求 2| oa| 2+| oa| .| ob| 的最大值【解答】 解：（）由曲線 c1：（為參數(shù)，實數(shù) a0），化為一般方程

23、為（ x a） 2+y2=a2，綻開為： x2+y22ax=0，其極坐標(biāo)方程為 2=2acos，即 =2acos，由題意可得當(dāng) =0時， | oa| = =，1 a=曲線 c2：（ 為參數(shù)，實數(shù) b 0），化為一般方程為 x2+（ y b） 2=b2，綻開可得極坐標(biāo)方程為 =2bsin，由題意可得當(dāng)時， | ob| =2， b=1（）由（ i）可得 c1，c2 的方程分別為 =cos，=2sin 2| oa| 2+| oa| .| ob| =2cos2+2sin cos=s+inc2os2 +1=+1， 2+，+1 的最大值為+1，當(dāng) 2+=時， = 時取到最大值14. 在平面直角坐標(biāo)系中， 曲線 c1：（a 為參數(shù)）經(jīng)過伸縮變換后的曲線為 c2，以坐標(biāo)原點為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（）求 c2 的極坐標(biāo)方程；（）設(shè)曲線 c3 的極坐標(biāo)方程為 sin（）=1，且曲線 c3 與曲線 c2 相交于p，q 兩點，求 | pq| 的值【解答】 解