三角形等高模型與鳥頭模型例題精講教學(xué)內(nèi)容

1、學(xué)習(xí)資料板塊一三角形等高模型我們已經(jīng)知道三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積底高2從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積.如果三角形的底不變，高越大 （?。切蚊娣e也就越大（?。?；如果三角形的高不變，底越大 （?。?，三角形面積也就越大（?。?；這說明當(dāng)三角形的面積變化時(shí)，它的底和高之中至少有一個(gè)要發(fā)生變化但是，當(dāng)三角形的底和高同時(shí)發(fā)生變化時(shí)，三角形的面積不一定變化.比如當(dāng)高變?yōu)樵瓉淼?倍，底變?yōu)樵瓉淼?，則三角形面積與原來的一3樣.這就是說：一個(gè)三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化.同時(shí) 也告訴我們：一個(gè)三角形在面積不改變的情況下，可

2、以有無數(shù)多個(gè)不同的形狀.在實(shí)際問題的研究中，我們還會(huì)常常用到以下結(jié)論: 等底等高的兩個(gè)三角形面積相等； 兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比； 兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比； 如左圖S：S2 a:b僅供學(xué)習(xí)與參考 夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖Sa acd Sa BCD ；反之，如果saacd SaBCD ,則可知直線 AB平行于CD 等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等（長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）； 三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半； 兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比.【例11你有多少

3、種方法將任意一個(gè)三角形分成：3個(gè)面積相等的三角形； 4個(gè)面積相等的三角形;6個(gè)面積相等的三角形.【例2】如圖，BD長(zhǎng)12厘米，DC長(zhǎng)4厘米，B、C和D在同一條直線上. 求三角形ABC的面積是三角形 ABD面積的多少倍？求三角形ABD的面積是三角形 ADC面積的多少倍?【例31如右圖,ABFE和CDEF都是矩形,AB的長(zhǎng)是4厘米，BC的長(zhǎng)是3厘米，那么圖中陰影部分的面積是平方厘米.N/VWB學(xué)習(xí)資料【例4】【例5】AEBDGCF、G為各邊中點(diǎn),H為AD邊上任意一點(diǎn)，問陰影部分面積長(zhǎng)方形ABCD的面積為36 cm2，E、是多少？如圖，長(zhǎng)方形ABCD的面積是56平方厘米，點(diǎn)E、F、G分別是長(zhǎng)方形 A

4、BCD邊上的中點(diǎn)，H為AD 邊上的任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積.【例6】長(zhǎng)方形ABCD的面積為36， E、F、G為各邊中點(diǎn)，H為AD邊上任意一點(diǎn)，問陰影部分面積是 多少？【例7】C如右圖，E在AD上，AD垂直BC，AD 12厘米，DE 3厘米.求三角形ABC的面積是三角形 EBC 面積的幾倍？【例8】如圖，在平行四邊形 ABCD中，EF平行AC,連結(jié)BE、AE、CF、BF那么與VBEC等積的三角形一 共有哪幾個(gè)三角形？學(xué)習(xí)資料【解析】VAEC、VAFC、VABF .【例9】（第四屆”迎春杯”試題）如圖，三角形ABC的面積為1，其中AE 3AB , BD 2BC，三角形BDE 的面積是多少？DD【

5、例10】（2008年四中考題）如右圖，AD的面積是平方厘米.DB , AE EF FC ,已知陰影部分面積為5平方厘米,ABC36個(gè)平方單位，求三角形【例13】如圖，三角形ABC中，DC 2BD , CE的面積是多少？3AE ,三角形ADE的面積是20平方厘米，三角形ABC【例11】如圖ABCD是一個(gè)長(zhǎng)方形，點(diǎn) E、F和G分別是它們所在邊的中點(diǎn)如果長(zhǎng)方形的面積是EFG的面積是多少個(gè)平方單位.36平方厘米、48平方厘米的四個(gè)小長(zhǎng)方【例12】如圖，大長(zhǎng)方形由面積是 12平方厘米、24平方厘米、形組合而成求陰影部分的面積.12cm2Z48cm2【例14】（2009年第七屆”希望杯”二試六年級(jí)）如圖，

6、在三角形ABC中，已知三角形 ADE、三角形DCE、三角形BCD的面積分別是 89, 28, 26 .那么三角形 DBE的面積是 .學(xué)習(xí)資料B【例15】（第四屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽）如圖，梯形ABCD被它的一條對(duì)角線 BD分成了兩部分.三角形BDC的面積比三角形 ABD的面積大10平方分米.已知梯形的上底與下底的長(zhǎng)度之和是15分米,它們的差是5分米.求梯形 ABCD的面積.【例16】【例17】圖中VAOB的面積為15cm2，線段0B的長(zhǎng)度為0D的3倍，求梯形ABCD的面積.ABCD改成一個(gè)等積的三角形.如圖，把四邊形D僅供學(xué)習(xí)與參考【例18】【例19】面積的15%，黃色三角形面積是221cm .問：

7、長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米?0是長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)一點(diǎn), 積是多少？已知OBC的面積是5cm2 , OAB的面積是2cm2，求 OBD的面（第三屆“華杯賽”初賽試題）一個(gè)長(zhǎng)方形分成4個(gè)不同的三角形，綠色三角形面積占長(zhǎng)方形【例20】如右圖，過平行四邊形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)P作邊的平行線EF、GH，若 PBD的面積為8平方分米，求平行四邊形 PHCF的面積比平行四邊形 PGAE的面積大多少平方分米？【例21】如右圖，正方形 ABCD的面積是20，正三角形BPC的面積是15，求陰影 BPD的面積.D【例22】在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)O,形成等腰 AOB的面積為16，等腰 DOC的面積占長(zhǎng)方形面積的18

8、%，那么陰影 AOC的面積是多少？【例23】（2008年“陳省身杯”國(guó)際青少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽六年級(jí)）如右圖所示，在梯形ABCD中，E、F2 cm分別是其兩腰 AB、CD的中點(diǎn)，G是EF上的任意一點(diǎn)，已知 ADG的面積為15cm2，而 BCG的面積恰好是梯形 ABCD面積的，則梯形ABCD的面積是20【例24】如圖所示，四邊形 ABCD與AEGF都是平行四邊形，請(qǐng)你證明它們的面積相等.F【例25】如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為6, AE 1.5, CF 2.長(zhǎng)方形EFGH的面積為學(xué)習(xí)資料F C【例26】如圖，ABCD為平行四邊形,面積.EF平行AC,如果VADE的面積為4平方厘米.求三角形 CDF的

9、【例27】圖中兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是6厘米和4厘米，則圖中陰影部分三角形的面積是多少平方厘米.【例28】如圖，有三個(gè)正方形的頂點(diǎn)厘米，求陰影部分的面積.D、G、K恰好在同一條直線上，其中正方形GFEB的邊長(zhǎng)為 10PK【例29】（2008年”華杯賽”決賽）右圖中，ABCD和CGEF是兩個(gè)正方形，AG和CF相交于H，已知CH等于CF的三分之一，三角形 CHG的面積等于6平方厘米，求五邊形 ABGEF的面積.【例30】（第八屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題）如下圖，E、F分別是梯形 ABCD的下底BC和腰CD上的點(diǎn)，DF FC,并且甲、乙、丙3個(gè)三角形面積相等.已知梯形 ABCD的面積是32平方厘米.求圖

10、 僅供學(xué)習(xí)與參考學(xué)習(xí)資料中陰影部分的面積.【例31】如圖，已知長(zhǎng)方形 ADEF的面積16，三角形ADB的面積是3，三角形ACF的面積是4，那么三角形ABC的面積是多少？FC【例32】如圖，在平行四邊形 ABCD中，BE EC，CF 2FD .求陰影面積與空白面積的比.【例33】（第七屆”小機(jī)靈杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽五年級(jí)復(fù)賽）如圖所示，三角形 ABC中，D是AB邊的中點(diǎn)，E是AC邊上的一點(diǎn)，且AE 3EC , O為DC與BE的交點(diǎn).若 CEO的面積為a平方厘米，BDO的面積為b平方厘米且b a是2.5平方厘米，那么三角形 ABC的面積是平方厘米.【例34】如圖，在梯形ABCD中，AD:BE 4:3 ,

11、BE: EC 2:3 ,且 BOE的面積比 AOD的面積小10平方厘米.梯形 ABCD的面積是 平方厘米.【例35】如右圖所示，在長(zhǎng)方形內(nèi)畫出一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13 , 35 , 49 那么圖中陰影部分的面積是多少？?jī)H供學(xué)習(xí)與參考【例36】圖中是一個(gè)各條邊分別為 5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形. 將它的短直角邊對(duì)折到斜邊上去與斜邊相重合，那么圖中的陰影部分（即未被蓋住的部分）的面積是多少平方厘米？【例37】如圖，長(zhǎng)方形 ABCD的面積是2平方厘米,EC 2DE , F是DG的中點(diǎn).陰影部分的面積是G【例38】（2007年六年級(jí)希望杯二試試題）如圖，三角形田地中有兩條小路

12、 AE和CF ,交叉處為D ,張大伯常走這兩條小路，他知道 DF DC，且 AD 2DE .則兩塊地 ACF和CFB的面積比是 .B【例39】（2008年第一屆”學(xué)而思杯”綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)六年級(jí)2試）如圖，BC 45 , AC 21, ABC被分成9個(gè)面積相等的小三角形，那么DI FK .【解析】由題意可知，BD :BC S BAD : S ABC 2 ：9 ,所以BD -9BC 10 ,CDBCBD35 ;又DI : DC S dif : S dfc22:5,所以 DI DC 145,同樣分析可得FK10,所以DI FK 14 10 24C【例40】E、M分別為直角梯形 ABCD兩邊上的點(diǎn)，且D

13、QCP、ME彼此平行，若 AD 5 , BC 7 ,AE 5 , EB 3 求陰影部分的面積.C【例41】（2007年人大附中分班考試題）已知ABC為等邊三角形，面積為400, D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，已知甲、乙、丙面積和為143,求陰影五邊形的面積.（丙是三角形HBC）【例42】（2009年四中入學(xué)測(cè)試題）如圖，已知CD 5 , DE 7 , EF 15 , FG 6，線段AB將圖形分成兩部分，左邊部分面積是 38，右邊部分面積是 65,那么三角形 ADG的面積是.【例43】（2008年仁華考題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為 10,四邊形EFGH的面積為5,那么陰影部分的面積是.【例44】（20

14、08年走美六年級(jí)初賽）如圖所示，長(zhǎng)方形 ABCD內(nèi)的陰影部分的面積之和為 70, AB 8 ,AD 15，四邊形EFGO的面積為 【例45】（清華附中分班考試題積是多少平方厘米？）如圖，如果長(zhǎng)方形 ABCD的面積是56平方厘米，那么四邊形MNPQ的面【例46】（2008年日本第12屆小學(xué)算術(shù)奧林匹克大賽初賽 ）如圖，陰影部分四邊形的外接圖形是邊長(zhǎng)為10cm的正方形，則陰影部分四邊形的面積是 cm2 .【例47】如圖，三角形 AEF的面積是17, DE、BF的長(zhǎng)度分別為11、3求長(zhǎng)方形 ABCD的面積.【例48】（2008年第二屆兩岸四地華羅庚金杯數(shù)學(xué)精英邀請(qǐng)賽BC 30 . E、F分別是 AB

15、、BC邊上的兩點(diǎn)，BE BF是.）如圖，長(zhǎng)方形 ABCD中，AB 67 ,49 那么，三角形 DEF面積的最小值【例49】（2007首屆全國(guó)資優(yōu)生思維能力測(cè)試）ABCD是邊長(zhǎng)為12的正方形，如圖所示,P是內(nèi)部任意一點(diǎn)，BL DM 4、BK DN 5，那么陰影部分的面積是 學(xué)習(xí)資料【例50】如圖所示，在四邊形 ABCD中,E , F , G , H分別是ABCD各邊的中點(diǎn)，求陰影部分與四邊形PQRS的面積之比.【例51】如圖，四邊形 ABCD中，DE:EF:FC 3: 2:1，四邊形ABCD的面積等于4，則四邊形EFHG的面積BG:GH:AH3: 2:1，AD:BC 1:2，已知【拓展】如圖，對(duì)

16、于任意四邊形EFGH的面積是四邊形ABCD，通過各邊三等分點(diǎn)的相應(yīng)連線，得到中間四邊形ABCD的幾分之幾？EFGH，求四邊形B【例52】（2008年日本小學(xué)算數(shù)奧林匹克大賽決賽 ）有正三角形 ABC，在邊AB、BC、CA的正中間分別取點(diǎn)L、M、N，在邊AL、BM、CN上分別取點(diǎn) P、Q、R，使LP MQ NR，當(dāng)PM和RL、PM和QN、QN和RL的相交點(diǎn)分別是 X、Y、Z時(shí)，使XY XL .這時(shí)，三角形XYZ的面積是三角形 ABC的面積的幾分之幾？請(qǐng)寫出思考過程.僅供學(xué)習(xí)與參考【例53】如圖：已知在梯形 ABCD中，上底是下底的？，其中F是BC邊上任意一點(diǎn)，三角形 AME、3角形BMF、三角形

17、NFC的面積分別為14、20、12 求三角形NDE的面積【例54】如圖，已知ABCD是梯形,AOF的面積AD / BC , AD :BC 1:2 , S AOF :S DOE 1:3 , S BEF 24cm2，求【例55】（2009年迎春杯決賽高年級(jí)組） 如圖，ABCD是一個(gè)四邊形，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn).如果 ASM、 MTB與 DSN的面積分別是6、7和8,且圖中所有三角形的面積均為整數(shù)，則四邊形ABCD的面積為 .板塊二鳥頭模型兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形. 僅供學(xué)習(xí)與參考共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比.E在AC上）,

18、如圖在 ABC中，D,E分別是AB,AC上的點(diǎn)如圖（1）（或D在BA的延長(zhǎng)線上, 則 abc： ade （AB AC）： （AD AE）圖【例56】如圖在 ABC中，D, E分別是AB,AC上的點(diǎn)，且 AD: AB 2:5 ,平方厘米，求 ABC的面積.AE: AC 4:7 , Sa ade 16【例57】【例58】如圖在 ABC中,D在BA的延長(zhǎng)線上,AE : EC 3: 2 , SaadeE在AC上，且AB: AD12平方厘米，求 ABC的面積.如圖所示，在平行四邊形 ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AF 2CF , 的面積為8平方厘米平行四邊形的面積是多少平方厘米？5: 2 ,三角形AFE（圖中陰影部分）【例59】已知 ADEF的面積為7平方厘米，BE CE, AD 2BD,CF 3AF ,求 ABC的面積.學(xué)習(xí)資料A【例60】如圖，三角形 ABC的面積為3平方厘米，其中 AB:BE 2:5 , BC:CD 3:2，三角形BDE的面積是多少？【例61】(2007 年” 走美 ”五年級(jí)初賽試題)如圖所示，正