Matlab在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用實驗課(0903)

1、- - matlab 在復(fù)變函數(shù)中應(yīng)用運 城 學(xué) 院 應(yīng) 用 數(shù) 學(xué) 系- - matlab 在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用復(fù)變函數(shù)的運算是實變函數(shù)運算的一種延伸，但由于其自身的一些特殊的性質(zhì)而顯得不同，特別是當(dāng)它引進了“留數(shù)”的概念，且在引入了 taylor 級數(shù)展開 laplace 變換和 fourier 變換之后而使其顯得更為重要了。使用matlab來進行復(fù)變函數(shù)的各種運算；介紹留數(shù)的概念及 mat lab 的實現(xiàn)；介紹在復(fù)變函數(shù)中有重要應(yīng)用的taylor 展開（laurent 展開 laplace 變換和 fourier 變換） 。1 復(fù)數(shù)和復(fù)矩陣的生成在 matlab中，復(fù)數(shù)單位為)1(sqrt

2、ji，其值在工作空間中都顯示為i0000.10。1.1 復(fù)數(shù)的生成復(fù)數(shù)可由ibaz語句生成，也可簡寫成biaz。另 一 種 生 成 復(fù) 數(shù) 的 語 句 是)exp(thetairz， 也 可 簡 寫 成)exp(ithetarz，其中 theta 為復(fù)數(shù)輻角的弧度值，r 為復(fù)數(shù)的模。1.2 創(chuàng)建復(fù)矩陣創(chuàng)建復(fù)矩陣的方法。- - 如同一般的矩陣一樣以前面介紹的幾種方式輸入矩陣例如：)33exp(23),6exp(9,32,53iiiia2 復(fù)數(shù)的運算1復(fù)數(shù)的實部和虛部復(fù)數(shù)的實部和虛部的提取可由函數(shù)real 和 imag 實現(xiàn)。調(diào)用形式)(xreal返回復(fù)數(shù)x的實部)(ximag返回復(fù)數(shù)x的虛部2共

3、軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的共軛可由函數(shù)conj 實現(xiàn)。調(diào)用形式)(xconj返回復(fù)數(shù)x的共軛復(fù)數(shù)3復(fù)數(shù)的模和輻角復(fù)數(shù)的模和輻角的求解由功能函數(shù)abs 和 angle 實現(xiàn)。調(diào)用形式)(xabs復(fù)數(shù)x的模)(xangle復(fù)數(shù)x的輻角例：求下列復(fù)數(shù)的實部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、模與輻角（1）i231（2）iii131（3）iii2)52)(43(（4）iii2184- - 由 matlab 輸入如下：2148,2/)52()43(),1/(3/1),23/(1iiiiiiiiiiaaiiii0000.30000.10000.135000.35000.25000.11538.02308.0)(areal%實部ans0.

4、2308 1.5000 3.5000 1.0000 )(aimag%虛部ans 0.1538 2.5000 13.0000 3.0000 )(aconj%共軛復(fù)數(shù)ans0.2308+0.1538i1.5000+2.5000i 3.5000+13.0000i1.0000+3.0000i )(aabs%模ans0.2774 2.9155 13.4629 3.1623 )(aangle%輻角ans 0.5880 1.0304 1.8228 -1.2490 4復(fù)數(shù)的乘除法- - 復(fù)數(shù)的乘除法運算由“/”和“”實現(xiàn)。例復(fù)數(shù)的乘除法演示。)3/exp(4ipixxi4641.30000.2)5/exp(3

5、ipiyyi7634.14271.2)5/exp(31ipiy1yi7634.14271.2yx/ansi5423.02181.11/ yxansi3260.11394.0由此例可見，i5/)(相當(dāng)于)5/()(i，和i5/)(不相等。5復(fù)數(shù)的平方根復(fù)靈敏的平方根運算由函數(shù)sprt 實現(xiàn)。調(diào)用形式- - )(xsprt返回復(fù)數(shù)x的平方根值6復(fù)數(shù)的冪運算復(fù)數(shù)的冪運算的形式為nx，結(jié)果返回復(fù)數(shù)x的n次冪。例求下列各式的值)6/1()1(ans0.8660+0.5000 i 7復(fù)數(shù)的指數(shù)和對數(shù)運算復(fù)數(shù)的指數(shù)和對數(shù)運算分別由函數(shù)exp 和 log 實現(xiàn)。調(diào)用形式)exp(x返回復(fù)數(shù) x 的以 e 為底

6、的指數(shù)值)log( x返回復(fù)數(shù) x 的以 e為底的對數(shù)值例求下列式的值（參見參考資料【4】p.68.2 15） 。)log( iansi5708.10)43log(iansi2143.26094.18復(fù)數(shù)的三角函數(shù)運算- - 復(fù)數(shù)的三角函數(shù)運算函數(shù)參見下面的復(fù)數(shù)三角函數(shù)復(fù)數(shù)三角函數(shù)表函數(shù)名函數(shù)功能函數(shù)名函數(shù)功能)sin(x返回復(fù)數(shù)x的正弦函數(shù)值)sin(xa返回復(fù)數(shù)x的反正弦值)cos(x返回復(fù)數(shù)x的余弦函數(shù)值)cos(xa返回復(fù)數(shù)x的反余弦值)tan(x返回復(fù)數(shù)x的正切函數(shù)值)tan(xa返回復(fù)數(shù)x的反正切值)cot(x返回復(fù)數(shù)x的余切函數(shù)值)cot(xa返回復(fù)數(shù)x的反余切值)sec(x返回

7、復(fù)數(shù)x的正割函數(shù)值)sec(xa返回復(fù)數(shù)x的反正割值)csc(x返回復(fù)數(shù)x的余割函數(shù)值)csc(xa返回復(fù)數(shù)x的反余割值)sinh(x返回復(fù)數(shù)x的雙曲正弦值)coth(x返回復(fù)數(shù)x的雙曲余切值)cosh(x返回復(fù)數(shù)x的雙曲余弦值)(secxh返回復(fù)數(shù)x的雙曲正割值- - )tanh(x返回復(fù)數(shù)x的雙曲正切值)(cscxh返回復(fù)數(shù)x的雙曲余割值9復(fù)數(shù)方程求根復(fù)數(shù)方程求根或?qū)嵎匠痰膹?fù)數(shù)根求解也由函數(shù)solve 實現(xiàn)。見下面的例子 . 例求方程083x所有的根（參見參考資料【4】p.32.1 16） 。)083( xsolveans 2 )2/1(31 i)2/1(31 i3 留數(shù)留數(shù)定義：設(shè) a

8、是)(zf的孤立奇點， c 是 a 的充分小鄰域內(nèi)一條把a 點包含在其內(nèi)部的閉路，積分cdzzfi)(21稱為)(zf在 a 點的留數(shù)或殘數(shù)，記作),(reazfs。在 matlab 中，可由函數(shù)residue實現(xiàn)。residue 留數(shù)函數(shù)（部分分式展開）),(,abresiduekpr函數(shù)返回留數(shù)，極點和2 個多項式比值)(/)(sasb的部分分式展開的直接項。- - )()()()2()2()1() 1()()(sknpsnrpsrpsrsasb如果沒有重根，則向量b 和 a 為分子、分母以s 降冪排列的多項式系數(shù)，留數(shù)返回為向量r、極點在向量p 的位置，直接項返回到向量 k。如果存在 m

9、 重極點即有)1()(mjpjp則展開項包括以下形式mjpsmjrjpsjrjpsjr)()1()()1()()(2),(,kprresidueab有 3 個輸入變量和2 個輸出變量，函數(shù)轉(zhuǎn)換部分因式展開還為系數(shù)為b和 a的多項式比的形式。例求如下函數(shù)的奇點處的留數(shù)。zzz212在 matlab 實現(xiàn)如下),(,02111residuekprr1.5000 0.5000 p2 - - 0 k 所以可得500512.),(re;.),(rezfszfs。例計算下面的積分cdzzz14其中 c 為正向圓周2| z。解：先求被積函數(shù)的留數(shù))1,0,0,0,1 ,0, 1(,residuekprr0.

10、2500 0.2500 0.2500 0.0000 i 0.250+0.0000 i p 1.0000 1.0000 0.0000+1.0000 i 0.0000 1.0000 i 0k - - 可 見 在 圓 周2| z內(nèi) 有 四 個 極 點 ， 所 以 積 分 值 等 于02502502502502).(ipi。4 taylor級數(shù)展開taylor 級數(shù)開展在復(fù)變函數(shù)中有很重要的地位，如分析復(fù)變函數(shù)的解析性等。函數(shù))(xf在0 xx點的 taylor 級數(shù)開展為!3/)0)(0(!2/)0)(0()0)(0(0)(32xxxfxxxfxxxfxxf在 matlab 中可由函數(shù) taylor

11、 來實現(xiàn)。taylor 泰勒級數(shù)展開)( ftaylor返回f函數(shù)的五次冪多項式近似。此功能函數(shù)可有3 個附加參數(shù)。),(nftaylor返回1n次冪多項式。),(aftaylor返回a點附近的冪多項式近似。),(xrtaylor使用獨立變量代替函數(shù))( ffindsym。例求下列函數(shù)在指定點的泰勒開展式（參見參考資料【4】p.143.12） 。（1）10,/12zz（2）4/0,piztgz；matlab 實現(xiàn)為：) 1, 2/1(xtaylor- - 5)1(64)1(53)1(42)1(323xxxxx)4/),(tan(pixtaylorans3/103)4/1(3/82)4/1(22

12、/121pixpixpix5)4/1(15/644)4/1(pixpix例再看下面的展開式)10,/)(sin(xxtaylorans8362880/165040/14120/126/11xxxx展開式說明0 x是此函數(shù)的偽奇點！這里的taylor展開式運算實質(zhì)上是符號運算，因此在matlab中執(zhí)行此命令前應(yīng)先定義符號變量zxsyms,，否則matlab將給出出錯信息！5 laplace變換及其逆變換1laplace 變換)(flaplacel返回以默認獨立變量t 對符號函數(shù)f 的 laplace 變換。函數(shù)返回默認為s 的函數(shù)。如果)(sff，則 laplace函數(shù)返回 t 的函數(shù))(tll

13、。其中定義l為對t的積分inf),0),exp()(int()(tstfsl。- - ),(tflaplacel以 t 代替s 的 laplace 變換。),(tflaplace等價于),0),exp()(int()(infxtxftl。),(zwflaplacel以 z代替 s的 laplace 變換（相對于w 的積分）。),(zwflaplace等價于inf),0),exp()(int()(wzwfzl。例如：syms a s t w x)5(xlaplaceans6/120s)(exp(sapaplaceans)/(1at),(sin(txwlaplaceans)22/(wtw),),(

14、twwxconslaplaceans)22/(xtt),2/3(tsymxlaplaceans- - )2/5(/)2/1 (4/3tpi)(xfsymdifflaplaceans)0(),),(fssxxflaplace2laplace 逆變換)(lilaplacef返回以默認獨立變量s 的數(shù)量符號l 的 laplace 變換，默認返回t 的函數(shù)。如果)(tll，則ilaplace 返回 x 的函數(shù))(xff。)(xf定義為對s的積分inf)inf,),exp()(int()(icicstssltf；其中c 為選定實數(shù)， 使得)(sl的所有奇點都在直線cs的左側(cè)。),(ylilaplacef

15、以 y 代替默認的 t 的函數(shù)，且有),(ylilaplace等價于inf)inf,),exp()(int()(icicsysylyf。 這里 y 是個數(shù)量符號。),(xylilaplacef以x 代 替t 的 函 數(shù) ，),(xylilaplace等 價 于inf)inf,),exp()(int()(icicyyxylyf，對y 取積分。例如：yxwtssyms- - )1/(1(silaplaceans)exp(t)12/(1 (tilaplaceans)sin(xilaplace ),2/5(?(xsymtans)2/3(*)2/1(/3/4xpiilaplace),),22/(xywy

16、yanscos)*(xwilaplace() ,),),),(xssxxflaplacesymansf()x6 fourier變換及其逆變換1. fourier 積分變換f=fourier(f) 返回以默認獨立變量x 對符號函數(shù) f 的 fourier 變換，默認返回w的函數(shù)。如果)(wff，則fourier 函數(shù)返回t 的函數(shù)f=f(t)。定義 f(w)int(f(x)*exp(inf),inf,),*xxwi為對x的積分。ffourier(),vf以v代替默認值w的 fourier 變換，且有fourier(),vf- - 等價于 f()v= intinf)inf,),*exp(*)(xx

17、vixf。fourier),(vuf以v代替x且對u積分，且有 fourier),(vuf=f（v）= intinf)inf,),*exp(*)(uuviuf。例如：symst v w xfourier （1/t）ans)()(*wheavisidewheavisidepii),),2?(exp(txxfourierans)2?*4/1exp(*)2/1(?tipfourier),)(*)(exp(vtheavisidesymtans1/)*1(vifourier),),)(wxxfsymdiffans),),(*wxxffourierwi2.fourier 逆變換)(fifourierf返回

18、以默認獨立變量w對符號函數(shù) f 的 fourier 逆變換，默認返回x的函數(shù)fourier 逆變換應(yīng)用于返回x的函數(shù)，即由f=f)(w推出)(xff。如果f=f)(x，則ifourier函數(shù)返回t的函數(shù)- - )(tff。 定義inf)inf,),*exp(*)(int(*)*2/(1)(wxwiwfpixf， 對w的積分。),(ufifourierf以u代 替x的 函 數(shù) ， 且 有 ifourier),(uf等 價 于inf)inf,*exp(*)(int(*)*2/(1)(wuwiwfpiuf對w積分。),(uvfifourierf以v代替w的 fourier 逆變換， 且有),(uvfifourier=inf)inf,*