初二數(shù)學(xué)春季講義 第10講.特殊根問題.尖子班.教師版

1、10特殊根問題方程11級(jí)解特殊復(fù)雜方程方程12級(jí)特殊根問題方程6級(jí)含參方程組方程13級(jí)根系關(guān)系及應(yīng)用題春季班第十一講春季班第十講春季班第九講滿分晉級(jí)階梯 漫畫釋義 簡(jiǎn)答題知識(shí)互聯(lián)網(wǎng) 題型切片題型切片（兩個(gè)）對(duì)應(yīng)題目題型目標(biāo)整數(shù)根問題例1，例2，例3，例4，練習(xí)1，練習(xí)2，練習(xí)3； 公共根問題例5，例6，練習(xí)4，練習(xí)5編寫思路本講主要匯總了一元二次方程的兩大?？碱}型：整數(shù)根問題和公共根問題，總結(jié)了每種題型的基本解題思路，并由淺入深地搭配了近年各城區(qū)考試中的一些真題進(jìn)行有針對(duì)性的訓(xùn)練其中整數(shù)根問題在2013年的各區(qū)縣模擬題中高頻次出現(xiàn)，并在2013年中考18題中進(jìn)行了考查，是近年的熱門題型，請(qǐng)老師

2、在課上參照所附的探究題型進(jìn)行重點(diǎn)講解本講最后一版塊為西城初三期末統(tǒng)考題，在本題中涉及多種代數(shù)式運(yùn)算技巧，難度較大，學(xué)生們可借此復(fù)習(xí)各版塊內(nèi)容，不失為一道代數(shù)綜合經(jīng)典題目題型一：整數(shù)根問題思路導(dǎo)航 解決整數(shù)根問題的思路：1.先看方程二次項(xiàng)系數(shù)，確定二次項(xiàng)系數(shù)是否能為0；2.確定是一元二次方程后，看能否因式分解求出根的取值；3.不能因式分解的：判別式是完全平方數(shù)；是2a的整數(shù)倍以上兩個(gè)條件需同時(shí)滿足，缺一不可，如果只滿足，則只能保證方程有有理根例題精講 【引例】 已知為整數(shù)，求證關(guān)于的一元二次方程有根且都是整數(shù)【解析】 法1：將原方程直接因式分解求出兩根，即，故符合題意法2：不用因式分解，利用根的

3、判別式是完全平方數(shù)，且是2的倍數(shù)，故符合題意.典題精練 【例1】 已知關(guān)于的方程討論此方程根的情況；若方程有兩個(gè)整數(shù)根，求正整數(shù)k的值（2013西城南區(qū)期末）【解析】 當(dāng)時(shí)，方程為一元一次方程，此方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根； 當(dāng)時(shí)，方程是一元二次方程，.，即，為除外的任意實(shí)數(shù)時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根綜上，無論取任意實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；可化為：，為正整數(shù)或4或【例2】 已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根求的取值范圍；若為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求的值【解析】 方程有兩個(gè)不等的實(shí)根即為整數(shù)即或2，方程的根為整數(shù)，為完全平方數(shù)當(dāng)時(shí)，時(shí)，【例3】 當(dāng)為何整數(shù)時(shí)，關(guān)于的一元二次方程 與的根都是整

4、數(shù) （西城區(qū)抽樣試題）【解析】 由題意可知，方程的判別式方程的判別式為故，又為整數(shù)，故或當(dāng)時(shí)，題干中的兩個(gè)方程分別為、，滿足題意；當(dāng)時(shí)，題干中的兩個(gè)方程分別為、，不合題意故也可通過方程是否有整數(shù)根的條件來判斷出，此時(shí)兩個(gè)判別式都要是完全平方數(shù)【例4】 當(dāng)整數(shù)取何值時(shí)，關(guān)于的方程有整數(shù)根【解析】 當(dāng)時(shí)，（舍）當(dāng)時(shí)，該方程為一元二次方程，設(shè)（n為正整數(shù)）則或【探究對(duì)象】含參的一元二次方程的整數(shù)根問題【探究目的】對(duì)一元二次方程的整數(shù)根求解策略進(jìn)行了方法總結(jié)和梳理【探究方法】思路1：探究方程是否能直接求根？思路2：如果不能直接求根就思考判別式，那么判別式的形式都有幾種，對(duì)于每一種情況應(yīng)該用什么樣的方法

5、處理？思路3：如何應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決整數(shù)根問題？整系數(shù)一元二次方程有整數(shù)根，則：   (1)兩個(gè)根都是整數(shù)；   (2)判別式是整數(shù)；   (3)判別式是整數(shù)的完全平方；   (4)兩根和是整數(shù)，兩根積是整數(shù).一、直接求根法：【探究1】已知關(guān)于的方程的根是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)的值為 分析：當(dāng)時(shí)，符合條件當(dāng)時(shí)，易知是方程一個(gè)整數(shù)根由根與系數(shù)關(guān)系知另一根為因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，即所以【探究2】已知方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，求整數(shù)的值.分析： 因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)正整數(shù)根，即 所以二、判別式法【探究3】設(shè)為整數(shù)，且，又方

6、程有兩個(gè)整數(shù)根.求的值及方程的根. 分析：考察判別式4(2m1)，因是關(guān)于m的一次式，   由已知4m40，可知      92m181.      為使判別式為完全平方數(shù)，只有2m125或2m149.      當(dāng)2m125時(shí)，m12，方程兩根分別為16，26；      當(dāng)2m149時(shí)，m24，方程兩根分別為38，52.注：當(dāng)判別式是一次式時(shí)，可結(jié)合已知條件通過討論得出參數(shù)

7、的范圍.【探究4】已知為自然數(shù)，關(guān)于的方程有兩個(gè)整數(shù)根，求出這個(gè)方程的正整數(shù)根和.分析：要得整數(shù)根，判別式必須為完全平方數(shù)或式原方程可化為則設(shè)則所以因?yàn)?，為整?shù)而考慮到，奇偶性相同且故有分別代入方程可得正整數(shù)根為或所以當(dāng)時(shí)正整數(shù)根為，當(dāng)時(shí)正整數(shù)根為1【探究5】設(shè)為整數(shù)，有整數(shù)根，則的值為 .分析：當(dāng)時(shí)，原方程可化為不合題意；當(dāng)時(shí)，令即；且，為整數(shù)故三、根與系數(shù)關(guān)系【探究6】若關(guān)于的二次方程的兩根都是整數(shù)，試求整數(shù) 的值.分析：因?yàn)樗o的方程是二次方程，所以由根與系數(shù)關(guān)系，得因?yàn)闉檎麛?shù)，所以必為整數(shù)因?yàn)闉檎麛?shù)，所以當(dāng)時(shí)，方程為，兩根均為整數(shù)當(dāng)時(shí)，方程為，兩根均為整數(shù)當(dāng)時(shí)，方程為方程無實(shí)根當(dāng)時(shí)，方

8、程為方程無實(shí)根所以當(dāng)時(shí)，方程為兩根均為整數(shù)【探究7】試確定一切有理數(shù)，使得關(guān)于的方程有根且只有整數(shù)根.分析：若，則方程為，不合題意若，設(shè)方程的兩個(gè)整數(shù)根為，則，于是因?yàn)椋瑸檎麛?shù)，且，所以，；所以解得注意：探究5和探究7為提高尖子班選講內(nèi)容，教師也可根據(jù)具體班級(jí)情況進(jìn)行講解.以上建議僅供教師參考.【總結(jié)】1、對(duì)含參的一元二次方程，要立刻對(duì)其因式分解，這是解決整數(shù)根問題的策略習(xí)慣.2、判別式有很多種形式，最容易的就是完全平方式，但這種不怎么?？?；對(duì)于判別式有以下幾種常考形式，對(duì)這幾種形式進(jìn)行總結(jié)：（1）判別式是一次式且參數(shù)所在范圍已知，利用判別式為完全平方數(shù)求參數(shù)值；（探究3）（2）判別式是二次式

9、且不為平方式，可采用配方法變形；（探究4）（3）判別式是一次式但參數(shù)未知，可設(shè)其為平方數(shù),并來表示值；（探究5選講）3、兩個(gè)整數(shù)的和與積都是整數(shù)，充分利用整數(shù)運(yùn)算的結(jié)構(gòu)特征，把韋達(dá)定理和求解一元二次方程的整數(shù)解有機(jī)的結(jié)合起來，在思考過程中需要認(rèn)真分析題干條件，整數(shù)解、正整數(shù)解都對(duì)代數(shù)式的討論起著重要的作用。（選講）題型二：公共根問題思路導(dǎo)航 若已知若干個(gè)一元二次方程有公共根，求方程系數(shù)的問題，叫一元二次方程的公共根問題兩個(gè)一元二次方程只有一個(gè)公共根的解題步驟：設(shè)公共根為a，則a同時(shí)滿足這兩個(gè)一元二次方程；用加減法消去a2的項(xiàng)，求出公共根或公共根的有關(guān)表達(dá)式；把公共根代入原方程中的任何一個(gè)方程，

10、就可以求出字母系數(shù)的值或字母系數(shù)之間的關(guān)系式例題精講 【引例】 已知兩方程，有且僅有一個(gè)公共根，求，關(guān)系【解析】 設(shè)為兩方程公共根，則得有且只有一個(gè)公共根，則即將代入，且典題精練 【例5】 已知，試判斷關(guān)于的方程與有沒有公共根，請(qǐng)說明理由【解析】 不妨設(shè)關(guān)于的方程與有公共根，設(shè)為，則有  整理，可得，把代入得，這是不可能的所以，關(guān)于的兩個(gè)方程沒有公共根真題賞析【例6】 已知關(guān)于的一元二次方程 若方程有一個(gè)正實(shí)根，且求的取值范圍； 當(dāng)時(shí)，方程與關(guān)于的方程有一個(gè)相同的非零實(shí)根，求的值 （西城初三期末統(tǒng)考）【解析】 為方程的一個(gè)正實(shí)根， ，即 ，解得 又（由，）解得 當(dāng)時(shí)，此時(shí)方

11、程為設(shè)方程與方程的相同實(shí)根為m，得 整理，得 解得把代入方程得 ，即 當(dāng)時(shí)，（此題第二問可以用含的式子表示，直接代入）思維拓展訓(xùn)練(選講)訓(xùn)練1. 已知：關(guān)于的一元二次方程若求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若的整數(shù)，且方程有兩個(gè)整數(shù)根，求的值 （東城一模）【解析】 證明： 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 方程有兩個(gè)整數(shù)根，必須使為整數(shù)且為整數(shù)又，訓(xùn)練2. 方程有兩個(gè)有理數(shù)根，求整數(shù)的值【解析】 ，設(shè)（是正整數(shù)），當(dāng)時(shí)，原方程有有理根訓(xùn)練3. 關(guān)于的方程至少有一個(gè)整數(shù)解，且是整數(shù)，求的值（密云一模）【解析】 當(dāng)時(shí)，原方程為，解得， 即原方程無整數(shù)解 當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，它至少有一個(gè)整數(shù)根，說明判

12、別式為完全平方數(shù)，從而為完全平方數(shù)，設(shè)，則為正奇數(shù)，且，否則（），所以， 由求根公式得 所以要使為整數(shù)，而為正奇數(shù)，只能，從而；要使為整數(shù)，可取1，5，7，從而綜上所述，的值為復(fù)習(xí)鞏固題型一 整數(shù)根問題 鞏固練習(xí)【練習(xí)1】 已知關(guān)于的方程的根是整數(shù)，求符合條件的的整數(shù)值.【解析】 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，為整數(shù)，0，2，3，綜上，的整數(shù)值為，0，1，2，3.【練習(xí)2】 當(dāng)為何正整數(shù)時(shí)，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)非零整數(shù)根（中考改編）【解析】 由題意得， 為正整數(shù)， ，2，3 當(dāng)時(shí)，但方程有一根為零； 當(dāng)時(shí)，不是完全平方數(shù)，故無整數(shù)根； 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根 綜上所述，和不合題意，舍去；符合題意【練

13、習(xí)3】 設(shè)為整數(shù)，且，方程有兩個(gè)整數(shù)根，求的值及方程的根【解析】 為完全平方數(shù)，又為的整數(shù)，則或24當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，題型二 公共根問題 鞏固練習(xí)【練習(xí)4】 已知為非負(fù)實(shí)數(shù)，當(dāng)取什么值時(shí)，關(guān)于的方程與僅有一個(gè)相同的實(shí)根？【解析】 設(shè)相同的根為，則由題意我們有所以即當(dāng)時(shí)，代入原方程求得；時(shí)，代入原方程，兩方程均為，解得，即它們的兩根都相同，不合題意，舍去，故只有當(dāng)時(shí)，兩方程僅有一個(gè)相同的實(shí)根【練習(xí)5】 設(shè)關(guān)于的方程只有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的值和相應(yīng)的個(gè)根.【解析】 方程等價(jià)于如下兩個(gè)方程：，若為的公共根，則，所以，故沒有公共根.兩方程無相同的根，由于原方程只有個(gè)不相等的實(shí)根，故或必有重根.，故只可能，即.當(dāng)時(shí)，解得，；當(dāng)時(shí)，解得，.毛澤東對(duì)母親感情深毛澤東對(duì)母親文七妹感情很深。1918年夏，他從長(zhǎng)沙赴北京前夕，十分掛念在外婆家養(yǎng)病的母親，特地請(qǐng)人開了一個(gè)藥方寄給舅父。次年春返回長(zhǎng)沙，便把母親接來就醫(yī)。10月5日，文七妹患瘰疬（俗稱疝子頸）病逝，終年五十二歲。毛澤東日夜兼程從長(zhǎng)沙趕回韶山守靈，并和淚寫下一篇情義深長(zhǎng)的祭母文。他這么追念母親：“吾母高風(fēng)，首推博愛。遠(yuǎn)近親疏。一皆覆載。愷惻慈祥，感動(dòng)庶匯。