初三---相似圖形思維導(dǎo)圖內(nèi)容---111

1、太奇黃岡智能學(xué)校寶安校區(qū)比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段線段a、b、c、d成比例，表示為或abcd（稱其為比例式），其中a、b、c、d叫做組成比例的項(xiàng)，a、d叫做比例外項(xiàng)，b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段d叫做a、b、c的第四比例項(xiàng)若作為比例內(nèi)項(xiàng)是兩條相同的線段，即abbc或，那么線段b叫做線段a和c的比例中項(xiàng)例1、如果，且xyz12，求x，y，z的值解：設(shè)，則x3k4，y2k3，z4k8代入xyz12中，得3k42k34k812，解得k3x3k43×345，y2k32×333，z4k84×38

2、4比例的基本性質(zhì)其中（3）稱為合比性質(zhì)，（4）稱為等比性質(zhì)例2、已知a,b,c分別是ABC的三邊長(zhǎng)，且，試猜想ABC的形狀，并說(shuō)明理由解：因?yàn)閍+b+c0, 且,所以，同理，因?yàn)?a0,b0,c0，所以a-b=0, b-c=0, c-a=0,即a=b,b=c,c=a,所以 a=b=c所以ABC是等邊三角形例3、如圖，ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB、AC上，若這個(gè)矩形是正方形，那么邊長(zhǎng)是多少？若這個(gè)矩形的長(zhǎng)是寬的兩倍，則邊長(zhǎng)是多少？ 解：（1）設(shè)正方形邊長(zhǎng)為xmm， PQAD，PNBC，根

3、據(jù)平行線分線段成比例得，由題意知PN=PQ=x，AD=80，BC=120，兩式相加得解得x=48.這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為48mm（2）設(shè)長(zhǎng)方形的寬為xmm，長(zhǎng)為2xmm， PQAD，PNBC，根據(jù)平行線分線段成比例得，若PN=2x， PQ=x，AD=80，BC=120，兩式相加得解得x=若PN=x， PQ=2x，AD=80，BC=120，兩式相加得解得x=30（mm），2x=60(mm). 答：矩形的長(zhǎng)為寬為或長(zhǎng)為60mm，寬為30mm相似多邊形1）相似圖形定義：形狀相同的圖形稱為相似圖形2）相似多邊形定義：一般地，各角分別相等、各邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做它們的相

4、似比3）相似多邊形的性質(zhì)及判定相似多邊形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例相似多邊形的判定：(1)邊數(shù)相同；(2)對(duì)應(yīng)角相等；(3)對(duì)應(yīng)邊成比例判定兩個(gè)多邊形相似，這三個(gè)條件缺一不可，另外，形狀相同的圖形也是相似圖形相似三角形的判定1、相似三角形定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形叫相似三角形其中對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比，當(dāng)相似比等于1時(shí)，兩個(gè)相似三角形全等2、相似三角形的判定（1）如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似（2）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似（3）如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似（4

5、）如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似（5）直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形相似.例4、已知，如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對(duì)角線AC所在直線解析式為(1)在x軸上存在這樣的點(diǎn)M，使MAB為等腰三角形，求出所有符合要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始在線段CO上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O開(kāi)始在線段OA上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)設(shè)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒是否存在這樣的時(shí)刻t，使OPQ與BCP相似，并說(shuō)明理由；設(shè)BPQ的面積為S，求S與t間的函數(shù)關(guān)系式，并求出t為何值時(shí)，S有最小值解：(1)如圖，易知A(

6、0,1)，AB為底邊，則，AB為腰且MA=AB時(shí)，由題意可知，由對(duì)稱性知AB為腰且MB=AB時(shí)，由題意可知由對(duì)稱性知(2)假設(shè)存在這樣的時(shí)刻t，使OPQ與BCP相似如圖所示，OQ=t，由得，即t2t1=0或3t=2，解得又0t1，當(dāng)時(shí)，OPQ與BCP相似當(dāng)時(shí)，面積S有最小值，最小值是例5、正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持AM和MN垂直，（1）證明：；（2）設(shè)，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCN面積最大，并求出最大面積；（3）當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，求x的值（1）證明：在正方形ABCD中，

7、在中，（2）解：，當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為10（3）解：，要使，必須有，由（1）知，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)黃金分割設(shè)一條線段AB的長(zhǎng)度為a，C點(diǎn)在靠近B點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)上，且AC為b 近似值為0.618例6、已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC，且ACBC，求線段AB與BC的長(zhǎng)。解：設(shè)AB=x，BC=x-55+5，由AC/AB=BC/AC，得x（x-55+5）=（55-5）²x²-55x+5x+505-150=0x=（55-5）±5（5-5）/2x1=10，x2=55-15(小于0舍去）。AB=10，BC=15-55.相似三角形的性質(zhì)（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)

8、角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例（2）相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比（3）相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比（4）相似三角形的面積的比等于相似比的平方例7、如圖，ABC中，DEBC，BE和CD相交于點(diǎn)F，且SEFC=3SEFD求SADESABC解： 位似1、位似變換的定義若兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，則這樣的兩個(gè)圖形叫位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫位似中心，這時(shí)的相似比又稱位似比從定義可看出，位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形2、位似圖形的性質(zhì)位似圖形的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比例8、如圖ABC中，AB80cm，高CD6

9、0cm，矩形EFGH中E、F在AB邊上，G在BC邊上，H在三角形內(nèi)，且EF:GF2:1（1）在ABC內(nèi)畫出矩形GFEH的位似形，使其頂點(diǎn)在ABC的邊上（保留作圖痕跡）（2）求所作的矩形的面積解：（1）矩形GFEH的位似形其長(zhǎng)與寬的比為2:1，設(shè)其寬為x，則長(zhǎng)為2x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知：，兩式左右兩邊分別相加得：，解得：x24，由此先找出點(diǎn)I，然后作IJAB于點(diǎn)J，作IKAB交AC于點(diǎn)K，再過(guò)點(diǎn)K作KLAB于點(diǎn)L，連接各頂點(diǎn)，四邊形IJLK即為所求所畫圖形如下所示：（2）由（1）可知，該矩形的長(zhǎng)為48，寬為24，3、在平面直角坐標(biāo)系中，圖形經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱后，各點(diǎn)的坐標(biāo)會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化，同樣，圖形經(jīng)過(guò)位似變換后，點(diǎn)的坐標(biāo)也會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化變化規(guī)律為：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，位似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)值的比等于k或k警示：（1）這是以原點(diǎn)為位似中心的位似變換中圖形坐標(biāo)的變化規(guī)律（2）當(dāng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一象限內(nèi)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的比（指橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的比）等于k（3）當(dāng)一個(gè)點(diǎn)在x軸上，它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)仍在x軸上，且橫坐標(biāo)的比等于k或k（這時(shí)縱坐標(biāo)為0，比值不存在），在y軸上的情形類似例9、如圖，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-2，4）、B（-3，1）、C（-1，1），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，在第二象限內(nèi)將ABC放大