曲線積分和曲面積分復(fù)習(xí)資料PPT課件

1、一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念第1頁(yè)/共96頁(yè),),(1 niiiisf 作和作和上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)在在的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為個(gè)小段個(gè)小段設(shè)第設(shè)第個(gè)小段個(gè)小段分成分成把把列列上任意插入一個(gè)點(diǎn)上任意插入一個(gè)點(diǎn)在在上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)端點(diǎn)的光滑曲線弧端點(diǎn)的光滑曲線弧為為面內(nèi)以面內(nèi)以是是定義設(shè)定義設(shè)), 2 , 1)(,(,.),(,11210niMMsMMinLBMMMMALLyxfBAxOyLiiiiiiin 記作記作上的曲線積分上的曲線積分在在此極限為數(shù)量值函數(shù)此極限為數(shù)量值函數(shù)則稱(chēng)則稱(chēng)和的極限總存在和的極限總存在時(shí)時(shí)如果當(dāng)如果當(dāng)記記,),(,0,max1Lyxfsini .d),( Lsyxf1

2、 nMiM1 iM2M1MOxyABL),(ii is 第2頁(yè)/共96頁(yè) niiiiLsfsyxf10),(limd),( 被積函數(shù)被積函數(shù)弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素積分弧積分弧第一類(lèi)曲線積分第一類(lèi)曲線積分( (對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分) ).,段上的曲線積分之和段上的曲線積分之和等于函數(shù)在各光滑曲線等于函數(shù)在各光滑曲線上的曲線積分上的曲線積分則函數(shù)在則函數(shù)在是分段光滑的是分段光滑的如果如果LL.d),(),(, LsyxfLyxfL積分常常記為積分常常記為上的曲線上的曲線在在則函數(shù)則函數(shù)是封閉曲線是封閉曲線如果如果第3頁(yè)/共96頁(yè)存在條件存在條件.d),(,),()1(存在存在上連續(xù)上連續(xù)在光

3、滑曲線在光滑曲線 LsyxfLyxf.d),(,),()2(存在存在斷點(diǎn)斷點(diǎn)上只有有限多個(gè)間上只有有限多個(gè)間并且在并且在上有界上有界在在 LsyxfLLyxf第4頁(yè)/共96頁(yè)幾何意義與物理意義幾何意義與物理意義,),(),()1(處的高時(shí)處的高時(shí)在點(diǎn)在點(diǎn)的柱面的柱面表示準(zhǔn)線為表示準(zhǔn)線為當(dāng)當(dāng)yxLyxf;d),( LsyxfS柱面面積柱面面積xyzOL),(yxfz ,),()3(的線密度時(shí)的線密度時(shí)表示表示當(dāng)當(dāng)Lyx .d),( LsyxM OxyL),(yx ,1),()2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yxf;d LsL弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)第5頁(yè)/共96頁(yè),R,:)1( 線性性質(zhì)線性性質(zhì) LLLsyxgsyxfsyxgy

4、xfd),(d),(d),(),( , )2(21LLL和和可分成兩段光滑曲線弧可分成兩段光滑曲線弧若積分弧段若積分弧段.d),(d),(d),( 21 LLLsyxfsyxfsyxf則則.d,1),()3(的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度等于等于時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)LsyxfL 二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)第6頁(yè)/共96頁(yè).d),(d),( , ),(),( (4) LLsyxgsyxfyxgyxfL則則上上設(shè)在設(shè)在.d),(d),( LLsyxfsyxf特殊地特殊地使得其中s是曲線L的長(zhǎng)度.(5)設(shè)函數(shù)f(x)在光滑曲線L上連續(xù)，則在L上必存在一點(diǎn)( , ) ( , )d( , ) ,Lf x ysfs 第7頁(yè)/共96頁(yè).

5、 )( d)()()(),(d),( , d),( 0,)()( , )()( , )( ,)()( , ),(2222 tttttfsyxfsyxfttttttytxLLyxfLL且且存在存在分分則曲線積則曲線積且且上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在在、其中其中方程為方程為的參數(shù)的參數(shù)上有定義且連續(xù)上有定義且連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)三、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算定理定理第8頁(yè)/共96頁(yè)注：注：. 0,. iits從而要求從而要求總是大于零總是大于零長(zhǎng)度長(zhǎng)度因?yàn)樾』《蔚囊驗(yàn)樾』《蔚囊欢ㄒ∮谏舷抟欢ㄒ∮谏舷薅ǚe分的下限定積分的下限 被積函數(shù)是定義在積分曲線弧上，所以要把積分曲線弧的參數(shù)方程代入被

6、積函數(shù)中第9頁(yè)/共96頁(yè)兩種特殊情形兩種特殊情形.),(:. 1bxaxyyL .),(,:bxaxyyxxL ).( d)(1)(,d),(2baxxyxyxfsyxfbaL .),(:. 2dycyxxL .,),(:dycyyyxxL ).( d1)(),(d),(2dcyyxyyxfsyxfdcL 第10頁(yè)/共96頁(yè)推廣推廣則有則有上連續(xù)上連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)給出給出由參數(shù)方程由參數(shù)方程弧弧如果空間光滑曲線如果空間光滑曲線,),(,)()(),(),( zyxfttzztyytxx )( d)()()()(),(),(d),(222 ttztytxtztytxfszyxf3.:( ),.L

7、 rr :cos ,sin ,.L xryr22( , )d cos , sin ( ) ( )d ().Lf x ysf rrrr 第11頁(yè)/共96頁(yè).)1 , 1()0 , 0(,d2之間的那一段弧之間的那一段弧點(diǎn)點(diǎn)與與介于點(diǎn)介于點(diǎn)是拋物線是拋物線計(jì)算計(jì)算xyLsyL , 10,:2 xxyL積分曲線積分曲線 1022d)2(1dxxxsyL 102d41xxx.12155 例例1解解第12頁(yè)/共96頁(yè)例例2 2.2:,d2222yyxLsyxL 其中其中求求解解 : 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為L(zhǎng),2sin )0( Lsyxd22 0d2)sin2( d)()(d22 s d)sin2(

8、)cos2(22 ,d2 . 8 第13頁(yè)/共96頁(yè)例例3 3. 134:,d)243(2222 yxLsxyyxL其中其中求求解解, 134: 22 yxL因?yàn)橐驗(yàn)?1243 22 yx所以所以 Lsxyyxd)243(22 Lsxy d)212( LLsxysd2d12( (根據(jù)積分曲線關(guān)于根據(jù)積分曲線關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)性和坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)性和被積函數(shù)的奇偶性被積函數(shù)的奇偶性) )0 ) (.12是橢圓的周長(zhǎng)是橢圓的周長(zhǎng)aa 第14頁(yè)/共96頁(yè)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念、計(jì)算與應(yīng)用計(jì)算與應(yīng)用 一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)二、對(duì)

9、坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算四、兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系四、兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系第15頁(yè)/共96頁(yè)一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念引例引例: : 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功xOyABL.,),(),(),(,所作的功所作的功力力變變計(jì)算在上述移動(dòng)過(guò)程中計(jì)算在上述移動(dòng)過(guò)程中的作用的作用質(zhì)點(diǎn)受到力質(zhì)點(diǎn)受到力中中在移動(dòng)過(guò)程在移動(dòng)過(guò)程移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)面曲線弧面曲線弧沿光滑的平沿光滑的平設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)FjyxQiyxPyxFBLA .d),(d),( LyyxQxyxP第16頁(yè)/共96頁(yè)二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 ,則則為常數(shù)為

10、常數(shù)、設(shè)設(shè) .d),(d),(d),(),(2121 LLLryxFryxFryxFyxF 性質(zhì)性質(zhì)2 2則則和和有向曲線弧有向曲線弧可分成兩段光滑的可分成兩段光滑的如果有向曲線弧如果有向曲線弧, 21LLL.d),(d),(d),(21 LLLryxFryxFryxF第17頁(yè)/共96頁(yè)則則曲線弧曲線弧方向相反的有向方向相反的有向是與是與是有向曲線弧是有向曲線弧設(shè)設(shè), , LLL 性質(zhì)性質(zhì)3 3.d),(d),(- LLryxFryxF即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān)即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān). .第18頁(yè)/共96頁(yè)三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算,d),(d),(, 0)()(,)(),

11、(,),(,),(),(,),(),(22存在存在則曲線積分則曲線積分且且續(xù)導(dǎo)數(shù)續(xù)導(dǎo)數(shù)一階連一階連為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有及及在以在以運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)沿沿的起點(diǎn)的起點(diǎn)從從點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)到到變變單調(diào)地由單調(diào)地由當(dāng)參數(shù)當(dāng)參數(shù)的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為續(xù)續(xù)上有定義且連上有定義且連在曲線弧在曲線弧設(shè)設(shè) LyyxQxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理ttttQtttPyyxQxyxPLd)()(),()()(),(d),(d),( 且且第19頁(yè)/共96頁(yè)特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，終點(diǎn)為，終點(diǎn)為起點(diǎn)為起點(diǎn)為 .d)()(,)(,ddxxyxyx

12、QxyxPyQxPbaL 則則.)(:)2(dcyyxxL，終點(diǎn)為，終點(diǎn)為起點(diǎn)為起點(diǎn)為 .d),()(),(ddyyyxQyxyyxPyQxPdcL 則則., :的終點(diǎn)的終點(diǎn)上限對(duì)應(yīng)上限對(duì)應(yīng)的起點(diǎn)的起點(diǎn)定積分的下限始終對(duì)應(yīng)定積分的下限始終對(duì)應(yīng)注意注意LL第20頁(yè)/共96頁(yè).,)()()(: )3( 終點(diǎn)終點(diǎn)起點(diǎn)起點(diǎn)空間光滑曲線空間光滑曲線ttztytx tttttRttttQttttPzRyQxPd)()(),(),()()(),(),()()(),(),(ddd 第21頁(yè)/共96頁(yè).)0 ,()0 ,()2(;)1(,d2的直線段的直線段軸到點(diǎn)軸到點(diǎn)沿沿從點(diǎn)從點(diǎn)的上半圓周的上半圓周針?lè)较蚶@行

13、針?lè)较蚶@行、圓心為原點(diǎn)、按逆時(shí)、圓心為原點(diǎn)、按逆時(shí)半徑為半徑為為為其中其中計(jì)算計(jì)算aBxaAaLxyL AB.0: ,sin,cos:)1( ayaxL d )sin(sin022 aaI.34dsin3033aa 例例1解解第22頁(yè)/共96頁(yè).:, 0,:)2(aaxyxxL LxyId2. 0d0 aax注意被積函數(shù)相同注意被積函數(shù)相同, ,起起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同點(diǎn)和終點(diǎn)也相同, ,但是由但是由于積分路徑不同于積分路徑不同, ,導(dǎo)致積導(dǎo)致積分結(jié)果不同分結(jié)果不同. .AB第23頁(yè)/共96頁(yè).,)0 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(.,2),(22處處處再沿直線行進(jìn)

14、到處再沿直線行進(jìn)到然后從然后從處處處沿直線行進(jìn)到處沿直線行進(jìn)到質(zhì)點(diǎn)從質(zhì)點(diǎn)從處處行進(jìn)到行進(jìn)到處沿拋物線處沿拋物線質(zhì)點(diǎn)從質(zhì)點(diǎn)從的功的功求下述情形下場(chǎng)力所作求下述情形下場(chǎng)力所作在場(chǎng)力作用下運(yùn)動(dòng)在場(chǎng)力作用下運(yùn)動(dòng)一質(zhì)點(diǎn)一質(zhì)點(diǎn)設(shè)有一平面力場(chǎng)設(shè)有一平面力場(chǎng)BAAOBxyOjxxyiyxF OAB. 10:,:)1(2 xxyL LyxxxyWdd22 1022d)22(xxxxx. 1d4103 xx例例2解解第24頁(yè)/共96頁(yè). 10:, 1: , 10:, 0: ,)2( yxABxyOAABOAL ABOAyxxxyyxxxyWdd2dd222. 1d010 y注意注意被積函數(shù)相同被積函數(shù)相同, ,起

15、點(diǎn)和起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同終點(diǎn)也相同, ,雖然積分路徑不雖然積分路徑不同同, ,但是積分結(jié)果相同但是積分結(jié)果相同. .OAB 102102d)1012(d)002(yyxxx第25頁(yè)/共96頁(yè)例例3 3.)0 , 0 , 0()1 , 2 , 3(,dd3d223ABBAzyxyzyxx的直線段的直線段到點(diǎn)到點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)是從是從其中其中計(jì)算計(jì)算 解解直線段直線段AB的方程是的方程是;123zyx 化為參數(shù)方程得化為參數(shù)方程得,2,3tztytx 所以所以zyxyzyxxdd3d223 ttttttd2)3(2)2(33)3(01222 tt d87013 . 01變到變到從從t.487 第26頁(yè)/共96頁(yè)

16、四、兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系,)()( tytxL ：設(shè)有向平面曲線弧為設(shè)有向平面曲線弧為,),( 為為處的切線向量的方向角處的切線向量的方向角上點(diǎn)上點(diǎn)yxL LLsQPyQxPd)coscos(dd 則則其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt 第27頁(yè)/共96頁(yè)格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用 一、格林公式一、格林公式二、格林公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用二、格林公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用三、平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件三、平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件第28頁(yè)/共96頁(yè)D單連通區(qū)域單連通區(qū)域1.1.單單( (復(fù)復(fù)) )連通區(qū)域及其正向邊界連通區(qū)域及其正向邊界.,稱(chēng)為復(fù)連通區(qū)域稱(chēng)為復(fù)連通區(qū)域

17、不是單連通的平面區(qū)域不是單連通的平面區(qū)域域域是平面單連通區(qū)是平面單連通區(qū)則稱(chēng)則稱(chēng)所圍的有界區(qū)域都屬于所圍的有界區(qū)域都屬于內(nèi)任意一條閉曲線內(nèi)任意一條閉曲線如果如果為一平面區(qū)域?yàn)橐黄矫鎱^(qū)域設(shè)設(shè)DDDD復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域D單連通區(qū)域就是單連通區(qū)域就是沒(méi)有沒(méi)有“洞洞”的區(qū)域的區(qū)域. .一、格林公式第29頁(yè)/共96頁(yè):,的正向如下的正向如下的邊界曲線的邊界曲線規(guī)定規(guī)定平面上的閉區(qū)域平面上的閉區(qū)域是是設(shè)設(shè)DxOyD.,),(終位于他的左側(cè)終位于他的左側(cè)始始鄰近處的鄰近處的前行進(jìn)時(shí)前行進(jìn)時(shí)并沿邊界的這一方向朝并沿邊界的這一方向朝側(cè)側(cè)軸正向所指的一軸正向所指的一位于位于平面上平面上當(dāng)人站立于當(dāng)人站立于Dzx

18、Oy.的正向邊界曲線的正向邊界曲線為為帶有正向的邊界曲線稱(chēng)帶有正向的邊界曲線稱(chēng)DDxyOz112241),(:223 yxyxD .1),(4),( 2222共同組成共同組成與順時(shí)針走向的圓周與順時(shí)針走向的圓周的圓周的圓周正向邊界為逆時(shí)針走向正向邊界為逆時(shí)針走向 yxyxyxyx第30頁(yè)/共96頁(yè)2.2.格林公式格林公式. ,dddd ,),(),( ,1的正向邊界曲線的正向邊界曲線是是其中其中則有則有上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在在函數(shù)函數(shù)所圍成所圍成由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線設(shè)閉區(qū)域設(shè)閉區(qū)域定理定理DLyQxPyxyPxQDyxQyxPLDLD 上述公式稱(chēng)為格林公式上述公

19、式稱(chēng)為格林公式, ,是英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理是英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家格林在學(xué)家格林在18251825年發(fā)現(xiàn)的年發(fā)現(xiàn)的, ,是微積分基本公式在二是微積分基本公式在二重積分情形下的推廣重積分情形下的推廣. .第31頁(yè)/共96頁(yè)1.1.揭示了平面區(qū)域上的二重積分與沿區(qū)域邊界的揭示了平面區(qū)域上的二重積分與沿區(qū)域邊界的第二類(lèi)曲線積分之間的關(guān)系第二類(lèi)曲線積分之間的關(guān)系. .2.2.給出了計(jì)算二重積分的新方法給出了計(jì)算二重積分的新方法. .3.3.給出了計(jì)算第二類(lèi)曲線積分的新方法給出了計(jì)算第二類(lèi)曲線積分的新方法. .格林公式便于記憶的形式格林公式便于記憶的形式.d),(d),(dd LDyyxQxyxPyxQPyx

20、 : dddd 的重要意義的重要意義公式公式 LDyQxPyxyPxQ第32頁(yè)/共96頁(yè)(1)(1)簡(jiǎn)化曲線積分簡(jiǎn)化曲線積分.)1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(,dd4正向邊界正向邊界為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域的為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域的是以是以其中其中計(jì)算計(jì)算LyxyxxL xyO11D由格林公式由格林公式所圍區(qū)域?yàn)樗鶉鷧^(qū)域?yàn)橛浻?DL DLyxyxxxyyxyxxdd)()(dd44 Dyxydd.61dd1010 xyyx二、格林公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例例1解解第33頁(yè)/共96頁(yè)xyOABr.)0 ,(), 0(,d的部分的部分到到的圓周在第一象限從的圓周在第一象限從是半徑為是半徑為計(jì)算計(jì)算rBr

21、ArLyxL ., BOOA添加定向直線段添加定向直線段.LOABO 定向閉曲線定向閉曲線,),(, 0),(xyxQyxP . 0, 1 yPxQ DyxyPxQyxdd)(d Dyxdd.42r 例例2解解第34頁(yè)/共96頁(yè) BOyxd OAyxd .4dd 2ryxyxL 所以所以, 0d00 rxx, 0d00 ryxyOABr第35頁(yè)/共96頁(yè)OABxy(2)(2)簡(jiǎn)化二重積分簡(jiǎn)化二重積分.)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(:,dde2為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域?yàn)轫旤c(diǎn)的三角形閉區(qū)域以以計(jì)算計(jì)算BAODyxDy 則則令令,e, 02yxQP .e2yyPxQ BOABOAyDyy

22、xyxdedde22 OAyyxde2. 10:.: xxyOA).e1(211 10de2xxx例例3解解第36頁(yè)/共96頁(yè).2dd2dd的面積的面積DDLSyxyxxy (3)(3)計(jì)算平面區(qū)域的面積計(jì)算平面區(qū)域的面積.d),(d),(d)( LDyyxQxyxPyPxQ 則則令令,xQyP 則則令令, 0 xQP .ddd的面積的面積DDLSyxyx 則則令令, 0, QyP.ddd的面積的面積DDLSyxxy .dd21dd LLLDyxxyxyyxS的面積的面積第37頁(yè)/共96頁(yè)例例4 4所圍成圖形的面所圍成圖形的面求橢圓求橢圓 sin,cosbyax .A積積解解 LxyyxAdd

23、21 20d21 ab 2022d)sincos(21 abab.ab Oxy第38頁(yè)/共96頁(yè)(4)(4)計(jì)算曲線方程未知的曲線積分計(jì)算曲線方程未知的曲線積分.,dd22方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较蚍较驗(yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较蜷]曲線閉曲線滑且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)滑且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)分段光分段光為一條無(wú)重點(diǎn)為一條無(wú)重點(diǎn)其中其中計(jì)算計(jì)算LyxxyyxL .),(,),(2222yxxyxQyxyyxP ,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx,)(22222yxxyyPxQ . 0 yPxQ即即.,上不一定連續(xù)上不一定連續(xù)在在所圍成的閉區(qū)域?yàn)樗鶉傻拈]區(qū)域?yàn)橛浻汥yPxQDL 例例5 5解解第39頁(yè)/共96頁(yè)xyOLDxyOL

24、D.,)0 , 0()1(上連續(xù)上連續(xù)在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)DyPxQD DLyxyPxQyxxyyxdd)(dd22. 0 .,)0 , 0()2(上不連續(xù)上不連續(xù)在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)DyPxQD .,:,1222DCLLDCryxCrrrr圍成的復(fù)連通區(qū)域?yàn)閲傻膹?fù)連通區(qū)域?yàn)楣餐餐c與記記不相交不相交內(nèi)且與內(nèi)且與位于位于使得使得為半徑作圓周為半徑作圓周以原點(diǎn)為圓心以原點(diǎn)為圓心 rC第40頁(yè)/共96頁(yè)).(),(),(1)1(DCyxQyxP xyOL1DrC.,1格林公式格林公式上應(yīng)用上應(yīng)用在在取逆時(shí)針?lè)较蛉∧鏁r(shí)針?lè)较駾Cr 1dd)(0DyxyPxQ rCLyQxPyQxPdddd rrCCLyQxPy

25、QxPyQxPdddddd所以所以)(2dd122所圍圖形的面積所圍圖形的面積rCCrxyyxrr .2222 rr( (積分值與積分路徑無(wú)關(guān)積分值與積分路徑無(wú)關(guān)) )第41頁(yè)/共96頁(yè)三、平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件第42頁(yè)/共96頁(yè).,00線線的光滑或分段光滑的曲的光滑或分段光滑的曲到到內(nèi)從內(nèi)從是是內(nèi)任意兩點(diǎn)內(nèi)任意兩點(diǎn)為為為一平面開(kāi)區(qū)域?yàn)橐黄矫骈_(kāi)區(qū)域設(shè)設(shè)MMGLGMMGG0MMLL.,d),(d),(0內(nèi)與路徑有關(guān)內(nèi)與路徑有關(guān)該曲線積分在該曲線積分在否則便說(shuō)否則便說(shuō)內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)則稱(chēng)該曲線積分在則稱(chēng)該曲線積分在關(guān)關(guān)而與積分的路徑無(wú)而與積分的路徑無(wú)有關(guān)有

26、關(guān)的兩個(gè)端點(diǎn)的兩個(gè)端點(diǎn)只與只與如果曲線積分如果曲線積分GGMMLyyxQxyxPL 第43頁(yè)/共96頁(yè). ) ( dd , ),(),( , 2內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立在在的充分必要條件是的充分必要條件是曲線的曲線積分為零曲線的曲線積分為零內(nèi)任意閉內(nèi)任意閉或沿或沿內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)在在則曲線積分則曲線積分內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在在函數(shù)函數(shù)是一個(gè)單連通域是一個(gè)單連通域設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域定理定理GxQyPGGyQxPGyxQyxPGL 第44頁(yè)/共96頁(yè).)(),( ,21),(22yxyxQyxyyxP .)(2yPyxxQ .,選取特殊路徑簡(jiǎn)化積分選取特殊路徑簡(jiǎn)化積分曲線積分與路徑無(wú)

27、關(guān)曲線積分與路徑無(wú)關(guān).)1 , 1()0 , 1()0 , 0(:1的有向折線段的有向折線段L.)1 , 1()0 , 0(2,d)(d)21(2222的一段有向弧的一段有向弧到到上從上從是是其中其中計(jì)算積分計(jì)算積分yyxLyyxxyxyL 例例1 1解解xyO)1 , 1(L)0 , 1(1L第45頁(yè)/共96頁(yè) )0, 1()0,0(22d)(d)21(yyxxyxy )1 , 1()0, 1(22d)(d)21(yyxxyxy 10210d)1(d1yyx.34371 Lyyxxyxyd)(d)21(22 1d)(d)21(22LyyxxyxyxyO)1 , 1(L)0 , 1(1L第46

28、頁(yè)/共96頁(yè)關(guān)于曲線積分的幾個(gè)等價(jià)命題關(guān)于曲線積分的幾個(gè)等價(jià)命題定理定理設(shè)開(kāi)區(qū)域設(shè)開(kāi)區(qū)域D是一個(gè)單連通域是一個(gè)單連通域, , 函數(shù)函數(shù)),(yxP在在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,),(yxQ則下列命題則下列命題 LQdyPdx(1)曲線積分曲線積分在在D內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)內(nèi)與路徑無(wú)關(guān);等價(jià)等價(jià):(2)(3)為某二元函數(shù)為某二元函數(shù)( , )u x y的全微分的全微分;PdxQdy 在在D內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立;QPyx (4)對(duì)對(duì)D內(nèi)任意閉曲線內(nèi)任意閉曲線,L0.LPdxQdy第47頁(yè)/共96頁(yè)二元函數(shù)的全微分求積二元函數(shù)的全微分求積根據(jù)上述定理根據(jù)上述定理, ,若若( , ),( ,

29、 )P x y Q x y在在D內(nèi)滿足定內(nèi)滿足定理的條件理的條件, , 則則00( , )(,)( , )( , )( , )x yxyu x yP x y dxQ x y dy (1)滿足滿足( , )( , )( , ).du x yP x y dxQ x y dy稱(chēng)稱(chēng)( , )u x y為表達(dá)式為表達(dá)式( , )( , )P x y dxQ x y dy 的的原函原函數(shù)數(shù). .此時(shí)此時(shí), ,因因(1)式右端的曲線積分與路徑無(wú)關(guān)式右端的曲線積分與路徑無(wú)關(guān),于是于是, ,00( , )(,)( , )x yxyu x yPdxQdy 000( ,)( , )xyxyP x y dxQ x y

30、 dy 選取折線段路徑：選取折線段路徑：即得即得000(,)( ,)( , )xyx yx y第48頁(yè)/共96頁(yè)00( , )(,)( , )x yxyu x yPdxQdy 000(, )( , )yxyxQ xy dyP x y dx或選取折線段路徑：或選取折線段路徑：即得即得000(,)(, )( , )xyxyx y其中00(,)xy是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn)，常取(0,0)另曲線積分另曲線積分LPdxQdy在在D內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，且，且( , )( , )( , )du x yP x y dxQ x y dy，則00( , )(,)00( , )(,)x yxyPdxQdyu x

31、yu xy第49頁(yè)/共96頁(yè)例1驗(yàn)證驗(yàn)證dyyyxdxxyx)23()23(2232 是全微分，是全微分，并求其一個(gè)原函數(shù)并求其一個(gè)原函數(shù) .證證這里這里,23,232232yyxQxyxP ,62xyxQyP 所以原式是全微分，所以原式是全微分，)0 , 0(為起點(diǎn)，得為起點(diǎn)，得取取dyyyxdxxyxyxuyx ),()0,0(2232)23()23(),(dyyyxdxxxy 00222)23(32323yyxx 為其一個(gè)原函數(shù)為其一個(gè)原函數(shù) .第50頁(yè)/共96頁(yè)例例2計(jì)算計(jì)算,)8,6()0, 1(22 yxydyxdx積分沿不通過(guò)坐標(biāo)原積分沿不通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的路徑點(diǎn)的路徑. .解解顯然

32、顯然, , 當(dāng)當(dāng))0 , 0(),( yx時(shí)時(shí), ,22yxydyxdx 于是于是 )8,6()0, 1(22yxydyxdx)8,6()0, 1(22yx 9. )8,6()0, 1(22yxd,22yxd 第51頁(yè)/共96頁(yè)對(duì)面積的曲面積分的概念、對(duì)面積的曲面積分的概念、計(jì)算與應(yīng)用計(jì)算與應(yīng)用 一、對(duì)面積的曲面積分的概念一、對(duì)面積的曲面積分的概念二、對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)二、對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)三、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算三、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算 第52頁(yè)/共96頁(yè)一、對(duì)面積的曲面積分的概念實(shí)例實(shí)例 所謂曲面光滑即曲面所謂曲面光滑即曲面上各點(diǎn)處都有切平面上各點(diǎn)處都有切平面, ,且且當(dāng)點(diǎn)在曲

33、面上連續(xù)移動(dòng)時(shí)當(dāng)點(diǎn)在曲面上連續(xù)移動(dòng)時(shí), ,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng). . . , ),( , 求其質(zhì)量求其質(zhì)量函數(shù)函數(shù)它的面密度為連續(xù)它的面密度為連續(xù)是光滑的是光滑的若曲面若曲面zyx 第53頁(yè)/共96頁(yè)iiiniiSf ),(lim10 Szyxfd),( 即即積分曲面積分曲面dS 面積元素面積元素積分和式積分和式被積函數(shù)被積函數(shù) 以上積分也稱(chēng)為第一類(lèi)曲面積分或?qū)γ娣e以上積分也稱(chēng)為第一類(lèi)曲面積分或?qū)γ娣e的曲面積分的曲面積分. .d),(, ),(一定存在一定存在曲面積分曲面積分第一類(lèi)第一類(lèi)上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí)在光滑曲面在光滑曲面當(dāng)當(dāng) Szyxfzyxf第54頁(yè)/共96頁(yè) 曲面積分可以用來(lái)

34、表示與物質(zhì)曲面有關(guān)的一些曲面積分可以用來(lái)表示與物質(zhì)曲面有關(guān)的一些物理量物理量. ,),( 上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)曲面面密度設(shè)曲面面密度 zyx ;d),( SzyxM 曲面質(zhì)量曲面質(zhì)量,d),(1 SzyxxMx 曲面重心坐標(biāo)曲面重心坐標(biāo),d),(1 SzyxyMy .d),(1 SzyxzMz 第55頁(yè)/共96頁(yè)二、對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì) .d),( d),( , SzyxfSzyxf可寫(xiě)成可寫(xiě)成為閉曲面時(shí)為閉曲面時(shí)當(dāng)當(dāng) . d , 1),( 的面積的面積是曲面是曲面時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) Szyxf則則及及可分為分片光滑的曲面可分為分片光滑的曲面若若,21 .d),(d),(d),(21 SzyxfSzyx

35、fSzyxf第56頁(yè)/共96頁(yè)三、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算;dd),(),(1),(,22yxyxzyxzyxzyxfxyDyx Szyxfd),(),(:. 1yxzz 若曲面若曲面則則按照曲面的不同情況分為以下三種：按照曲面的不同情況分為以下三種：, 面上的投影面上的投影在在為為xoyDxy 第57頁(yè)/共96頁(yè);dd),(),(1),(,22zxzxyzxyzzxyxfxzDzx Szyxfd),(則則.dd),(),(1,),(22zyzyxzyxzyzyxfyzDzy Szyxfd),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面則則2.:( , ),yy x z若若曲曲面面第58頁(yè)/共96頁(yè)解

36、解.255,d)(22所截得的部分所截得的部分被柱面被柱面為平面為平面其中其中計(jì)算計(jì)算 yxzySzyx,5:yz 積分曲面積分曲面,25:22 yxxOy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域在在yxzzSyxdd1d22 yxdd)1(012 ,dd2yx 例例1第59頁(yè)/共96頁(yè) Szyxd)(故故 xyDyxyyxdd)5(2 xyDyxxdd)5(2 d)cos5(25020 d.2125 第60頁(yè)/共96頁(yè)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念、計(jì)算與應(yīng)用計(jì)算與應(yīng)用 一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)三、對(duì)坐標(biāo)的曲

37、面積分的計(jì)算三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算四、兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系四、兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系第61頁(yè)/共96頁(yè)為研究問(wèn)題的需要為研究問(wèn)題的需要, ,在雙側(cè)曲面上選定某一側(cè)在雙側(cè)曲面上選定某一側(cè). .選定了側(cè)的雙側(cè)曲面稱(chēng)為選定了側(cè)的雙側(cè)曲面稱(chēng)為定向曲面定向曲面. ., 相反側(cè)的曲面記為相反側(cè)的曲面記為則選定其則選定其的定向曲面的定向曲面表示一張選定了某個(gè)側(cè)表示一張選定了某個(gè)側(cè)用用 第62頁(yè)/共96頁(yè)曲面法曲面法向量的指向向量的指向決定曲面的決定曲面的側(cè)側(cè). .決定了側(cè)的曲面稱(chēng)為決定了側(cè)的曲面稱(chēng)為有向曲面有向曲面. . ,)( xySxoyS 面上的投影為面上的投影為在在.0cos00cos)(0c

38、os)()( 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xyxyxyS.)(表示投影區(qū)域的面積表示投影區(qū)域的面積其中其中xy , S 上取一小塊曲面上取一小塊曲面在有向曲面在有向曲面第63頁(yè)/共96頁(yè).dddddddddddddddddd , . 1212121 yxRxzQzyPyxRxzQzyPyxRxzQzyP則則可表示成可表示成如果如果.dd),(dd),(dd),(dd),(dd),(dd),(. 2 yxzyxRyxzyxRxzzyxQxzzyxQzyzyxPzyzyxP二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)第64頁(yè)/共96頁(yè)oxyz z三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算, ),( )1(所給曲面的上側(cè)所給曲面的上側(cè)

39、是由方程是由方程設(shè)積分曲面設(shè)積分曲面yxzz yxD),(kkk yxk)( , xyDxOy面上的投影為面上的投影為在在 , ),( , ),(上連續(xù)上連續(xù)在在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有上具有在在 zyxRDyxzzxy第65頁(yè)/共96頁(yè)注意注意: :對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側(cè)必須注意曲面所取的側(cè). . .dd),(,dd),(,dd),(取下側(cè)取下側(cè)取上側(cè)取上側(cè)xyxyDDyxyxzyxRyxyxzyxRyxzyxR第66頁(yè)/共96頁(yè) yzDzyzyzyxPzyzyxPdd,),(dd),( 則有則有Oxyz .dd,),(,dd,),(取后側(cè)取后側(cè)

40、取前側(cè)取前側(cè)yzyzDDzyzyzyxPzyzyzyxP,),()2(給出給出由由如果如果zyxx 第67頁(yè)/共96頁(yè),),()3(給出給出由由如果如果xzyy zxDxzzxzyxQxzzyxQdd),(,dd),( 則有則有xyzO .dd),(,dd),(,取左側(cè)取左側(cè)取右側(cè)取右側(cè)zxzxDDxzzxzyxQxzzxzyxQ第68頁(yè)/共96頁(yè).0, 01,dd222的部分的部分的外側(cè)并滿足的外側(cè)并滿足是球面是球面其中其中計(jì)算計(jì)算 yxzyxyxxyz.分成上下兩塊分成上下兩塊將將 .,1:221上側(cè)上側(cè)上塊上塊yxz .,1:222下側(cè)下側(cè)下塊下塊yxz . 0, 0, 1:22 yxy

41、xDxy投影區(qū)域均為投影區(qū)域均為xyz2 1 21ddddddyxxyzyxxyzyxxyz例例1解解第69頁(yè)/共96頁(yè) 12ddddddyxxyzyxxyzyxxyz xyxyDDyxyxxyyxyxxydd)1(dd12222 xyDyxyxxydd1222.152dd1cossin222 xyDrrrr 說(shuō)明說(shuō)明: :如果積分曲面是由幾片有向光滑曲面組成的如果積分曲面是由幾片有向光滑曲面組成的, ,必須分片計(jì)算積分必須分片計(jì)算積分, ,然后把結(jié)果相加然后把結(jié)果相加. .第70頁(yè)/共96頁(yè)解解:分成以下六部分分成以下六部分把有向曲面把有向曲面 ;)0 ,0(:1的上側(cè)的上側(cè)byaxcz ;

42、)0 ,0(0:2的下側(cè)的下側(cè)byaxz ;)0 ,0(:3的前側(cè)的前側(cè)czbyax ;)0 ,0(0:4的后側(cè)的后側(cè)czbyx ;)0 ,0(:5的右側(cè)的右側(cè)czaxby 例例2222d dd dd d ,( , , )|0, 0, 0.xy zyz xzx yx y zxaybzc 求求曲曲面面分分其其中中 是是方方體體 的的整整表表面面的的外外積長(zhǎng)個(gè)側(cè)第71頁(yè)/共96頁(yè);)0 ,0(0:6的左側(cè)的左側(cè)czaxy ,43面上的投影為零面上的投影為零其余四片曲面在其余四片曲面在外外除除yOz zyxdd2類(lèi)似地可得類(lèi)似地可得,dd22acbxzy 因此因此zyxdd32 4.dd2zyxzy

43、zyaxyxyDDdd0dd22 .2bca .dd22abcyxz 于是所求曲面積分為于是所求曲面積分為.)(abccba 第72頁(yè)/共96頁(yè)oxyz, ),( )1(確定確定是由方程是由方程設(shè)積分曲面設(shè)積分曲面yxzz yxD , xyDxOy面上的投影為面上的投影為在在 , ),( , ),(上連續(xù)上連續(xù)在在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有上具有在在 zyxRDyxzzxy四、兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系 xyDyxyxzyxRyxzyxRdd),(,dd),(則則第73頁(yè)/共96頁(yè)oxyzyxD 的法向量的方向余弦為的法向量的方向余弦為曲面曲面 n.11cos,1cos,1cos22222

44、2yxyxyyxxzzzzzzzz 第74頁(yè)/共96頁(yè)SRQPyxRxzQzyPd)coscoscos(dddddd 兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系第75頁(yè)/共96頁(yè)合一投影法合一投影法將三種類(lèi)型的積分轉(zhuǎn)化為同一個(gè)坐標(biāo)面上的將三種類(lèi)型的積分轉(zhuǎn)化為同一個(gè)坐標(biāo)面上的二重積分二重積分. .那么那么上連續(xù)上連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)的方程為的方程為如果如果,),(),(),(,),(),( yxRyxQyxPDyxyxzzxy yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),( xyDxyxzyxzyxP),(),(, , , ( , )( , ) , , ( , )d dyQ x

45、 y z x yzx yR x y z x yx y.,取下側(cè)時(shí)為負(fù)取下側(cè)時(shí)為負(fù)取上側(cè)時(shí)為正取上側(cè)時(shí)為正積分前的符號(hào)當(dāng)積分前的符號(hào)當(dāng) 第76頁(yè)/共96頁(yè)).(,),(),(:)2( CRQPDxzxzyyzx zxDxxzyzxzyxP),(),(, , ( , ), , ( , ), ( , )d dzQ x y z x zR x y z x zy z xz x yxRxzQzyPdddddd.,取左側(cè)時(shí)為負(fù)取左側(cè)時(shí)為負(fù)取右側(cè)時(shí)為正取右側(cè)時(shí)為正積分前的符號(hào)當(dāng)積分前的符號(hào)當(dāng) 第77頁(yè)/共96頁(yè)).(,),(),(:)3( CRQPDzyzyxxyz yzDyzyxzyzyxQzyzyxP),(

46、,),(,),( ( , ), , ( , )zR x y zy zxy zdydz.,取后側(cè)時(shí)為負(fù)取后側(cè)時(shí)為負(fù)取前側(cè)時(shí)為正取前側(cè)時(shí)為正積分前的符號(hào)當(dāng)積分前的符號(hào)當(dāng) yxRxzQzyPdddddd第78頁(yè)/共96頁(yè)解解.20)(21,)(222之間部分的下側(cè)之間部分的下側(cè)和和介于平面介于平面是旋轉(zhuǎn)拋物面是旋轉(zhuǎn)拋物面其中其中計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分 zzyxzzdxdydydzxz.面上的二重積分面上的二重積分轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為xOy. 4:),(21),(:2222 yxDyxyxzzxy,取下側(cè)取下側(cè) xzx例例4第79頁(yè)/共96頁(yè)2222211 ()()()42xyDxyxxxydxdy 原原式

47、式22222211()()42xyDx xyxxydxdy 2221()2xyDxxydxdy 0 , 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)關(guān)于關(guān)于因?yàn)橐驗(yàn)閤yDxy 22,xyxyDDx dxdyy dxdy2221()2xyxyDDx dxdyxydxdy第80頁(yè)/共96頁(yè)22()xyDxydxdy .8dd20220 rr 2222211 ()()()42xyDxyxxxydxdy 原原式式2221()2xyDxxydxdy 第81頁(yè)/共96頁(yè)高斯公式及其應(yīng)用高斯公式及其應(yīng)用 一、高斯公式一、高斯公式二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件第82頁(yè)/共96頁(yè)那么那么上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)

48、數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在在如果函數(shù)如果函數(shù)的曲面所組成的曲面所組成滑滑由有限塊光滑或分片光由有限塊光滑或分片光定理設(shè)空間閉區(qū)域定理設(shè)空間閉區(qū)域,),(),(),(,zyxRzyxQzyxP,ddddddd yxRxzQzyPvzRyQxP . ),( cos,cos,cos, 處的法向量的方向余弦處的法向量的方向余弦在點(diǎn)在點(diǎn)是是的邊界曲面的外側(cè)的邊界曲面的外側(cè)取取其中其中zyx 一、高斯公式SRQPvzRyQxPd)coscoscos(d 或或第83頁(yè)/共96頁(yè).,dd)(dd)(dd)(個(gè)表面的外側(cè)個(gè)表面的外側(cè)的軸向正方體的整的軸向正方體的整邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為是以原點(diǎn)為中心是以原點(diǎn)為中心其中其中計(jì)

49、算計(jì)算ayxxzxzzyzyyx , ,xzRzyQyxP vzRyQxPd原式原式 vd)111()(3的體積的體積 根據(jù)高斯公式根據(jù)高斯公式例例1解解.33a 第84頁(yè)/共96頁(yè)使用高斯公式時(shí)的注意事項(xiàng)使用高斯公式時(shí)的注意事項(xiàng);,. 1量求偏導(dǎo)數(shù)量求偏導(dǎo)數(shù)并注意分別對(duì)哪個(gè)變并注意分別對(duì)哪個(gè)變?nèi)齻€(gè)函數(shù)三個(gè)函數(shù)正確確定正確確定RQP;,. 2連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)三個(gè)函數(shù)是否具有一階三個(gè)函數(shù)是否具有一階判斷判斷RQP. 3面的外側(cè)面的外側(cè)注意曲面積分取封閉曲注意曲面積分取封閉曲第85頁(yè)/共96頁(yè).)0(0,dddddd222222之間的部分的下側(cè)之間的部分的下側(cè)及及介于平面介于平面為錐面為錐面其中其中計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分 hhzzz