高等代數(shù)(第三版)9.1

1、12 2 標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基3 3 同構(gòu)同構(gòu)4 4 正交變換正交變換1 1 定義與基本性質(zhì)定義與基本性質(zhì)小結(jié)與習(xí)題小結(jié)與習(xí)題6 6 對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形5 5 子空間子空間7 7 向量到子空間的距離向量到子空間的距離最小二乘法最小二乘法一、歐氏空間的定義一、歐氏空間的定義二、歐氏空間中向量的長度二、歐氏空間中向量的長度三、歐氏空間中向量的夾角三、歐氏空間中向量的夾角四、四、n維歐氏空間中內(nèi)積的矩陣表示維歐氏空間中內(nèi)積的矩陣表示五、歐氏子空間五、歐氏子空間3問題的引入：問題的引入：性質(zhì)性質(zhì)(如長度、夾角如長度、夾角)等在一般線性空間中沒有涉及等在一般線性空間中沒有涉及.其具體模型為

2、幾何空間其具體模型為幾何空間 、23,RR 1、線性空間中，向量之間的基本運(yùn)算為線性運(yùn)算，、線性空間中，向量之間的基本運(yùn)算為線性運(yùn)算，但幾何空間的度量但幾何空間的度量 長度：長度：都可以通過內(nèi)積反映出來：都可以通過內(nèi)積反映出來：,cos, 夾角夾角：2、在解析幾何中，向量的長度，夾角等度量性質(zhì)、在解析幾何中，向量的長度，夾角等度量性質(zhì)3、幾何空間中向量的內(nèi)積具有比較明顯的代數(shù)性質(zhì)、幾何空間中向量的內(nèi)積具有比較明顯的代數(shù)性質(zhì).4滿足性質(zhì)：滿足性質(zhì)：,VkR 1 ( ,)( , ) 2(,)( ,)kk 3(, ),( , ) 4( , )0, 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時時0 ( , )0. 一、一、歐

3、氏空間的定義歐氏空間的定義1. 1. 定義定義設(shè)設(shè)V是實(shí)數(shù)域是實(shí)數(shù)域 R上的線性空間，對上的線性空間，對V中任意兩個向量中任意兩個向量、定義一個二元實(shí)函數(shù)，記作、定義一個二元實(shí)函數(shù)，記作 ，若，若,( ,) ( ,) （對稱性）（對稱性）（數(shù)乘）（數(shù)乘）（可加性）（可加性）（正定性）（正定性）5 V為實(shí)數(shù)域?yàn)閷?shí)數(shù)域 R上的線性空間上的線性空間; V除向量的線性運(yùn)算外，還有除向量的線性運(yùn)算外，還有“內(nèi)積內(nèi)積”運(yùn)算運(yùn)算;( ,).R 歐氏空間歐氏空間 V是特殊的線性空間是特殊的線性空間則稱則稱 為為 和和 的的內(nèi)積內(nèi)積，并稱這種定義了內(nèi)積的，并稱這種定義了內(nèi)積的( ,) 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 R上的線性空

4、間上的線性空間V為為歐氏空間歐氏空間.注注：6例例1在在 中，對于向量中，對于向量 nR 1212,nna aab bb所以所以 為內(nèi)積為內(nèi)積.( ,) 當(dāng)當(dāng) 時，時，1）即為幾何空間）即為幾何空間 中內(nèi)積在直角中內(nèi)積在直角3n 3R 坐標(biāo)系下的表達(dá)式坐標(biāo)系下的表達(dá)式 . 即即( ,). 這樣這樣 對于內(nèi)積就成為一個歐氏空間對于內(nèi)積就成為一個歐氏空間.nR( ,) 易證易證 滿足定義中的性質(zhì)滿足定義中的性質(zhì).( ,) 141）定義）定義 1 12 2( ,)n na ba ba b （1） 72）定義）定義 1 12 2( ,)2kkn na ba bka bna b 所以所以 也為內(nèi)積也為內(nèi)

5、積.( ,) 從而從而 對于內(nèi)積也構(gòu)成一個歐氏空間對于內(nèi)積也構(gòu)成一個歐氏空間.nR( ,) 由于對由于對 未必有未必有,V ( ,)( ,) 注意：注意：所以所以1），），2）是兩種不同的內(nèi)積）是兩種不同的內(nèi)積.從而從而 對于這兩種內(nèi)積就構(gòu)成了不同的歐氏空間對于這兩種內(nèi)積就構(gòu)成了不同的歐氏空間.nR易證易證 滿足定義中的性質(zhì)滿足定義中的性質(zhì).( ,) 148例例2 為閉區(qū)間為閉區(qū)間 上的所有實(shí)連續(xù)函數(shù)上的所有實(shí)連續(xù)函數(shù)( , )C a b , a b所成線性空間，對于函數(shù)所成線性空間，對于函數(shù) ，定義，定義( ),( )f xg x(, )( ) ( )baf gf x g x dx （2）

6、則則 對于（對于（2）作成一個歐氏空間）作成一個歐氏空間.( , )C a b證：證： ( ),( ), ( )( , ),f xg xh xC a bkR1 .(, )( ) ( )( ) ( )( ,)bbaaf gf x g x dxg x f x dxg f 2 .(, )( ) ( )( ) ( )bbaak f gk f x g x dxkf x g x dx (, )k f g 9 3 . (, )( )( )( )bafg hf xg xh x dx ( ) ( )( ) ( )bbaaf x h x dxg x h x dx(, )( , )f hg h24 . (,)( )

7、baf ffx dx 2( )0,fx (,)0.f f且若且若( )0,f x 則則2( )0,fx 從而從而 (,)0.f f 故故 (,)0( )0.f ff x因此，因此， 為內(nèi)積，為內(nèi)積， 為歐氏空間為歐氏空間.(, )f g( , )C a b10 21)( ,)( ,),( ,)kkkkk 2)( ,)( ,)( , ) 推廣：推廣： 11( ,)( ,)ssiiii 3)(0,)0 2. 2. 內(nèi)積的簡單性質(zhì)內(nèi)積的簡單性質(zhì),VkR V為歐氏空間，為歐氏空間，112) 歐氏空間歐氏空間V中，中，,( , )0V 使得使得 有意義有意義. 二、二、歐氏空間中向量的長度歐氏空間中向量

8、的長度1. 1. 引入長度概念的可能性引入長度概念的可能性1）在）在 向量的長度（模）向量的長度（模） . 3R 2. 2. 向量長度的定義向量長度的定義,( , )V 稱為向量稱為向量 的的長度長度. 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) 時，稱時，稱 為為單位向量單位向量. 1 121)0;003. 3. 向量長度的簡單性質(zhì)向量長度的簡單性質(zhì)3）非零向量）非零向量 的單位化：的單位化： 1. 2)kk （3） 131）在）在 中向量中向量 與與 的夾角的夾角 3R 2）在一般歐氏空間中推廣（）在一般歐氏空間中推廣（4 4）的形式，首先）的形式，首先三、三、歐氏空間中向量的夾角歐氏空間中向量的夾角1. 1.

9、 引入夾角概念的可能性與困難引入夾角概念的可能性與困難應(yīng)證明不等式：應(yīng)證明不等式： ( ,)1 此即此即,cosarc （4） 14對歐氏空間對歐氏空間V中任意兩個向量中任意兩個向量 ，有，有 、( ,) （5） 2. 2. 柯西布涅柯夫斯基不等式柯西布涅柯夫斯基不等式當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 線性相關(guān)時等號成立線性相關(guān)時等號成立.、證：當(dāng)證：當(dāng) 時，時， 0 ( ,0)0,0結(jié)論成立結(jié)論成立.( ,)0. 當(dāng)當(dāng) 時，作向量時，作向量 0 ,ttR15由內(nèi)積的正定性，對由內(nèi)積的正定性，對 ，皆有，皆有 tR ( , )(,)tt 2( , )2( ,)( ,)0tt （6） 取取 代入（代入（6）式，

10、得）式，得( ,)( ,)t 22( ,)( ,)( , )2( ,)( ,)0( ,)( ,) 即即 2( ,)( , )( ,) 兩邊開方，即得兩邊開方，即得 ,. 16當(dāng)當(dāng) 線性相關(guān)時，不妨設(shè)線性相關(guān)時，不妨設(shè) 、k 于是，于是， 2( ,)(,)( ,).kkk 2kk ( ,). (5)式等號成立式等號成立. 反之，若（反之，若（5）式等號成立，由以上證明過程知）式等號成立，由以上證明過程知 或者或者 ，或者，或者 0 ,0, 也即也即 線性相關(guān)線性相關(guān).、171 12 2n na ba ba b,1,2, .iiabRin3. 3. 柯西布涅柯夫斯基不等式的應(yīng)用柯西布涅柯夫斯基不等

11、式的應(yīng)用柯西柯西不等式不等式2222221212nnaaabbb（7）1）1822( ) ( )( )( )bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx 施瓦茲施瓦茲不等式不等式( ), ( )( ) ( )baf xg xf x g x dx 由柯西布涅柯夫斯基不等式有由柯西布涅柯夫斯基不等式有( ( ), ( )( )( )f xg xf xg x 從而得證從而得證.證：在證：在 中，中， 與與 的內(nèi)積定義為的內(nèi)積定義為 ( , )C a b( )( )f xg x2）19（7） 證：證： 2(,) ( , )2( ,)( ,) 2222 兩邊開方，即得（兩邊開方，即得（7）成立）

12、成立.對歐氏空間中的任意兩個向量對歐氏空間中的任意兩個向量 有有,、3）三角三角不等式不等式20設(shè)設(shè)V為歐氏空間，為歐氏空間， 為為V中任意兩非零中任意兩非零、向量，向量， 的的夾角夾角定義為定義為 、4. 4. 歐氏空間中兩非零向量的夾角歐氏空間中兩非零向量的夾角定義定義1：( ,),cosarc 0, 21 零向量與任意向量正交零向量與任意向量正交.注：注： 即即 .,2 cos,0 設(shè)設(shè) 為歐氏空間中兩個向量，若內(nèi)積為歐氏空間中兩個向量，若內(nèi)積 、 ,0 則稱則稱 與與 正交正交或或互相垂直互相垂直，記作，記作 . 定義定義2：225. 5. 勾股定理勾股定理設(shè)設(shè)V為歐氏空間，為歐氏空間

13、，,V 222證：證： 2, ,2, 222( ,)0 . 23若歐氏空間若歐氏空間V中向量中向量 兩兩正交，兩兩正交，12,m 推廣：推廣：則則 22221212.mm證：若證：若 (,)0,ijij 則則 21211(,)mmmijij1(,)(,)mmiiijiij 222121(,)miimi (,)0,1,2,ijiji jm 即即24例例3、已知、已知 2,1,3,2 ,1,2, 2,1在通常的內(nèi)積定義下，求在通常的內(nèi)積定義下，求,( ,),. 解：解： 2222,2132183 2 ( ,)2 11 2322 10 ,2 又又 1, 1,5,1 22221151282 7 通常稱

14、為與的距離，記作通常稱為與的距離，記作 ( ,).d 25設(shè)設(shè)V為歐氏空間，為歐氏空間， 為為V的一組基，對的一組基，對V中中12,n 任意兩個向量任意兩個向量四、四、n維維歐氏空間中內(nèi)積的矩陣表示歐氏空間中內(nèi)積的矩陣表示1 122nnxxx1 122nnyyy令令(,),1,2,.ijijai jn 1111( ,)(,)(,)nnnniijjijijijijxyx y （8）26定義定義：矩陣：矩陣 111212122212(,) (,)(,)(,),(,)(,) (,)(,)nnnnnnA 稱為基稱為基 的的度量矩陣度量矩陣.12,n 1122,ijn nnnxyxyAaXYxy （9）則則 11( ,)nnijijija x yX AY （10）27 度量矩陣度量矩陣A是實(shí)對稱矩陣是實(shí)對稱矩陣. 由內(nèi)積的正定性，度量矩陣由內(nèi)積的正定性，度量矩陣A還是正定矩陣還是正定矩陣. 注：注：事實(shí)