241平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義(用)

1、平面向量的數(shù)量積的物理背景平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義及其含義向量的夾角向量的夾角 兩個非零向量兩個非零向量a 和和b ，作，作 ， ，則，則 叫做向量叫做向量a 和和b 的夾角的夾角aoa bob aob)1800( oabab oabba若若 ，a 與與b 同向同向0 oabba若若 ，a 與與b 反向反向180 oabab 若若 ，a 與與b 垂直，垂直，90 ba 記作記作0.:,兩兩向向量量的的夾夾角角定定義義 兩兩向向量量必必須須是是同同起起點點的的 范范圍圍是是注注意意復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧問題：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個一問題：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到

2、兩個一般向量，其結(jié)果又該如何表述？般向量，其結(jié)果又該如何表述？兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。cossfw| a|bcosba功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；平面向量的數(shù)量積的定義平面向量的數(shù)量積的定義說明：說明： 已知兩個已知兩個非零非零向量向量a 和和b ，它們的夾角為，它們的夾角為 ，我們把，我們把數(shù)量數(shù)量 叫做叫做a 與與b 的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a b ，即，即 cos|ba cos|baba （2） a b中間的中間的“ ”在向量的運算中不能省略，也不能在向量的運算中不能省略，

3、也不能寫寫 成成ab ，ab 表示向量的另一種運算（外積）表示向量的另一種運算（外積）規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即即 00a（1）問題問題3 3：向量的數(shù)量積運算與實數(shù)同向量積的線性運算的向量的數(shù)量積運算與實數(shù)同向量積的線性運算的結(jié)果有什么不同？結(jié)果有什么不同？實數(shù)同向量積的實數(shù)同向量積的線性運算的結(jié)果是線性運算的結(jié)果是向量向量兩向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，是一個兩向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，是一個數(shù)量數(shù)量問題問題4：影響數(shù)量積大小的因素有哪些？：影響數(shù)量積大小的因素有哪些？a b|a |b |cos這個數(shù)值的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。這個

4、數(shù)值的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。夾角夾角 的范圍的范圍 900 9018090的正負ba正正負負0數(shù)量積符號由數(shù)量積符號由cos 的符號所決定的符號所決定平面向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)平面向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)問題問題5 5：設(shè)：設(shè)a與與b都是非零向量，若都是非零向量，若ab，則，則ab等于多少？等于多少？反之成立嗎？反之成立嗎？ ab ab0問題問題6 6：當(dāng)：當(dāng)a與與b同向時，同向時，ab等于什么？當(dāng)?shù)扔谑裁矗慨?dāng)a與與b反向時，反向時，ab等于什么？特別地，等于什么？特別地，aa等于什么？等于什么？ 當(dāng)當(dāng)a與與b同向時，同向時，abab；當(dāng)當(dāng)a與與b反向時，反向時，abab

5、；aaa2a2或或a .aa問題問題7 7：ab與與ab的大小關(guān)系如何？為什么的大小關(guān)系如何？為什么？ abab 問題問題8：對于向量：對于向量a，b，如何求它們的夾角，如何求它們的夾角？ . cosbaba 12, 9, 54 2,.ababab 例：已知求與的夾角212abaa bb 例：已知 ， 滿足：=9，求的取值范圍。（）（）a b | a | | b |.（）（）ab a b=0 .(判斷兩向量垂直的依據(jù)判斷兩向量垂直的依據(jù))|.2或a aaaa a特別地，特別地，（）當(dāng)（）當(dāng)a與與b同向時，同向時，ab | a | | b |；當(dāng)當(dāng)a與與b反向時，反向時，ab | a | | b

6、 |.cos.a bab（）（）平面向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)平面向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)設(shè)向量設(shè)向量a、b為兩非零向量，為兩非零向量，e是與是與b同向的單位向量：同向的單位向量： 例例1 . 1 . 已知已知，當(dāng)，當(dāng)，與與的夾角是的夾角是6060時，分別求時，分別求. .解：當(dāng)時，若與同向，則它們的夾角，cos036118；若與反向，則它們的夾角180，cos18036（-1）18；當(dāng)時，它們的夾角90，；當(dāng)與的夾角是60時，有cos6036219,00abcaba acba ba babc 1 1、已已知知中中，當(dāng)當(dāng)或或時時，試試判判斷斷的的形形狀狀。練習(xí):,0abcaba bcba babc

7、變變式式：已已知知中中，當(dāng)當(dāng)時時，試試判判斷斷的的形形狀狀。平面向量數(shù)量積的幾何意義平面向量數(shù)量積的幾何意義向量向量a在在b方向上的投影方向上的投影是什么？是什么？ 投影一定是正數(shù)嗎？投影一定是正數(shù)嗎？| b | cos叫向量叫向量b 在在a 方向上的方向上的投影投影bobaoa ，作作，過點，過點b作作1bb垂直于直線垂直于直線oa，垂足為，垂足為 ，則，則1b 1ob| b | cosoabab 1bacosc說明：說明：（2）投影也是一個數(shù)量，不是向量。）投影也是一個數(shù)量，不是向量。（1）oabab 1bboaab 1boabab )(1b為銳角時，為銳角時，| b | cos0為鈍角時

8、，為鈍角時，| b | cos0為直角時，為直角時，| b | cos=0當(dāng)當(dāng) = 0 時投影為時投影為|b|當(dāng)當(dāng) = 180 時投影為時投影為-|b|.問題問題4 4：根據(jù)投影的概念，數(shù)量積：根據(jù)投影的概念，數(shù)量積ab=a| |bcos的幾何意義是什么？的幾何意義是什么？ 數(shù)量積數(shù)量積ab等于等于a的模與的模與b在在a方向上的方向上的投影投影bcos的乘積，或等于的乘積，或等于b的模與的模與a在在b方向上的投影方向上的投影acos的乘積的乘積. .上的投影為在時）當(dāng)（上的投影為在時）當(dāng)（上的投影為在時）當(dāng)（上的投影為在時）當(dāng)（夾角為與若abbababababa0000120412039023

9、01,8| ,4|32024練一練：練一練：類比實數(shù)的乘法運算律：()()()a bb aab ca bcabca ba c 交換律：結(jié)合律：分配律：數(shù)量積的運算律：數(shù)量積的運算律：關(guān)于向量的數(shù)量積運算：關(guān)于向量的數(shù)量積運算：平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積運算律運算律數(shù)量積運算不滿足乘法結(jié)合律。數(shù)量積運算不滿足乘法結(jié)合律。交換律：交換律： abba分配律：分配律：cbcacba )( 思考： ab與ba相等嗎？為什么？ 思考：對于非零向量a，b，c，(ab)c表示什么意義？(ab)c與a(bc)相等嗎？為什么？思考：對于向量a，b，c，(ab)c表示什么意義？它與acbc相等嗎？為什么？問題

10、問題: : 我們學(xué)過了實數(shù)乘法的哪些運算律？這些我們學(xué)過了實數(shù)乘法的哪些運算律？這些 運算運算律對向量是否也適用？律對向量是否也適用？ 數(shù)乘結(jié)合律：數(shù)乘結(jié)合律：(a)b(ab)a(b)12 1a1baboabcc2b1| |cos|cosobobab 11| |cosoaa1122| | |cosababb 如圖可知：如圖可知：111112| |cos|cos|cosoboaababab 12|cos|cos|coscabcac b()abca cb c ()abca cb c ()cabc ac b 判斷下列命題或等式的正確與否判斷下列命題或等式的正確與否若若b0b0，abab=0=0，則，

11、則a=0a=0若若ab = bc ，(b0)，則，則a=c（a b）c=a（b c）a b0 b0 若若，a0那那么么a bb c b0ac 若若（），那那么么a b ca b c （）（）錯誤錯誤錯誤錯誤錯誤錯誤 3646023. abababab 例例 、已已知知， 與與 的的夾夾角角為為，求求 222222 (1) 2(2) ababaabbababab 例例 、 對對 任任 意意 向向 量量，是是 否否 有有 以以 下下 結(jié)結(jié) 論論 ：4 34ababkakbakb 例例 、已已知知， 與與 不不共共線線， 為為何何值值時時，向向量量與與互互相相垂垂直直？利用平面向量數(shù)量積求解利用平面

12、向量數(shù)量積求解長度長度問題問題|aa a 1(2008)12,3,abababab 例例上上海海 : :已已知知，向向量量 與與 的的夾夾角角為為，求求變式：變式：32,13ababababab 若若，求求: :( (1 1) )( (2 2) )與與的的夾夾角角的的余余弦弦值值. .(2008)13,1205ababab 練練習(xí)習(xí)江江蘇蘇 : : 已已知知，向向量量 與與 的的夾夾角角為為，求求利用平面向量數(shù)量積求解利用平面向量數(shù)量積求解夾角夾角問題問題|cosbaba 32,23,abamn bnmab 變變 式式 ： 若若 兩兩 個個 單單 位位 向向 量量與與 的的 夾夾 角角 為為，

13、求求與與 的的 夾夾 角角 例：例： 已知已知a、b都是非零向量，且都是非零向量，且a + 3b與與7a 5b垂直，垂直，a 4b與與7a 2b垂直，求垂直，求a與與b的夾角的夾角(2007)21,1b.abaaba 練練習(xí)習(xí)：上上海海 : : 已已知知，（）求求 ，354,3k2kabababab : :已已知知，向向量量 與與 的的夾夾角角為為，如如果果（）（）, ,求求實實數(shù)數(shù) 的的值值. .6332baababab 4 4: :已已知知，向向量量 與與 的的夾夾角角為為，且且（） （）= =- -7 72 2, ,求求. .一一.辨析辨析1 1若若a = =0，則對任一向量，則對任一向

14、量b ，有，有a b= =02 2若若a 0，則對任一非零向量，則對任一非零向量b ,有有a b03 3若若a 00，a b = =0，則，則b= =0. 4 4若若a b= =0，則，則a, ,b中至少有一個為中至少有一個為0. 對任意向量對任意向量 a 有有.(a a 常記作常記作a2)22aacbcabaa則，若,0.6練習(xí):小結(jié)小結(jié)1. 向量的數(shù)量積是一種向量的乘法運算，它與向量的加向量的數(shù)量積是一種向量的乘法運算，它與向量的加法、減法、數(shù)乘運算一樣，也有明顯的物理背景和幾何法、減法、數(shù)乘運算一樣，也有明顯的物理背景和幾何意義，同時還有一系列的運算性質(zhì)，但與向量的線性運意義，同時還有一

15、系列的運算性質(zhì)，但與向量的線性運算不同的是，數(shù)量積的運算結(jié)果是算不同的是，數(shù)量積的運算結(jié)果是數(shù)量數(shù)量而不是向量而不是向量. 2. 實數(shù)的運算性質(zhì)與向量的實數(shù)的運算性質(zhì)與向量的運算性質(zhì)運算性質(zhì)不不完全一致，應(yīng)用完全一致，應(yīng)用時不要似是而非時不要似是而非. 3. 常用常用a 求向量的求向量的模模.常用求向量的常用求向量的夾角夾角.a a2.4.1 平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義cosa bab一、平面向量數(shù)量積的定義一、平面向量數(shù)量積的定義:已知兩個非零向量已知兩個非零向量 和和 ，它們的夾角為，它們的夾角為 ,我們把數(shù)量我們把數(shù)量 叫做叫做 與與 的的數(shù)量積

16、數(shù)量積(或或內(nèi)積內(nèi)積),記作記作 .abbacosbaabcosbaba規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為000 a 向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候為正，什么時候為負？它什么時候為正，什么時候為負？當(dāng)當(dāng)090時時 ab 0當(dāng)當(dāng)90180時時 ab 0當(dāng)當(dāng) =90時時 ab = 0cosbaba二、投影二、投影:b1oabba a1oabba cosacosb 叫做向量叫做向量 在在 方向上方向上(向量向量 在在 方向上方向上)的的投影投影.ba)cos(cosbaba 向量向量 在方向在方向 上的上的投影投影是數(shù)量是數(shù)量,不是向

17、量不是向量,什么時候為正，什么時候為負？什么時候為正，什么時候為負？cosbbaoabab 1boabab )(1bboaab 1boabbaoabba0cosb0cosb0cosbbbcosbbcoscos.a baabab 數(shù)量積等于 的長度與 在 的方向上的投影數(shù)量的乘積abbao三、平面向量數(shù)量積的幾何意義三、平面向量數(shù)量積的幾何意義:cos|bcosbaba四、平面向量數(shù)量積的運算率四、平面向量數(shù)量積的運算率:(1)交換律交換律：(2)數(shù)乘結(jié)合律數(shù)乘結(jié)合律： (3)分配律分配律： abba)()()(bababacbcacba )(數(shù)量積不滿足數(shù)量積不滿足結(jié)合律結(jié)合律和和消去率消去率

18、)()(cbacbabacbca221.a aaa2224.2abaa bb 222. ababab 3. abcda ca db cb d 金榜112.7.8.9平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì):設(shè)設(shè)ba、是非零向量，是非零向量，be是與方向相同的方向相同的 單位向量，單位向量， ea與是的夾角，則的夾角，則: cos1aaeea 02baba判斷兩個向量判斷兩個向量垂直垂直的依據(jù)的依據(jù)同向時與當(dāng)baba|,|反向時與當(dāng)baba|,| ba/3ba2aaaa或 224aaaa求向量求向量模模的依據(jù)的依據(jù) baba cos5求向量求向量夾角夾角的依據(jù)的依據(jù) baba6平面向量數(shù)

19、量積的重要性質(zhì)平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì):00180,0已知已知 ，你能得出，你能得出 的坐標(biāo)嗎？的坐標(biāo)嗎？),(),(2211yxbyxa ba 22222,).,() 1 (yxayxayxa 則則若若2121yyxxba 0).,(),()2(21212211 yyxxbayxbyxa，設(shè)設(shè)結(jié)論結(jié)論212121212211,cos).,(),()3(yxyxyyxxbababayxbyxa ，設(shè)設(shè)自學(xué)例5，例6解：）（）（babak202）（）（babak021222bbakak）（0260cos1222bbakako）（042214512252）（ kk1514k垂垂直直。與與時時，向向量量當(dāng)當(dāng)babakk21514 一、利用向量的垂直解題一、利用向量的垂直解題:54602oaba bkka b ab例3、已知， 與 的夾角為，問當(dāng) 為何值時，向量與垂直？例例1:22225ababaa bb 222225,25aabb 解：因為25c