數(shù)列的概念與簡單表示法

1、第六章 數(shù) 列6 .1 數(shù)列的概念與簡單表示法考點梳理1數(shù)列的概念(1) 定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列， 數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù) 列的 數(shù)列中的每一項都和它的序號有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第 1 項 (通 常也叫做) ，排在第 n 位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第 n 項所以，數(shù)列的一般形式可以寫成 ，其中an是數(shù)列的第n項，叫做數(shù)列的通項常把一般形式的數(shù)列簡記作an通項公式：如果數(shù)列an的 與序號 之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式(3) 從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集1，2，3，?，n)的函數(shù)(離散的)，

2、當(dāng)自變量從小到大依次取值時所對應(yīng)的一列(4) 數(shù)列的遞推公式：如果數(shù)列的第 1 項 (或 前幾項 )，且從第二項 (或某一項 )開始的任一項 與它的前一項 (或前幾項 )間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式(5) 數(shù)列的表示方法有 、 、 、 .2數(shù)列的分類(1) 數(shù)列按項數(shù)是有限還是無限來分，分為 、 .(2) 按項的增減規(guī)律分為 _ 、 、 和 遞增數(shù)列？ an + 1 an ；遞減數(shù)列？ an+ 1 an；常數(shù)列？ an + 1 a n.遞增數(shù)列與遞減數(shù)列統(tǒng)n= 1)n > 2)Sn與an的關(guān)系稱為 Sn，那么an =3數(shù)列前 n 項和自查自糾：1 (

3、1)項 首項 a1，a2，a3 ， ？ ，an，(2) 第 n 項 n (3) 函數(shù)值 (4)an an1(5) 通項公式法 (解析式法 ) 列表法 圖象法 遞推公式法 2 (1) 有窮數(shù)列 無窮數(shù)列 遞增數(shù)列遞減數(shù)列擺動數(shù)列常數(shù)列 > <=單調(diào)數(shù)列3 S1 Sn Sn 1典型例題講練類型一 數(shù)列的通項公式例題1根據(jù)下面各數(shù)列前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式:-1 , 7,13 , 19 ,2 4 6 8 10(2) 3 ,115 35 6399(3) 2，229252, , 8,(4)5 , 55 , 555 , 5 555 , ?.解：偶數(shù)項為正，奇數(shù)項為負(fù)，故通項公式正負(fù)性

4、可用 的絕(-1)n調(diào)節(jié)，觀察各項對值，后一項的絕對值總比它前一項的絕對值大 列的一個通項公式為6，故數(shù)1)n(6n 5).這是一個分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為1 X 3 ,X 5 ,5X 7 ,7X 9, 9 X 11 ,?，每一項都是兩個相鄰奇數(shù)的乘積故數(shù)列的一個通項公式為an =1解：(1)an= (- 1)n n；(2) an= 2n+ 1 ；5(3) 由于一1 = - 5，故分母為 3, 5 , 7, 9 , 11 , ?，即2 n + 1，分子為 2, 5 ,10 , 17 ,26 ,?，即 n2+ 1 符號看作各項依次乘1 , - 1 , 1 , - 1 , ?，

5、即(-n2 + 1n + 133 , ?；17 269112n + 1(2)3 ,5,9, 17 ,-1,170,(3)3,(4)1 , 2, 2 , 4 , 3 , 8, 4 , 16 ,1)n+1，故 an =(-2, 2, 2,故數(shù)列的一個通項公式為an =2.4 觀 察 數(shù) 列 an 可 知 ， 奇 數(shù) 項 成 等 差 數(shù) 列 ， 偶 數(shù) 項 成 等 比數(shù)列，二 an = n + 12 n 為奇數(shù) ，n22n 為偶數(shù) .類型二由前 n 項和公式求通項公式例題2 (1)假設(shè)數(shù)列an的前n項和Sn =n2 10n ，那么此數(shù)列的通項公式為an(2)假設(shè)數(shù)列an的前n項和Sn= 2n + 1

6、，那么此數(shù)列的通項公式為an =解：(1)當(dāng) n=1 時，a1= S1= 1 10 = 9；當(dāng)n > 2時，an=SnSn1=n210n(n 1)210(n1)=2n11.當(dāng) n = 1 時，2 X 1 11 = 9 = ai. an = 2n 11.故填 2n 11.(2)當(dāng) n = 1 時，a1 = S1 = 21 + 1 = 3 ;當(dāng)n > 2時，an=SnSn1=(2n1)(2n 11)2n2nn3(n=1)，綜上有 an=2n1 ( n > 2)3(n=1)，2n 1 ( n > 2 )變式2以下數(shù)列an的前n項和Sn,分別求它們的通項公式an.(1)Sn=2

7、n23n；(2) Sn= 3nb.1)解"a1 = S1 = 2 3 = 1，當(dāng) n?2 時，an = Sn Sn 1 = (2n2 3n) 2 ( n23(n1)=4n 5，a1也適合此等式，二 an = 4n 5.(2)a1=S1=3 b，a13n1；當(dāng) n > 2 時，an=Sn Sn 1 =(3n + b) (3n1 + b)= 2 3n1.當(dāng)b = 1 時，適合此等式. 當(dāng)b工一1時，a1不適合此等式.當(dāng)b = 1時，an = 2 3 + b , n = 1 ,當(dāng) b 工 一 1 時，an = 2 3n1, n$ 2.類型三由遞推公式求通項公式例題 3 寫出下面各數(shù)列

8、 an 的通項公式 (1)a1=2，an1=ann 1；n 2(2)a1 =1，前 n 項和 Sn= 3 an；(3) ai = 1 , an, = 3an + 2.(a3解： (1)由題意得，當(dāng) n?2 時，an an i = n, 二 an = ai+ (a2 ai) +2 +ai = 2(1 + 1 ) +2 +式，n 1 )( 2+ n)21，適合上n (n + 1)2+ 1.a2) + ?+(an -一 an 1 )n (n + 1)因此 an 2+1.(2)由題設(shè)知，a1 1當(dāng)n A 2時，n +2n + 1an Sn Sn 1 3 an 3 anan 1 n -1ann + 1a

9、n 1n 1a45a34 a2以上n-1個式子的等號兩端分別相乘，an n ( n + 1)a1 =2a3 3 , a2 2 ,=3n (n + 1) an 2(3)解法一(累乘法)(an +1),即a2+ 1a3 +1a4 +1 = 3,3,=3,a1 + 1a2 +1a3 +1 an+ 1an+ 1 +a1 + 11an + 1 +1,=3.又 T a1 1 ,an + 1 +1 an +1 = 3a n +=3,an + 1將這些等式兩邊分別相乘得得 an + 1 + 1 3n.an n + 1an+ 1 + 1/a1 1 , 3n,1 + 1即 an +1 2X 3n 1( n >

10、; 1) , an = 2 X 3n1 1. an 2 X 3n 1 1 (n > 2),又a1 1也適合上式, 故數(shù)列 an的一個通項公式為 解法二：(迭代法)an+ 1 3an +2 ,即 an +1 + 1 3 (an + 1) 32 (an 1 + 1)33 ( an 2 + 1)? 3n (a1 + 1) 2 X 3n (nA 1), an 2 X 3n 1 1 (n >2),又ai = 1也滿足上式，故數(shù)列 an的一個通項公式為an = 2 X 3n-1-1.變式3寫出下面各遞推公式表示的數(shù)列 an的通項公式.(1)a1=2,1(2)a1=1,an+= 2陽門；(3)a

11、1=1,an = 2a n+ 1.解：(1)當(dāng) n > 2 時，an an -111 =n ,n(7n 1) n 11 1 n >2 時，an = (an - an1)+(an1 an-2)?+(a2 a1) + a1 = n-1 n +1 11 1 ° 2 ° 1 ?2 3 + 1 2 + 2 = 3 n1.1 當(dāng)n = 1時，適合.故an = 3 n1.ana+1 = 2n ,. aa2 = 21 , aa3 = 22 ,? an = 2n 1 , -an 1n 1個等式疊乘，?21 + 2+ - +n ( n 1)(n_ i)= 2 2n( n 1)2aa

12、ni(3)由題意知 an +1 + 1 = 2 (an + 1),數(shù)列an+ 2為首項，2為公比的等比數(shù)n ( n 1)當(dāng)n = 1時，適合.故an= 2列，1是以an + 1 = 2n, an = 2n 1.類型四數(shù)列通項的性質(zhì)10例題4數(shù)列an，且an= (n + 1)11(n N*)求數(shù)列 an的最大項.n解：因為an= (n + 1) 1101是積冪形式的式子且an>0，所以可用作商法比擬an與an1的大小.解：令 an > 1(n >2),an 1n10(n + 1) 11n 110 n 111n < 10.n1011n +n+ 1 11刀/曰 整理得10,1

13、解得(n +1)11 即令 an > 1,an + 11> 1,10 n + 1(n + 2) 11整理得n+1> 1ii0,解得n >9.n 2 11從第1項到第9項遞增，從第10項起1010故 = a10 = 119 最大變式4數(shù)列an的通項an= n2+ °90，那么數(shù)列 an中的最大項是()1 10B 19 C.19D. 601190，運用根本不等式得， n 11+ n192190，由于n N*，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n n + n12 90119最大應(yīng)選 C.=9 或 10 時，A 3 10an=解：易 nan=方法規(guī)律總列和其他方法來解決S1(n=1)，注意a

14、n = Sn Sn 1的條件是n A 2，還須驗證a1是否符 合合1數(shù)列的前幾項，求數(shù)列的通項公式，應(yīng)從以下幾方面考慮：(1) 如果符號正負(fù)相間，貝I符號可用 (一1)n或(一1)n+1來調(diào)節(jié).(2) 分式形式的數(shù)列，分子和分母分別找通項，并充分借助分子和分母的 關(guān)系來解決 (3)對于比擬復(fù)雜的通項公式，要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)an(n >2)，是=合并，否那么寫成分段形式.3遞推關(guān)系求通項掌握先由 a1 和遞推關(guān)系求出前幾項，再歸納、 猜測 法等(1)a1且an an-1 = f(n),可以用“累加法 得：an 的方法，以及“累加 法“累乘an = a1 + f(2) + f(3) +

15、 ? + f(n 1) + f(n).a1且an = f(n),可以用“累乘法得: an1,那么 an為遞增數(shù)列；假設(shè) an A an +1 ,那么 an 最大；假設(shè)11，2， 7，10，13，? 中，A第16 項B 第24項C第26 項解:觀第28項aA a ，2 19 是這個數(shù)列的 ( )察 a1= 1=1，a2= 2= 4，a3= 7，a4= 10， a5= 13， ? ，所以 anan = a1 f(2) f (3) ? f(n 1) f(n).上兩式均要求 f(n) 易求和或積 4數(shù)列的簡單性質(zhì) (1)單調(diào)性:假設(shè) an+1>an(3)最大值與最小值:假設(shè)課后練an+1<

16、an,那么an為遞減數(shù)列.人那么 an 為周期數(shù)列，k為an的一個an W an、, 那么 an 最小aWa ，3n 2.令 an = 3n 2 = 2 19 =76，得n = 26.應(yīng)選 C.遞減.2 數(shù)列an的前n項積為n2, _2 ( n + 1)2D.A . 2n 1 B . n2 C. n2n2(n 1) 2那么當(dāng)n > 2時，an (解：設(shè)數(shù)列an的前n項積為Tn, 那么D.3 .數(shù)列an滿足 an +1 + an 2n 3 , a1 2，那么 假設(shè)A . 7 B .6 C . 5 D . 4解：依題意得 (an + 2 + an +1 )Tn n2，當(dāng) n > 2 時

17、，Tnann 1)Tn 1/2應(yīng)選(an+ 1 + an )=(a8 a6) + (a6 a4) 2 +1,21,2,3數(shù)列an的前n數(shù)列l(wèi)a即中A 2+ lgn-2+ nlgnC解：B an lgn 1a8 a43 (2n 3)2 4.應(yīng)選D.B 123,4D 1,2,4項和Sn = 2an1,那么滿足an lga1 2an 111an + lg 1 + n ,2 ( n + 1),即anann < 2的正整數(shù)n那么an的值為()B . 2 + (n 1) lgn D .1 + nlgnn + 1(an an 1)+(an 1 an 2 ) + ?+(a2 a1) + a1 n的集合為

18、+ lg +n 2+ lg1 + 2-lg n n 1nn 1?3.22 1+ 2n 22 1解法二an + 1 an + lg(nan+ 1 -lg(n + 1)an -lg2 , an 2 +lgn.應(yīng)選A.1lgn + 2.+ 1) lgn ,n ,所以數(shù)列 an lg n是常數(shù)列，an lgn a1 lg16 .假設(shè)數(shù)列an滿足 a1 2 , an+1an an 1，貝U a2021 的值為 (1解：根據(jù)題意，1數(shù)列an滿足 a1 2, an + 1an =1 , a4 2 ,?，可知數(shù)列的周期為7.數(shù)列an滿足ast asat 解：令s-1-2,m a4 a2 X a2 4，令 s2

19、 ,.1 a2 1 , a3 an 1 ,/. an +1 21 3, l 2021 3 X 672 + 1a(s, t N*)，且 a2 那么t 4，貝U a8 a2勻a2 X a4 8.故填 8.8 .以下關(guān)于星星圖案的個數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，該數(shù)列的一個通項公式是anA . 1 B.2 C . 2 D . 3解：從題圖中可觀察星星的個數(shù)構(gòu)成規(guī)律，n = 1時，有1個；n = 2時，有3個；n = 3n (n + 1)時， 有 6 個；n = 4 時，有 10 個；？ , an = 1 + 2 + 3 + 4 + ?+ n =2 故填n(n1)9 假設(shè)數(shù)列an滿足1 - p = 0 , n N*, p為非零常數(shù)，那么稱數(shù)列 an為“夢想數(shù)列 已 an1 an1知正項數(shù)列 為“夢想數(shù)列，且 b1b2b3? boo = 299，貝Ib8+ b92的最小值是 _.bn解： 4依題意可得bn + 1 = pbn,那么數(shù)列bn為等比數(shù)列.又b1 b2b3? b99