2022年新意不斷亮點(diǎn)頻現(xiàn)高考數(shù)學(xué)函數(shù)題解析

1、o 0.11y（毫克）t（小時(shí)）新意不斷亮點(diǎn)頻現(xiàn)- 高考函數(shù)題賞析許曉進(jìn)共青團(tuán)安溪縣委員會(huì)362400 “以能力立意” 是新高考數(shù)學(xué)命題的指導(dǎo)思想高考在考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，不刻意追求知識(shí)的覆蓋面從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問(wèn)題，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的“交匯點(diǎn)”處設(shè)計(jì)試題，是 高考數(shù)學(xué)命題的一大亮點(diǎn)，而函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，許多知識(shí)都可與其建立聯(lián)系，從而圍繞這根紅線設(shè)計(jì)出了一大批內(nèi)涵豐富、立意新穎、表述脫俗、背景鮮活、設(shè)問(wèn)獨(dú)特的好試題下面分析函數(shù)試題的幾個(gè)新亮點(diǎn)亮點(diǎn) 1：以圖像和表格形式呈現(xiàn)函數(shù)問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)定義本質(zhì)的理解函數(shù)的表示形式主要有三

2、種形式，即表格、 圖像和解析式， 而表格和圖像兩種形式表達(dá)函數(shù)則較為直觀、形象， 這樣命題既考查考生對(duì)函數(shù)定義的理解，又考查考生的閱讀理解能力和分析、轉(zhuǎn)化、解決問(wèn)題的能力，似有“返璞歸真”之意，體現(xiàn)高考對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查力度和考查形式例 1（湖北文理）為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為116t ay（a為常數(shù)），如圖所示據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題：（i）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為；（ii）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方

3、米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么，藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過(guò)小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室解析 ： （i）由題意和圖示， 當(dāng)00.1t時(shí)，可設(shè)ykt（k為待定系數(shù)） ， 由于點(diǎn)(0.1,1)在直線上， 將其代入解得10k；同理，當(dāng)0.1t時(shí)，可得0.11110.101610aaa1101000.110.116tttyt為所求（ii ）由題意可得10.254y，即得110400.1tt或110111640.1tt1040t或0.6t，由題意至少需要經(jīng)過(guò)0.6小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室點(diǎn)評(píng) ：本題屬于閱讀理解型試題，主要考查正比例函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、分段函數(shù)的基本知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想

4、和待定系數(shù)的方法，考查考生的閱讀理解能力、識(shí)圖能力、 運(yùn)算能力和運(yùn)用函數(shù)思想解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的能力本題圖文并茂，形象直觀，以圖像呈現(xiàn)內(nèi)容，讓精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -考生從圖像當(dāng)中提煉出有用信息，并加以解決，避免知識(shí)單一化，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的整合例2（北京理）已知函數(shù)( )f x，( )g x分別由下表給出則 (1)f g的值為；滿足( )( )f g xg fx的x的值是解析 ： (1)f g=(3)1f；當(dāng) x=1 時(shí)，(1)1, (1)(1)3f gg fg，不滿足條件；當(dāng)

5、x=2 時(shí)，(2)(2)3, (2)(3)1f gfg fg，滿足條件；當(dāng) x=3 時(shí)，(3)(1)1, (3)(1)3f gfg fg，不滿足條件 只有 x=2 時(shí)，符合條件點(diǎn)評(píng) ：本題形式新穎、 靈活，以表格形式出現(xiàn)， 主要考查考生對(duì)圖表的識(shí)別和理解能力，考查函數(shù)的基本問(wèn)題，屬于送分題亮點(diǎn) 2：以立體幾何為載體考查函數(shù)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)間的“交匯融合”例 3（廣東理）如圖1 所示，等腰三角形abc 的底邊 ab=66，高 cd=3 ，點(diǎn) e 是線段 bd 上異于 b、 d 的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)f 在 bc 邊上，且efab ，現(xiàn)沿 ef 將 bef 折起到pef 的位置，使peae，記 bex，( )v

6、 x表示四棱錐p-acef 的體積（1）求( )v x的表達(dá)式；（2）當(dāng)x為何值時(shí)， v(x) 取得最大值？（3）當(dāng)( )v x取得最大值時(shí)，求異面直線ac 與 pf 所成角的余弦值圖 1 解析 ： （1）由折起的過(guò)程可知，pe平面 abc ，易得：9 6abcs，2265412befbdcxssx， v(x)=261(9)312xx（03 6x） （ 2）261( )(9)34vxx， 所以(0,6)x時(shí)，( )0v x， v(x) 單調(diào)遞增；636x時(shí)( )0v x，( )v x單調(diào)遞減；因此6x時(shí)，( )v x取得最大值126（ 3）過(guò) f 作 mf/ac 交 ad 與 m,則,2121

7、2bmbfbebembbeabbcbdab，pm=62，x1 2 3 ( )f x1 3 1 x1 2 3 ( )g x3 2 1 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -665494233 6mfbfpfbc，在 pfm 中，84721cos2427pfm，異面直線ac 與 pf 所成角的余弦值為17點(diǎn)評(píng) ：本題主要考查函數(shù)、函數(shù)極值、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、幾何體體積計(jì)算、空間兩異面直線所成角的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想以及空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力本題以立體幾何搭建平臺(tái)，

8、首先建立函數(shù)關(guān)系( )v x，是解決本題的關(guān)鍵，然后以導(dǎo)數(shù)作為工具求最值，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移和應(yīng)用，思維跨度比較大，但順利自然，貼切而又生動(dòng)，真正實(shí)現(xiàn)了知識(shí)之間的融合與交匯，考查了學(xué)生的綜合思維品質(zhì)和駕馭數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力另外，第（3）問(wèn)還可以用向量方法去解決，此處略例 4（湖南理）如圖2，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)p和居民區(qū)o的公路，點(diǎn)p所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為（090） ，且2sin5，點(diǎn)p到平面的距離0.4ph（km） 沿山腳原有一段筆直的公路ab可供利用從點(diǎn)o到山腳修路的造價(jià)為a萬(wàn)元 /km，原有公路改建費(fèi)用為2a萬(wàn)元 /km當(dāng)山坡上公路長(zhǎng)度為lk

9、m（12l）時(shí)，其造價(jià)為2(1)la萬(wàn)元已知oaab，pbab，1.5(km)ab，3(km)oa（i）在ab上求一點(diǎn)d，使沿折線pdao修建公路的總造價(jià)最?。唬╥i）對(duì)于（ i）中得到的點(diǎn)d，在da上求一點(diǎn)e，使沿折線pdeo修建公路的總造價(jià)最?。╥ii ）在ab上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)d，e，使沿折線pd e o修建公路的總造價(jià)小于（ ii）中得到的最小總造價(jià)，證明你的結(jié)論圖 2 解析 ：（i） 如圖 3，ph ，hb，pbab， 由三垂線定理逆定理知，abhb，所以pbh是山坡與所成二面角的平面角，則pbh，1sinphpb設(shè)(km)bdx，01.5x則2221pdxpbx12，a e d

10、 b h p 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -記總造價(jià)為1( )f x萬(wàn)元，據(jù)題設(shè)有2211111( )(1)(3)224fxpdadao axxa21433416xaa當(dāng)14x，即1(km)4bd時(shí)，總造價(jià)1( )fx最?。╥i）設(shè)(km)aey，504y，總造價(jià)為2( )fy萬(wàn)元，圖 3 根據(jù)題設(shè)有222131( )13224fypdyya2433216yyaa則22123yfyay，由2( )0fy，得1y當(dāng)(0 1)y，時(shí)，2( )0fy，2( )fy在(01)，內(nèi)是減函

11、數(shù)；當(dāng)514y，時(shí)，2( )0fy，2( )fy在514，內(nèi)是增函數(shù)故當(dāng)1y，即1ae（km）時(shí)總造價(jià)2( )fy最小，且最小總造價(jià)為6716a萬(wàn)元（iii ）解法 1：不存在這樣的點(diǎn)d，e事實(shí)上， 在ab上任取不同的兩點(diǎn)d，e為使總造價(jià)最小，e顯然不能位于d與b之間故可設(shè)e位于d與a之間， 且bd=1(km)x，1(km)aey，12302xy，總造價(jià)為s萬(wàn)元，則221111113224xysxya類似于（i） 、 （ii ）討論知，2111216xx，2113322yy，當(dāng)且僅當(dāng)114x，11y同時(shí)成立時(shí)，上述兩個(gè)不等式等號(hào)同時(shí)成立，此時(shí)1(km)4bd，1(km)ae，s取得最小值671

12、6a，點(diǎn)de，分別與點(diǎn)de，重合，所以不存在這樣的點(diǎn)de，使沿折線pd e o修建公路的總造價(jià)小于（ ii）中得到的最小總造價(jià)解法 2：同解法1得221111113224xysxya2221111111433334416xayyyyaa2211111432 3(3)(3)416yyyyaa6716aaoedbhp精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -當(dāng)且僅當(dāng)114x且2211113(3)(3)yyyy， 即11114xy，同時(shí)成立時(shí)，s取得最小值6716a，以上同解法1點(diǎn)評(píng) ：本題以實(shí)

13、際問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)，以立體幾何為背景和載體，主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)及用導(dǎo)數(shù)求極值的思想方法，考查應(yīng)用能力和計(jì)算能力這種命題形式打破了以往純立體幾何和純函數(shù)問(wèn)題命題的格局，使學(xué)生思考的方法和范圍超越了固有的思維空間，使問(wèn)題本身的綜合性得到進(jìn)一步加強(qiáng)，是一道具有較高區(qū)分度的試題，也為高校選拔優(yōu)秀人才提供了很好的素材 將函數(shù)問(wèn)題嵌入立體幾何問(wèn)題中，使問(wèn)題情景生動(dòng)而又別致新穎，使函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)提升到一個(gè)新的高度，真正體現(xiàn)了函數(shù)與其它知識(shí)“交匯”的新特點(diǎn)，這是未來(lái)高考對(duì)函數(shù)考查的一個(gè)新方向亮點(diǎn) 3：以解析幾何為背景考查函數(shù)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)間的縱向整合與碰撞例 5（北京理）如圖4，有一塊半橢圓形鋼板，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)

14、為2r，短半軸長(zhǎng)為r，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底ab是半橢圓的短軸，上底cd的端點(diǎn)在橢圓上，記2cdx，梯形面積為s（i）求面積s以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（ii ）求面積s的最大值圖 4 圖 5 解析 ： （i）依題意， 以ab的中點(diǎn)o為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系oxy（如圖 5） ，則點(diǎn)c的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)c的縱坐標(biāo)y滿足方程22221(0)4xyyrr，解得222(0)yrxxr，221(22 ) 22sxrrx222()xrrx，其定義域?yàn)? xxr（ii）記222( )4() () 0f xxrrxxr，則2( )8() (2 )fxxrrx令( )0fx，得12xr因

15、為當(dāng)02rx時(shí)，( )0fx；當(dāng)2rxr時(shí)，( )0fx，所 以12fr是( )f x的 最 大 值 因 此， 當(dāng)12xr時(shí) ，s也 取 得 最 大 值， 最 大 值 為213 322frr，即梯形面積s的最大值為23 32r點(diǎn)評(píng) ：本題是一道靚題，以解析幾何為原材料，考查函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查最值的求法， 將函數(shù)與解析幾何兩塊主體內(nèi)容有機(jī)地滲透和聯(lián)系在一起這種在交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)的試題， 注重內(nèi)容的聯(lián)系性和知識(shí)的綜合性，既能增加知識(shí)的考查點(diǎn)，又能從學(xué)科整體的4rcdab2rcdaboxy精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共

16、10 頁(yè) - - - - - - - - -高度和思維價(jià)值的高度考慮問(wèn)題，能對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)考查達(dá)到必要深度，可謂視角獨(dú)特、 回味無(wú)窮亮點(diǎn) 4：以函數(shù)為主線和出發(fā)點(diǎn)，考查函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)、二項(xiàng)式定理、組合數(shù)計(jì)算公式等多個(gè)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)知識(shí)大聚會(huì)例 6（四川理）設(shè)函數(shù)1( )1(,1,)nf xnnnxnn且()當(dāng) x=6 時(shí),求nn11的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；()對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,證明2)2()2(fxf( )( )( )fxfxf x是的導(dǎo)函數(shù)；()是否存在na,使得nankk111na) 1(恒成立 ?若存在 ,試證明你的結(jié)論并求出 a 的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解析 ： （） 利用二項(xiàng)展開式

17、的有關(guān)結(jié)論知，該展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4 項(xiàng)，這項(xiàng)是335631201cnn（） 證法 1：因22112211nfxfnn2211211nnn112 11nnn12 1nn112 1ln 12nn112 1ln 12nfxnn證法 2：因22112211nfxfnn2211211nnn112 11nnn，而1122 1ln 1nfxnn，故只需對(duì)11n和1ln 1n進(jìn)行比較令ln1g xxx x，有111xgxxx，由10 xx，得1x因?yàn)楫?dāng)01x時(shí)，0gx，g x單調(diào)遞減； 當(dāng)1x時(shí)，0gx，g x單調(diào)遞增，所以在1x處g x有極小值1故當(dāng)1x時(shí)，11g xg，從而有l(wèi)n1xx，亦即

18、ln1lnxxx，故有111ln 1nn恒成立精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -所以222fxffx，原不等式成立（）對(duì)mn，且1m，有2012111111mkmkmmmmmmcccccmmmmm211112 11111 12!kmm mm mmkm mmkmmm11112111121111112!kmmkmmmmmm111122!3!km111122 13 211k km m11111112122311kkmm133m又因102,3,4,kkmckmm，故1213mm1213mm

19、， 從 而 有11213knknnk成 立 ， 即 存 在2a， 使 得11213knknnk恒成立點(diǎn)評(píng) ：本題將函數(shù)、 不等式、 導(dǎo)數(shù)、二項(xiàng)式定理、 組合數(shù)計(jì)算公式等多個(gè)內(nèi)容融為一體，考查綜合推理論證與分析解決問(wèn)題的能力及創(chuàng)新意識(shí)本題打破“條件完備，結(jié)論明確” 的命題框架， 設(shè)計(jì)“條件不完備或結(jié)論不明確”的開放性試題，重在考查學(xué)生的思維品質(zhì)和進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的能力，屬于難度較大，綜合性較強(qiáng)，知識(shí)點(diǎn)較多的試題已知函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征注定了后繼問(wèn)題的設(shè)置，這樣既看到了函數(shù)的“大度”和“包容”，又開拓了函數(shù)內(nèi)容的“視野” 廣泛性， 這些都無(wú)不顯示出命題者的智慧，也為今后高考函數(shù)部分的命題提供了一個(gè)思維方向

20、和模板亮點(diǎn) 5：以函數(shù)為生命線，與方程聯(lián)袂，考查函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等知識(shí)例 7（浙江文）已知221fxxxkx(i)若k2，求方程0fx的解；(ii) 若關(guān)于 x的方程0fx在 (0， 2)上有兩個(gè)解x1， x2，求 k的取值范圍，并證明精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -12114xx解析： （）當(dāng) k2時(shí)，2212fxxxx當(dāng)210 x時(shí) ， 即1x或1x時(shí) ， 方 程 化 為22210 xx， 解 得132x，因?yàn)?3012，故舍去，所以132x當(dāng)210 x時(shí)，即11x時(shí)

21、，方程化為210 x，解得12x由得當(dāng) k 2時(shí)，方程0fx的解所以132x或12x(ii) 不妨設(shè) 0 x1x22，因?yàn)?21 x11 x1xkxfxkx，所以fx在（ 0,1上是單調(diào)函數(shù)，故0fx在（ 0,1上至多一個(gè)解若1x1 x2 2，則 x1x2120，故不符題意，因此0 x11x22由10fx得11kx， 所以1k； 由20fx得2212kxx， 所以712k；故當(dāng)712k時(shí)，方程0fx在(0， 2)上有兩個(gè)解當(dāng)0 x1 1x22時(shí)，11kx，222210 xkx，由此兩式消去 k 得21 21220 xxxx，即212112xxx，因?yàn)?x22，所以12114xx點(diǎn)評(píng) ：本題主要

22、考查函數(shù)的基本性質(zhì)、方程與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、 分類討論等思想方法分析和解決問(wèn)題的能力需要考生有較扎實(shí)的理論知識(shí)及較強(qiáng)的分析問(wèn)題的能力，同時(shí)要具備良好的運(yùn)算能力本題以函數(shù)作為主線，與方程聯(lián)袂，以求參數(shù)的取值范圍和證明不等式為最終歸宿，充分體現(xiàn)了主干知識(shí)在高考中的地位和要求，考查考生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)和各種能力例 8（廣東文）已知函數(shù)2( )1f xxx,是方程( )0f x的兩個(gè)根 (), ( )fx是( )f x的導(dǎo)數(shù) , 設(shè)11()1,()nnnnf aaaafa(1,2,3,)n(1) 求,的值；(2) 已知對(duì)任意的正整數(shù)n有na, 記lnnnnaba(1,2,3,)

23、n, 求數(shù)列nb的精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 10 頁(yè) - - - - - - - - -前n項(xiàng)和ns解析 ：(1) 由已知條件及求根公式得152, 152 (2)( )21fxx，21121nnnaaa，221,1，2222112221212lnlnlnln()2212nnnnnnnnnnnnnnaaaaaabbaaaaaa數(shù)列nb是首項(xiàng)11151ln4ln2aba, 公比為q2的等比數(shù)列，1(1)514 (21)ln12nnnbqsq點(diǎn)評(píng) ：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、一元二次方程、對(duì)數(shù)、數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查合情推理、

24、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法以及抽象概括能力、邏輯推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)等本題以考生熟悉的一元二次方程作為基礎(chǔ)，聯(lián)系函數(shù)、 導(dǎo)數(shù)和數(shù)列知識(shí)，使問(wèn)題的綜合性得到進(jìn)一步加強(qiáng)，真正體現(xiàn)優(yōu)秀考題的選拔功能亮點(diǎn) 6：以函數(shù)作平臺(tái)，以導(dǎo)數(shù)作工具，考查線性規(guī)劃問(wèn)題例 9（全國(guó)卷文）已知函數(shù)321( )(2)13f xaxbxb x在1xx處取得極大值，在2xx處取得極小值，且12012xx（）證明0a；（）若2zab，求z的取值范圍解析 ：求函數(shù)( )f x的導(dǎo)數(shù)2( )22fxaxbxb（）由函數(shù)( )fx在1xx處取得極大值，在2xx處取得極小值，知12xx，是( )0fx的 兩 個(gè)根 所以12( )()()fxa xxxx， 當(dāng)1xx時(shí) ，( )f x為 增函 數(shù) ，( )0fx，由10 xx，20 xx得0a（）在題設(shè)下，12012xx等價(jià)于(0)0(1)0(2)0fff即202204420babbabb，