2022年新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)勾股定理知識(shí)點(diǎn)和典型例習(xí)題12

1、新人教版八年級(jí)下冊(cè)勾股定理全章知識(shí)點(diǎn)和典型例習(xí)題一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a ，b，斜邊為 c ，那么222abc勾股定理的由來(lái)：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦 早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“ 勾三，股四， 弦五 ” 形式的勾股定理，后來(lái)人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)

2、拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見(jiàn)方法如下：方法一： 4efghsss正方形正方形 abcd，2214()2abbac ，化簡(jiǎn)可證方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為221422sabcabc大正方形面積 為222()2sabaa bb所 以222abc方 法 三 ：1() ()2sabab梯形，2112s222adeabessabc梯形，化簡(jiǎn)得證.勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形

3、和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形.勾股定理的應(yīng)用已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊在abc 中，90c，則22cab，22bca，22acb知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題.勾股定理的逆定理如果三角形三邊長(zhǎng)a ，b， c 滿足222abc ，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c 為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“ 數(shù)轉(zhuǎn)化為形 ” 來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和22ab 與較長(zhǎng)邊的平方2c 作比較，若它們相等時(shí)，以a ，b

4、， c 為三邊的三角形是直角三角形；若cbahgfedcbabacbaccabcababccbaedcba精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -222abc ，時(shí)，以 a ，b， c 為三邊的三角形是鈍角三角形；若222abc ，時(shí)，以 a ，b，c 為三邊的三角形是銳角三角形；定理中 a ，b， c 及222abc 只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng) a ，b， c 滿足222acb ，那么以 a，b， c 為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊勾股定理的逆定理在用

5、問(wèn)題描述時(shí)，不能說(shuō)成： 當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形.勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即222abc 中， a，b，c 為正整數(shù)時(shí)，稱a ，b， c 為一組勾股數(shù)記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13； 7,24,25 等用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：221,2 ,1nn n（2,nn為正整數(shù)）；2221,22 ,221nnnnn（ n為正整數(shù)）2222,2,mnmn mn （,mnm ，n 為正整數(shù)）勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長(zhǎng)的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系

6、的證明問(wèn)題 在使用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解.勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形， 在具體推算過(guò)程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問(wèn)題或具體的幾何問(wèn)題中，是密不可分的一個(gè)整體通常既要通過(guò)逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求

7、出邊的長(zhǎng)度，二者相輔相成，完成對(duì)問(wèn)題的解決常見(jiàn)圖形：abc30dcbaadbc10、互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。二、 經(jīng)典例題精講題型一：直接考查勾股定理例 .在abc 中，90c已知6ac，8bc求ab的長(zhǎng)已知17ab，15ac，求bc的長(zhǎng)分析：直接應(yīng)用勾股定理222abc解：2210abacbccbda精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -228bcabac題型二：

8、利用勾股定理測(cè)量長(zhǎng)度例題 1 如果梯子的底端離建筑物9 米，那么 15 米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？解析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一” 的題。把實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后，.已知斜邊長(zhǎng)和一條直角邊長(zhǎng)，求另外一條直角邊的長(zhǎng)度，可以直接利用勾股定理！根據(jù)勾股定理ac2+bc2=ab2, 即 ac2+92=152, 所以 ac2=144, 所以 ac=12. 例題 2如圖（ 8），水池中離岸邊d點(diǎn) 1.5 米的 c處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分bc的長(zhǎng)是 0.5 米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端b恰好落到d點(diǎn)，并求水池的深度ac.解析： 同例題 1 一樣，先將實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如

9、圖2. 由題意可知 acd中 ,acd=90 , 在 rtacd中，只知道 cd=1.5，這是典型的利用勾股定理“知二求一” 的類型。標(biāo)準(zhǔn)解題步驟如下（僅供參考）：解： 如圖 2，根據(jù)勾股定理，ac2+cd2=ad2設(shè)水深 ac= x 米，那么ad=ab=ac+cb=x+0.5 x2+1.52=（ x+0.5 ）2 解之得 x=2. 故水深為2 米. 題型三 ：勾股定理和逆定理并用例題 3 如圖 3，正方形abcd 中， e是 bc邊上的中點(diǎn)， f是 ab上一點(diǎn)，且abfb41那么 def是直角三角形嗎？為什么？解析： 這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點(diǎn)摸不著頭腦。仔細(xì)讀題會(huì)意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，

10、沒(méi)有任何條件，我們也可以開(kāi)創(chuàng)條件，由abfb41可以設(shè) ab=4a，那么 be=ce=2a,af=3 a,bf= a,那么在 rtafd 、 rtbef和 rt cde中，分別利用勾股定理求出df,ef 和 de的長(zhǎng)，反過(guò)來(lái)再利用勾股定理逆定理去判斷def是否是直角三角形。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -詳細(xì)解題步驟如下：解： 設(shè)正方形 abcd 的邊長(zhǎng)為4a, 則 be=ce=2a,af=3 a,bf= a 在 rtcde中， de2=cd2+ce2=(4 a)2+(2 a)2=

11、20 a2 同理 ef2=5a2, df2=25a2 在 def中， ef2+ de2=5a2+ 20a2=25a2=df2 def是直角三角形，且def=90 . 注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。題型四 ：利用勾股定理求線段長(zhǎng)度例題 4 如圖 4，已知長(zhǎng)方形abcd 中 ab=8cm,bc=10cm, 在邊 cd上取一點(diǎn)e，將 ade折疊使點(diǎn) d恰好落在bc邊上的點(diǎn)f，求 ce的長(zhǎng) .解析： 解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。詳細(xì)解題過(guò)程如下：解： 根據(jù)題意得rtade rtaef afe=90 , af=10cm, ef=de設(shè) ce= xcm ，則 d

12、e=ef=cdce=8x 在 rtabf中由勾股定理得：ab2+bf2=af2，即 82+bf2=102，bf=6cm cf=bc bf=10 6=4(cm) 在 rtecf中由勾股定理可得：ef2=ce2+cf2，即 (8x) 2=x2+426416x+x2=2+16 x=3(cm), 即 ce=3 cm 注：本題接下來(lái)還可以折痕的長(zhǎng)度和求重疊部分的面積。題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直例題 5 如圖 5， 王師傅想要檢測(cè)桌子的表面ad邊是否垂直與ab邊和 cd邊，他測(cè)得ad=80cm ，ab=60cm ，bd=100cm ，ad邊與 ab邊垂直嗎？怎樣去驗(yàn)證 ad邊與 cd邊是否垂直？精

13、品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -解析： 由于實(shí)物一般比較大，長(zhǎng)度不容易用直尺來(lái)方便測(cè)量。我們通常截取部分長(zhǎng)度來(lái)驗(yàn)證。如圖4，矩形 abcd 表示桌面形狀，在ab上截取 am=12cm, 在 ad上截取 an=9cm( 想想為什么要設(shè)為這兩個(gè)長(zhǎng)度？) ，連結(jié) mn ，測(cè)量 mn的長(zhǎng)度。如果 mn=15,則 am2+an2=mn2,所以 ad邊與 ab邊垂直；如果 mn= a15, 則 92+122=81+144=225, a2225, 即 92+122 a2，所以 a不是直角。利用勾股

14、定理解決實(shí)際問(wèn)題例題 6 有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5 米的墻上，任何東西只要移至5 米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開(kāi)，一個(gè)身高1.5 米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開(kāi)？解析： 首先要弄清楚人走過(guò)去，是頭先距離燈5 米還是腳先距離燈 5 米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5 米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖 6 所示， a點(diǎn)表示控制燈，bm表示人的高度，bc mn,bc an當(dāng)頭（ b點(diǎn)）距離a有 5 米時(shí)，求bc的長(zhǎng)度。已知an=4.5 米, 所以 ac=3米，由勾股定理，可計(jì)算 bc=4米 . 即使要走到離門4米的時(shí)候燈剛好打開(kāi)。題型六 ：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題：例 1、如圖， abc 是直角三角形，

15、bc 是斜邊， 將 abp 繞點(diǎn) a 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后， 能與 ac p重合，若 ap=3 ，求 pp 的長(zhǎng)。變式 1：如圖， p是等邊三角形abc內(nèi)一點(diǎn)， pa=2,pb=2 3,pc=4, 求 abc的邊長(zhǎng) . 分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將bpa 繞點(diǎn) b逆時(shí)針選擇 60，將三條線段集中到同一個(gè)三角形中，根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個(gè)直角三角形. 變式 2、如圖， abc 為等腰直角三角形，bac=90 ， e、 f是bc 上的點(diǎn)，且eaf=45 ，試探究222becfef、間的關(guān)系，并說(shuō)明理由. 題型七 ：關(guān)于翻折問(wèn)題例 1、如圖，矩形紙片abcd的邊 ab=10cm，bc=6cm，e

16、為 bc上一點(diǎn)，將矩形紙片沿ae折疊，點(diǎn) b恰好落在cd邊上的點(diǎn)g 處，求 be的長(zhǎng) . 變式：如圖， ad 是 abc的中線， adc=45，把 adc沿直線 ad 翻折，點(diǎn)c 落在點(diǎn) c的 位 置 ，bc=4,求 bc的長(zhǎng) . 題型八 ：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -例 1、如圖，公路mn 和公路 pq 在 p 點(diǎn)處交匯，點(diǎn)a 處有一所中學(xué)，ap=160 米，點(diǎn) a 到公路 mn的距離為80 米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100 米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，

17、那么拖拉機(jī)在公路mn 上沿pn 方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18 千米 /小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？題型九 ：關(guān)于最短性問(wèn)題例 5、如右圖 119，壁虎在一座底面半徑為2 米，高為 4 米的油罐的下底邊沿a處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的b 處有一只害蟲(chóng)， 便決定捕捉這只害蟲(chóng)，為了不引起害蟲(chóng)的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對(duì)害蟲(chóng)進(jìn)行突然襲擊結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請(qǐng)問(wèn)壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲(chóng)?（取 3.14，結(jié)果保留1 位小數(shù)，可以用計(jì)算器計(jì)算）變式：如圖為一棱長(zhǎng)為3cm 的正方

18、體，把所有面都分為9 個(gè)小正方形，其邊長(zhǎng)都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面a 點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的b 點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？三、 課后訓(xùn)練：一、填空題1如圖 (1)，在高 2 米，坡角為30的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)至少需_米圖(1) 2種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測(cè)得內(nèi)部底面半徑為2.5 ，高為 12 ，吸管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要露出 4.6 ，問(wèn)吸管要做。3已知： 如圖， abc 中， c = 90 ，點(diǎn) o 為 abc 的三條角平分線的交點(diǎn)，odbc，oeac ，ofab ，點(diǎn)d、 e、 f 分別是垂足，且bc = 8cm， ca = 6cm，則點(diǎn)o 到三邊ab ，

19、ac和bc 的距離分別等于cm 4在一棵樹(shù)的10 米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹(shù)走到離樹(shù)20 米處的池塘的a 處。另一只爬到樹(shù)頂d 后直接躍到a 處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，則這棵樹(shù)高_(dá)米。5. 如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬和高分別為20dm、3dm 、2dm ，a和 b是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，a點(diǎn)有一只螞蟻，想到b 點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到b點(diǎn)最短路程是_. 二、選擇題1已知一個(gè)rt的兩邊長(zhǎng)分別為3和 4，則第三邊長(zhǎng)的平方是（）a、25 b、14 c、7 d、7 或 25 2rt一直角邊的長(zhǎng)為11，另兩邊為自然數(shù)，則rt的周長(zhǎng)為（）a、121

20、b、120 c、132 d、不能確定3如果 rt兩直角邊的比為512，則斜邊上的高與斜邊的比為（）a、60 13 b、512 c、12 13 d、60169 4已知 rtabc中， c=90，若 a+b=14cm，c=10cm，則 rtabc的面積是（）a、24cm2b、36cm2c、 48cm2d、60cm25等腰三角形底邊上的高為8，周長(zhǎng)為 32，則三角形的面積為（）a、56 b、48 c、 40 d、32 c o a b d e f 第 3 題圖d b c a 第 4 題圖2032ab精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共

21、8 頁(yè) - - - - - - - - -6某市在舊城改造中，計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價(jià) a 元，則購(gòu)買這種草皮至少需要（）a、450a 元b、225a 元c、150a 元d、300a 元7已知，如圖長(zhǎng)方形abcd 中， ab=3cm ，ad=9cm ，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)b與點(diǎn) d重合，折痕為ef，則 abe的面積為（）a、6cm2b、8cm2c、10cm2d、12cm28在 abc 中， ab=15，ac=13，高 ad=12，則 abc 的周長(zhǎng)為a42b32c 42 或 32 d37 或 33 9. 如圖，正方形網(wǎng)格中的abc ，若小

22、方格邊長(zhǎng)為1，則 abc是 （）（ a）直角三角形 (b) 銳角三角形 (c) 鈍角三角形 (d)以上答案都不對(duì)三、計(jì)算1、如圖， a、b是筆直公路l 同側(cè)的兩個(gè)村莊，且兩個(gè)村莊到直路的距離分別是300m和 500m ，兩村莊之間的距離為 d(已知 d2=400000m2) ，現(xiàn)要在公路上建一汽車停靠站，使兩村到停靠站的距離之和最小。問(wèn)最小是多少？2、如圖 1-3-11 ，有一塊塑料矩形模板abcd ，長(zhǎng)為 10cm ，寬為 4cm ，將你手中足夠大的直角三角板 phf 的直角頂點(diǎn) p落在 ad邊上（不與a、 d重合） ，在 ad上適當(dāng)移動(dòng)三角板頂點(diǎn)p：能否使你的三角板兩直角邊分別通過(guò)點(diǎn)b與點(diǎn) c？若能，請(qǐng)你求出這時(shí) ap 的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由. 再次移動(dòng)三角板位置，使三角板頂點(diǎn)p在 ad上移動(dòng)，直角邊ph