雙曲線知識(shí)點(diǎn)及題型總結(jié)(學(xué)生版)

1、雙曲線知識(shí)點(diǎn)及題型總結(jié)(學(xué)生版)雙曲線知識(shí)點(diǎn)及題型總結(jié)1 雙曲線定義：到兩個(gè)定點(diǎn)f1與f2的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)（|f1f2|）的點(diǎn)的軌跡（為常數(shù)）這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)要注意兩點(diǎn)：（1）距離之差的絕對(duì)值.（2）2a|f1f2|，這兩點(diǎn)與橢圓的定義有本質(zhì)的不同.當(dāng)|mf1|mf2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)f2所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng)|mf1|mf2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)f1所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng)2a=|f1f2|時(shí)，軌跡是一直線上以f1、f2為端點(diǎn)向外的兩條射線；當(dāng)2a|f1f2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)f的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數(shù)e(e1)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線這定點(diǎn)叫

2、做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線l叫做雙曲線的準(zhǔn)線2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：和（a0，b0）.這里，其中|=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸上.對(duì)于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過(guò)比較分母的大小來(lái)判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上.4.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意兩個(gè)問(wèn)題： 正確判斷焦點(diǎn)的位置； 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.5.曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)=1（a0，b0）范圍：|x|a，yr對(duì)稱性：關(guān)于x、y軸均對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱頂點(diǎn)：軸端點(diǎn)a1（a，0），a2（a，0）漸

3、近線：若雙曲線方程為漸近線方程若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)在y軸上）特別地當(dāng)離心率兩漸近線互相垂直，分別為y=，此時(shí)雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)為；y=x，y=x (什么是共軛雙曲線)準(zhǔn)線：l1：x=，l2：x=，兩準(zhǔn)線之距為焦半徑：，（點(diǎn)p在雙曲線的右支上）；，（點(diǎn)p在雙曲線的右支上）；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程及相應(yīng)性質(zhì)（略）與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是6曲線的內(nèi)外部(1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部.(2)點(diǎn)在雙曲線的外部.7曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.

4、(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)在y軸上）.8雙曲線的切線方程(1)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是.（2）過(guò)雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.（3）雙曲線與直線相切的條件是.9線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式 若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為ab， a、b兩點(diǎn)分別為a(x1，y1)、b(x2,y2)，則弦長(zhǎng) ,這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想；高考題型解析題型一：雙曲線定義問(wèn)題1.“ab<0”是“曲線ax2+by2=1為雙曲線”的( )a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充分必要條件 d.既不充分又不必要條件2.若，則“”是“方程表示雙曲線”的(

5、)a.充分不必要條件. b.必要不充分條件. c.充要條件. d.既不充分也不必要條件.3.給出問(wèn)題：f1、f2是雙曲線=1的焦點(diǎn)，點(diǎn)p在雙曲線上.若點(diǎn)p到焦點(diǎn)f1的距離等于9，求點(diǎn)p到焦點(diǎn)f2的距離.某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8，由|pf1|pf2|=8，即|9|pf2|=8，得|pf2|=1或17.該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請(qǐng)將他的解題依據(jù)填在下面橫線上；若不正確，將正確結(jié)果填在下面橫線上. _.4.過(guò)雙曲線x2-y2=8的左焦點(diǎn)f1有一條弦pq在左支上，若|pq|=7，f2是雙曲線的右焦點(diǎn)，則pf2q的周長(zhǎng)是 .題型二：雙曲線的漸近線問(wèn)題1.雙曲線=1的漸近線方程是( )a.

6、 y=±x =±x =±x =±x2.過(guò)點(diǎn)（2，2）且與雙曲線y2=1有公共漸近線的雙曲線方程是( )a.=1 b.=1 c.=1 d.=1題型三：雙曲線的離心率問(wèn)題1已知雙曲線 (a0,b0)的左右焦點(diǎn)分別為f1、f2，點(diǎn)p在雙曲線的右支上，且pf1=4pf2,則此雙曲線的離心率e的最大值為 （ ）abcd2.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)且垂直于軸的直線與雙曲線的左支交于a、b兩點(diǎn),若是正三角形,那么雙曲線的離心率為 ( ) a. b. c. 2 d. 33.過(guò)雙曲線m:的左頂點(diǎn)a作斜率為1的直線,若與雙曲線m的兩條漸近線分別相交于b、c,且|ab|=

7、|bc|,則雙曲線m的離心率是 ( )a. b. c. d. 4.在給定雙曲線中，過(guò)焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則該雙曲線的離心率為( )a. b. 2 c . d. 25.已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點(diǎn)為f，若過(guò)點(diǎn)f且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是a.( 1,2) b. (1,2) c.2,+) d.(2,+)題型四：雙曲線的距離問(wèn)題1.設(shè)p是雙曲線=1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x2y=0，f1、f2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn).若|pf1|=3，則|pf2|等于( )或5 2.已知雙曲線的

8、右焦點(diǎn)為f，若過(guò)點(diǎn)f的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此直線斜率的取值范圍是a.(,) b. (-,) c. , d. -,3.已知圓c過(guò)雙曲線=1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是_.題型五：軌跡問(wèn)題1.已知橢圓x2+2y2 =8的兩焦點(diǎn)分別為f1、f2，a為橢圓上任一點(diǎn)。ap是af1f2的外角平分線，且 =0.則點(diǎn)p的軌跡方程是 . 2.雙曲線x2y2 =4的兩焦點(diǎn)分別為f1、f2，a為雙曲線上任一點(diǎn)。ap是f1af2的平分線，且 =0.則點(diǎn)p的軌跡是（）a.橢圓的一部分 b.雙曲線的一部分 c.圓的一部分 d.拋物線的一部分 3求與圓及都外切的動(dòng)圓

9、圓心的軌跡方程高考例題1.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),p、q為右支上的兩點(diǎn),直線pq過(guò),且傾斜角為,則的值為 ( )a b 8 c d 隨的大小變化2.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交曲線于a、b兩點(diǎn),若則這樣的直線存在 ( )a 0條 b 1條 c 2條 d 3條3. 直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ( )a 0個(gè) b 1個(gè) c 2個(gè) d 3個(gè)4. p為雙曲線上一點(diǎn),為一個(gè)焦點(diǎn),以為直徑的圓與圓的位置關(guān)系為 ( )a 內(nèi)切 b 外切 c 內(nèi)切或外切 d 無(wú)公共點(diǎn)或相交5. 設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)p在雙曲線上且滿足,則的面積為 ( )a 1 b c 2 d 6. 設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn),p在雙曲線上,當(dāng)?shù)拿娣e

10、為1時(shí),的值為( )a 0 b 1 c d 27.過(guò)點(diǎn)a（0，2）可以作_條直線與雙曲線x21有且只有一個(gè)公共點(diǎn)過(guò)點(diǎn)p(4,4)且與雙曲線1只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有 ()a1條 b2條 c3條 d4條8.已知a（3，2），m是雙曲線h：上的動(dòng)點(diǎn)，f2是h的右焦點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)m的坐標(biāo)。9. 已知雙曲線c：，一條長(zhǎng)為8的弦ab兩端在c上運(yùn)動(dòng)，ab中點(diǎn)為m，則距軸最近的m點(diǎn)的坐標(biāo)為 。為雙曲線x21右支上一點(diǎn)，m、n分別是圓(x4)2y24和(x4)2y21上的點(diǎn)，則|pm|pn|的最大值為_(kāi)11.直線：與雙曲線c：的右支交于不同的兩點(diǎn)a、b。（）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）是否存在實(shí)數(shù)，使得以線段ab

11、為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線c的右焦點(diǎn)f？若存在，求出的值。若不存在，說(shuō)明理由。12.已知兩定點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)p的軌跡是曲線e，直線kx1與曲線e交于a、b兩點(diǎn)。（）求的取值范圍；（）如果且曲線e上存在點(diǎn)c，使求。練習(xí)題1.已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為f(，0)，直線y=x1與其相交于m、n兩點(diǎn)，mn中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是（ ）a=1 b =1 c=1 d=12.雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為m，兩個(gè)焦點(diǎn)為f1、f2，f1mf2=120°，則雙曲線的離心率為（ ）a. b. c. d.3、已知雙曲線1（a0，b0）的右焦點(diǎn)為f，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)a，oaf的面積為（o為原點(diǎn)），則

12、兩條漸近線的夾角為（ ）a30ºb45ºc60ºd90º4、已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，p是此雙曲線上的一點(diǎn)，且，則該雙曲線的方程是a b c d5、已知f1、f2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段f1f2為邊作正三角形mf1f2，若邊mf1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ）abcd6. 直線yx3與曲線=1的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ） （a）0個(gè) （b）1個(gè) （c）2個(gè) （d）3個(gè)7.若雙曲線x2y2=1右支上一點(diǎn)p(a, b)到直線y=x的距離是，則ab的值為（ ）。 （a） （b） （c）或 （d）2或28.已知點(diǎn)f是雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)e是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)f且垂直于x軸的直線與雙曲線交于a、b兩點(diǎn)，若abe是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()a(1，) b(1,2) c(1,1) d(2,1)9.設(shè)p為雙曲線y21上一動(dòng)點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，m為線段op的中點(diǎn)，則點(diǎn)m的軌跡方程是10.求與圓a：（x+5）2+y2=49和圓b：（x5）2+y2=1都外切的圓的圓心p的軌跡方