2022年平行四邊形經(jīng)典證明題例題講解

1、學習必備歡迎下載【答案】 20、經(jīng)緯訓練 平行四邊形證明題 經(jīng)典例題（附帶具體答案）ad1. 如圖， e、f 是平行四邊形 abcd對角線 ac 上兩點， be df，求證： afce b解法一 : cab cdadebf又cb c180 bdc d180【答案】 證明：平行四邊形abcd 中， ad bc ， adbc ，acbcad ad bc 即得abcd是平行四邊形又 be df ， abcd3，bcad6becdfa ，四邊形解法二 :abcd 的周長262318bec dfa ，ceafadbc2. 如圖 6，四邊形 abcd 中， ab cd ， b= d， bc求四邊形 abc

2、d 的周長6, ab3 ，連接 ac ab cdbacdca又bd，acca【關鍵詞】多邊形的內角和 abc cda【答案】設ax （度），就bx20 ，c2x abcd3，bcad6依據(jù)四邊形內角和定理得，x x202x60360 四邊形abcd 的周長262318解得， x70 解法三 :a70 ，b90 ，c140adbc4 （ 如 圖， e，f是四 邊形abcd的 對角 線ac上兩 點 ，連接 bda fc， ed f，bed ab cdabdcdb求證：（1） afd ceb （2）四邊形 abcd 是平行四邊形dc又abccdaecbdadbf ad bc 即abcd 是平行四邊形

3、ab abcd3，bcad6【關鍵詞】平行四邊形的性質, 判定四邊形abcd 的周長2623183. （在四邊形 abcd 中， d=60°， b 比 a 大 20°， c 是 a 的 2 倍，求 a， b， c【答案】證明：（1）df be，dfebef afddfe180°，的大小cebbef180°，afdceb 又a fc，ed f，b afd cebsas （2）由（ 1）知 afdceb，dacbca，adbc ， ad bc 四邊形 abcd 為正方形四邊形 abcd 是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）5）25如圖 13

4、-1，在邊長為 5 的正方形 abcd 中， 點 e 、 f 分別是 bc 、 dc 邊上的點，bc90°1390°且 aeef ， be2 .12（1） 求 ec cf 的值；（2） 延長 ef 交正方形外角平分線 cp于點 p （如圖 13-2），試判定 ae與ep 的大小關系，damabe90°，daab并說明理由； dam abe（3） 在圖 13-2 的 ab 邊上是否存在一點 m ，使得四邊形 dmep 是平行四邊形？如存在， 請賜予證明；如不存在，請說明理由a dadfpfdmaeaeepdmpe四邊形 dmep 是平行四邊形解法 ：在 ab 邊上存

5、在一點m ，使四邊形 dmep 是平行四邊形證明：在 ab 邊上取一點 m ，使 ambe ，連接 me 、 md 、 dp b ecbecadba，damabe90°【關鍵詞】平行四邊形的判定rtdam rt abedmae， 14【答案】解： （1）aeef2390°1590°4590°aedmaeepdmep四邊形 dmep 為平行四邊形7（ 2021 年包頭）已知二次函數(shù)c 0， 2 ，直線 xm （ m（1）求二次函數(shù)的解析式；yax2bxc（ a0 ）的圖象經(jīng)過點2 ）與 x 軸交于點 d a1，0 ，b 2，0 ，（2）在直線 xm （ m

6、2 ）上有一點 e （點 e 在第四象限），使得 e、d、b 為頂點的三a d角形與以 a、o、c 為頂點的三角形相像，求e 點坐標（用含 m 的代數(shù)式表示） ；541（ 3）在（ 2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點f ，使得四邊形abef 為平行四邊形？mfp如存在，懇求出m 的值及四邊形 abef 的面積；如不存在，請說明理由b ec6（2021 年廣州市）如圖9，在 abc 中， d、e、f 分別為邊 ab 、bc 、ca 的中點；y證明：四邊形 decf 是平行四邊形；ox【關鍵詞】二次函數(shù)、相像三角形、運動變化、拋物線abc0，【關鍵詞】平行四邊形的判定【答案】 d.e 、f 分

7、別為 ab.bc.ca的中點，dfbc，deac，四邊形 decf是平行四邊形 .解：（ 1）依據(jù)題意，得4a2bc0， c2.y（3）假設拋物線上存在一點f ，使得四邊形abef 為平行四邊形，就abdoxefab1 ，點 f 的橫坐標為 m1 ，f2f 1e1 e2c當點 e1 的坐標為2m時，點m，22m f1 的坐標為m，1，2解得 a1，bx=m3， c2 點 f1 在拋物線的圖象上，yx23x2 2mm2123m12 ，（2）當 edb aoc 時， 2m211m140 ，aoco得或edbdaoco，bded 2 m7 m20 ， ao1，co2，bdm2 ，7 m， m2 （舍

8、去），當 aocoedbd時，得12，edm2253 f1， edm2 ，242332m sabef144點 e 在第四象限，e1m，2當點 e2 的坐標為 m，42m 時，點f2 的坐標為 m1，42m ，aoco當bded時，得12， edm2ed2m4 ，點 f2 在拋物線的圖象上，點 e 在第四象限，e2 m，42m 42m m123m12 ，（1） doe bof ；m27 m100 ，m2 m50 ，m2 （舍去）， m5 ，證明：四邊形 abcd 是平行四邊形 ad bcedofbo， ef f2 4， 6 ，又 odob doe bofaas s abef166 bom don

9、注：各題的其它解法或證法可參照該評分標準給分8（2021 年莆田） 已知：如圖在abcd 中，過對角線 bd 的中點 o作直線 ef 分別交 da的延長線、 ab 、dc 、bc 的延長線于點e、m 、n、f；證明：四邊形 abcd 是平行四邊形 ab cd（1） 觀看圖形并找出一對全等三角形： ，請加以證明；mbondo，又 bodobmodnoaaededmmoonnbfbfcc bom donaas abd cdb ；（2） 在（1）中你所找出的一對全等三角形，其中一個三角形可由另一個三角形經(jīng)過怎樣的變換得到？【關鍵詞】四邊形、全等三角形、變換證明：四邊形 abcd 是平行四邊形 adc

10、b， abcd又 bddb abd cdb sss10（ 2021 年中山）在abcd 中， ab10，ad=m， d60°，（2）繞點 o旋轉 180°后得到或以點 o為中心作對稱變換得到8 分以 ab 為直徑作o ，9 2021 年溫州 在所給的 9×9方格中，每個小正方形的邊長都是1按要求畫平行四邊形，使它的四個頂點以及對角線交點都在方格的頂點上（1） 求圓心 o 到 cd 的距離（用含 m 的代數(shù)式來表示） ；（2） 當 m 取何值時， cd 與 o 相切(1) 在圖甲中畫一個平行四邊形，使它的周長是整數(shù)；2 在圖乙中畫一個平行四邊形，使da它的周長不是整

11、數(shù) 注：圖甲、圖乙在答題紙上【關鍵詞】平行四邊形的性質，判定o【答案】解： （1）cb【關鍵詞】利用平行四邊形證明線段相等【答案】（ 1）分別過 a， o兩點作 aecd，ofcd ，垂足分別為點 e ，點 f ，ae of， of 就是圓心 o到 cd 的距離 四邊形 abcd 是平行四邊形，（2）ab cd，aeof dadaeoeoffcbcb在 rt ade 中，d60°，sindae ，sin 60° ae ，cfadad3ae2m33， aem， ofaem ，223adbe圓心到 cd 的距離 pf 為m 2【關鍵詞】平行四邊形的判定【答案】解法 1：圖中 c

12、ba e（2）3ofm ，2證明： ad be ad db be db 即 abdeab 為 o 的直徑，且 ab10 ，當 of5時， cd 與o 相切于 f 點， ac df a fde又 ac df abc def3103即m5， m，23 cba e103cf當 m時， cd 與o 相切3112021 年寧德市 （此題滿分 8 分）如圖： 點 a.d.b.e 在同始終線上， ad=be，ac= df ， acdf ，請從圖中找出一個與e 相等的角，并加以證明 （不再添加其他的字母與線段）adbe解法 2：圖中 fcb e證明： ac df ，ac df四邊形 adfc 是平行四邊形 c

13、f ad，cf ad ad becf be ，cf be四邊形 befc 是平行四邊形 fcb e【答案】aedqpnm12（2021 年山東青島市） 如圖，在梯形 abcd 中， ad bc ， ad6cm ，cd4cm，bfc解：（ 1） pe abbcbd10cm ，點 p 由 b 動身沿 bd 方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段ef 由dc 動身沿 da 方向勻速運動，速度為1cm/s，交 bd 于 q，連接 pe如設運動時間為 t （ s）dedp（ 0t5 ）解答以下問題：dadb（1） 當 t 為何值時， pe ab ？而 det，dp10t ，（2） 設 peq的面積為

14、 y （ cm2），求 y 與 t 之間的函數(shù)關系式；t10t，610（3） 是否存在某一時刻 t ，使明理由s peq2s bcd25？如存在，求出此時 t 的值；如不存在，說15 t4（4） 連接 pf ，在上述運動過程中，五邊形pfcde 的面積是否發(fā)生變化？說明理由當 t15 s， pe 4ab aedqpbfc（2） ef 平行且等于 cd ，四邊形 cdef 是平行四邊形deqc，dqebdc bcbd10 ，【關鍵詞】全等三角形的性質與判定、相像三角形判定和性質、平行四邊形有關的運算deqcdqebdc deq bcd 112t46 246s peqeq pnt46 1tt de

15、eq2255255bccd（3） s bcd1 cd bm144686 22teq104 eq2 t 5如 s peq2s bcd ，25462462過 b 作 bm cd，交 cd 于 m ，過 p 作 pn ef，交 ef 于 n 就有tt2552586 ，22bm1021004964 6 解得 t1，t4 12 eddqbpt ，（4） 在 pde 和 fbp 中，debpt， pq102t pdbf10t， pde fbp又 pnq bmd ，pdefbp，pqpn，bdbm s五邊形 pfcdes pdes fbps四邊形 pfcds四邊形 pfcd102tpn，1046s bcd8

16、6 pn46 1t5在運動過程中，五邊形pfcde 的面積不變df 垂直平分 ac13 2021 年達州 如圖 10， o 的弦 ad bc,過點 d 的切線交 bc 的延長線于點 e，acde 交 bd 于點 h，do 及延長線分別交 ac.bc 于點 g、f.1 求證： df 垂直平分 ac ；（2） 求證： fc ce；（3） 如弦 ad 5 ， ac 8 ，求 o 的半徑 .【關鍵詞】圓 ,平行四邊形 , 勾股定理【答案】（1） de 是 o 的切線，且 df 過圓心 odf de又 ac dedf ac（2） 由（ 1）知： ag=gc又 ad bc dag= fcg又 agd= c

17、gf agd cgf（ asa ）ad=fcad bc 且 ac de四邊形 aced 是平行四邊形ad=cefc=ce5 分（3） 連結 ao ； ag=gc ， ac=8cm ， ag=4cm在 rtagd 中，由勾股定理得gd=ad2-ag2=52-42=3cm設圓的半徑為 r，就 ao=r ，og=r-3在 rtaog 中，由勾股定理得ao2=og2+ag2有： r2=r-32+42 解得 r=256 o 的半徑為 256cm.，經(jīng)典例題 （附帶答案 2），答：這個平行四邊形各邊長分別為19cm， 11cm， 19cm， 11cm例 1一個平行四邊形的一個內角是它鄰角的3 倍，那么這個

18、平行四邊形的四個內角各是多少度？分析依據(jù)平行四邊形的對角相等，鄰角互補可以求出四個內角的度數(shù)解設平行四邊形的一個內角的度數(shù)為x，就它的鄰角的度數(shù)為3x，依據(jù)題意，得，解得，這個平行四邊形的四個內角的度數(shù)分別為45°， 135°， 45°， 135°例 2已知：如圖，的周長為 60cm，對角線 ac、bd相交于點 o， 的周長比的周長多 8cm，求這個平行四邊形各邊的長分析由平行四邊形對邊相等，可知平行四邊形周長的一半30cm，又由的周長比的周長多 8cm，可知cm，由此兩式，可求得各邊的長解四邊形為平行四邊形，說明：學習此題可以得出兩個結論：（1）平行四

19、邊形兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半（ 2）平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形周長之差等于鄰邊之差例 3已知：如圖，在中，交于點 o，過 o點作 ef交 ab、cd于 e、f，那么 oe、of是否相等，說明理由分析觀看圖形，從而可說明證明在中，交于 o，例 4已知：如圖，點 e 在矩形 abcd的邊 bc上，且，垂足為 f；求證：在abcd中，.的周長的周長分析觀看圖形，與都是直角三角形，且銳角，斜邊，因此這兩個直角三角形全等； 在這個圖形中， 如連結 ae，就與全等，因此可以確定圖中很多有用的相等關系；證明四邊形 abcd是矩形，又，；例 5 o是abcd對角線的交點，的周

20、長為 59，就 ，如與的周長之差為 15，就 ，abcd的周長 = .解答：abcd中，.的周長.abcd的周長說明：此題考查平行四邊形的性質，解題關鍵是將與的周長的差轉化為兩條線段的差.例 6已知：如圖，abcd的周長是，由鈍角頂點 d向 ab， bc引兩條高 de， df，且，.求這個平行四邊形的面積.解答：設. 四邊形 abcd為平行四邊形，.又四邊形 abcd的周長為 36，解由，組成的方程組，得.說明：此題考查平行四邊形的性質及面積公式，解題關鍵是把幾何問題轉化為方程組的問題 .經(jīng)典例題 （附帶具體答案 3）例 1（ 2006 年·河北）如圖 1，平行四邊形 abcd 中，

21、 ad=5 ， ab=3 ， ae 平分 bad 交bc 邊于點 e，就線段 be、ec 的長度分別是（）；a、2 和 3b、3 和 2c、4 和 1d、1 和 4解析：因四邊形 abcd 是平行四邊形，故ad/bc ， ad=bc ；所以 dae= bea ；又 ae平分 bad ，故 bae= dae= bea ；所以 ab=be=3 ， ce=5 3=2；應選 b；例 2（2006 年·棗莊市）如圖 2，平行四邊形 abcd 中，對角線 ac 和 bd 相交于點 o， 假如 ac=12 ， bd=10 ，ab=m ，那么 m 的取值范疇是（）a 、10<m<12b、

22、2<m<22c、1<m<11d、5<m<6解析： 因四邊形 abcd 是平行四邊形， 故 ao=co ，do=bo ，又 ac=12 ，bd=10 ，就 ao=6 ， bo=5 ；故 6 5<m<6+5 ，即 1<m<11；應選 c；例 3（2006 年·北京市海淀區(qū)）如圖3，平行四邊形abcd 中， e、f 分別是 bc 和 ad 上的點，并且 be=df ；求證：abecdf ；連接 ac 、bf；四邊形 abfc 是什么四邊形？說明你的理由；證明：因四邊形abcd 是平行四邊形，故 ab=cd ， b= d；又 be=df ，所以 abe cdf （sas）；點評：平行四邊形具有以下性質：兩組對邊分別平行；兩組對邊分別相等；兩組對角分別相等；對角線相互平分；二、考查平行四邊形的判定例 4（ 2006 年·攀枝花市）如圖 4，ad=bc ，要使四邊形abcd 是平行四邊形，仍需補充的一個條件是；解析：可挑選 ad/bc ，ab=cd ， a+ b=80 °， c+ d=180 °等條件中的一個；此題是答案不唯獨的開放題，所添的條件敏捷多樣，主要考查平行四邊形的判定方法；例 5如圖 5，四邊形 abcd 中， ab/dc 、e